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1、广东省东莞市三校2020学年高二数学下学期期中联考试题 理（含解析）一、选择题（每小题分）：1.已知 ，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为（），所以，则；故选A.2.若函数在时取得极值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.3.已知，是的导函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，再将代入，即可求出结果.【详解】因为，所
2、以，因此.故选B【点睛】本题主要考查导数的运算，熟记求导公式即可，属于基础题型.4.若函数，为常数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的求导公式直接计算即可得出结果.【详解】因为，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查导数的运算，熟记求导公式即可，属于基础题型.5.我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为。通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据类比推理的思想，可先得到空间中点到面的距离公式为，根据题中数据即可求出结果.【详解】因为在平面内，点到直线的距离公式为，类比可得：空间中点到面的距离
3、公式，所以点到平面的距离为.故选B【点睛】本题主要考查类比推理，熟记类比推理的特征即可，属于常考题型.6.已知函数，下列结论中正确是（ ）A. 函数有极小值B. 函数有极大值C. 函数有一个零点D. 函数没有零点【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，利用导数的方法判断出函数的单调性，即可确定出结果.【详解】因为，所以，又，所以，即函数在上单调递增，且，故函数无极值，且函数无零点.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法判断函数的单调性即可，属于常考题型.7.如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张
4、卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。则这样组成的三位数的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为本题为有放回的抽取，因此分步确定甲乙丙抽取的卡片种类，即可求出结果.【详解】第一步：甲从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况；第二步：乙从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况；第三步：丙从七张卡片中随机抽出一张，抽到的不同取值为1,2,3,4，共4种情况；因此，这样组成的三位数的个数为.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法
5、计数原理，熟记计数原理的概念即可，属于常考题型.8.改革开放以来，中国经济飞速发展，科学技术突飞猛进。高铁、核电、桥梁、激光、通信、人工智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界。厉害了，我的国！把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“厉”、“害”这两个字必须相邻（可以交换顺序），“了”、“的”这两个助词不能相邻，则不同排法的种数为（ ）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】“厉”、“害”这两个字必须相邻，可用捆绑法处理，再与“我”、“国”全排，最后再将“了”、“的”插空，即可得出结果.【详解】第一步：因为“厉”、“害”这两个字必须相邻，先与“我
6、”、“国”排成一排，共种排列；第二步：因为“了”、“的”这两个助词不能相邻，可用插空法处理，共有种情况；因此，不同的排法的种数为.故选C.【点睛】本题主要考查排列问题，熟记分步乘法计算原理以及排列的概念即可，属于常考题型.9.现有命题“，”，不知真假。请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（ ）A. 不能用数学归纳法去判断真假B. 一定为真命题C. 加上条件后才是真命题，否则为假D. 存在一个很大常数，当时，命题为假【答案】B【解析】【分析】用数学归纳法直接证明即可.【详解】(1)当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；(2)假设时，等式成立，即，则时，即时，等式也成立；综上，时，等式
7、恒成立.故选B【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.10.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有
8、矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序详解：由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意.故跑第三棒的人是丙.选C.点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果11.已知 是可导函数，如图，直线 是曲线 在 处的切线，令， 是 的导函数，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出的值直线是曲线在x=3处的切线，f（3
9、）=1，又点（3，1）在直线L上， 故选B考点：利用导数研究函数的单调性12.过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出切线的方程，确定切点坐标，作出所围成图形的简图，由定积分计算即可得出结果.【详解】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及导数几何意义即可，属于常考题型.
10、二填空题：13.定积分_。【答案】【解析】【分析】根据微分基本定理直接计算即可得出结果.【详解】.故答案为【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.14.已知函数，则的单调递增区间为_。【答案】【解析】【分析】先对函数求导，解不等式，即可得出结果.【详解】因为，所以，由可得，所以或，即的单调递增区间为.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数方法求函数单调性即可，属于基础题型.15.已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是_【答案】【解析】试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式
11、为；将规律表示出来可得答案考点：归纳推理16.函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果.【详解】因为，所以，由函数在上有两个极值点，可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根；令，则，由得；所以当时，单调递减；当时，单调递增；即函数在上单调递减，在上单调递增；故；又由在上有两不等实根，可得与曲线的图像有两不同交点，结合图像可得，.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数极值点的个数求参数，只需对函数求导，将问题转为直
12、线与曲线交点个数问题即可，属于常考题型.三解答题：17.已知为实数，设复数。（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）当复数对应的点在直线的下方，求的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据复数为纯虚数，得到，求解即可得出结果；(2)先写出复数所对应的点的坐标，再根据点在直线下方，列出不等式即可得出结果.【详解】（1）由题意得：，解之得，所以。（2）复数对应的点的坐标为，直线的下方的点的坐标应满足，即：，解之得，所以的取值范围为。【点睛】本题主要考查复数的分类、以及根据复数对应点的位置求参数的问题，熟记复数的分类以及复数的几何意义即可，属于基础题型.18.已知函数。（1）求曲线在
13、点处的切线方程；（2）求函数在区间上的值域。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由题意得到切点坐标，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，判断出函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】（1）因为，所以切点为；又因为，所以，即切线斜率。所以切线方程为：。即在点处的切线方程为.（2）令，因，所以。当时，单调递增；当时，单调递减；所以；又因为，所以；所以在上的值域为.【点睛】本题主要考查导数的应用以及导数的几何意义，熟记导数的几何意义，以及导数的方法求函数单调性即可，属于常考题型.19.设函数。（1）求在区间的最值；（2）若有且只有两个零点，求的值。【答案】
14、（1），；（2）或【解析】【分析】（1）先对函数求导，利用导数方法判断出函数在区间上的单调性，即可求出其最值；（2）先由函数有两零点，可得有两不等实根，令，求出函数单调性，作出其简图，结合图像即可得出结果.【详解】（1），令可得：或（舍去），因为，所以时，在上单调递增；当时，在上单调递减；又因为，所以， 。（2）令，可得。设，则，令，得或，列表如下：所以的大致图象如下：要使有且只有两个零点，只需直线与的图象有两个不同交点，所以或。【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法判定函数的单调性，求函数的最值等，属于常考题型.20.下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑
15、点总数为.(1)求的值;(2)找出与的关系,并求出的表达式. 【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据题意可直接写出结果；（2）分别计算出，归纳出，再由累加法即可求出的表达式.【详解】（1）由题意可得：，；（2）因为； ； ； ；观察猜想：是一个首项为公差为的等差数列，即。因为；把上述式子累加可得到：；又因为，所以.【点睛】本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式，属于常考题型.21.“既要金山银山，又要绿水青山”。某风景区在一个直径为米半圆形花圆中设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点（与不重合），沿修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形
16、小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计。（1）设（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数；（2）求绿化带的总长度的最大值。【答案】（1），其中；（2）米【解析】【分析】(1)先设圆心为，连结，根据题意表示出与弧，即可得出；(2)根据(1)的结果，对函数求导，利用导数方法研究的单调性，进而可求出结果.【详解】（1）设圆心为，连结。在直角中，弧的长；所以，其中。（2），令，可得，所以。当时，单调递增；当时，单调递减；所以。所以绿化带的总长度的最大值为米。【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的单调性以及最值即可，属于常考题型.22.已知函数，。（1）讨论
17、函数的单调性；（2）若函数有极小值，求该极小值的取值范围。【答案】（）：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（）【解析】试题分析:(1)对函数求导得到导函数，根据导函数正负求得函数的单调性；（2）结合第一问得到当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为,所以，对此表达式进行求导，研究单调性，求最值即可.详解：（）函数的定义域为，当时，函数在内单调递增，当时，令得，当时，单调递减；当时，单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）当时，函数在内单调递增，没有极值；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为,所以，记，则，由得，所以，所以函数极小值的取值范围是点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。
广东省东莞市三校高二数学下学期期中联考试题理含解析
