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1、1. 1. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长（1）. 直角坐标情形直角坐标情形:设设 xf在区间在区间ba,上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数,求曲线段求曲线段baxxfy,)(的弧长的弧长 s.yoxabxxx )(xfy dxdy二二. .定积分的几何应用定积分的几何应用 dxxfsba 21（2）. 参数方程情形参数方程情形: ttytx dttts 22（3）. 极坐标情形极坐标情形:)( sincosyx ddyddxcossinsincosddydx2222 ds 22（4）. 弧微分公式弧微分公式:2221dydxdxyds( 弧微分公式)(二二) 面积公式：面积公式：dxxfAb
2、a )(ab)(xfyab)(xfy )(xgydxxgxfAba )()(oxyoxy 当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tfytx)(21ttt， 给出时，曲边梯形的面积为 2121)()()()(ttttdtttftdtfA其中21 , tt分别是曲边的起点与终点对应的参数值。 (2) 极坐标情形极坐标情形 dAA)(21)(21)(:22曲曲线线 dAA)()(21)()(21)()(:2122212221曲曲线线oxy)( doxy)(2 d)(1 旋旋转转体体体体积积).1(旋旋转转一一周周而而得得的的立立体体。内内一一条条直直线线一一个个平平面面图图形形绕绕这这平平面面旋旋转转体
3、体 : ,)(, baCxf 设设.V得得的的旋旋转转体体体体积积dxxfVba )(2 ),(xfy 求求由由)(xfyabxyoxdxx4. 4. 体积体积, 0bxaxy 轴轴旋旋转转一一周周而而所所围围平平面面图图形形绕绕 x旋转轴dxxfxdv)(2baydxxfxV)(2x2)(xfdxxdxxxaob)(xfx)(xf 类似地，由dyc0，)(0yx 所围成的图形绕 轴 x旋转所成的旋转体的体积为：dcxdyyyV)(2。 （2）平行）平行截面面积为已知的立体的体积截面面积为已知的立体的体积 设有设有 一立体位于平面位于平面)( ,babxax之间，已知它被之间，已知它被 过点过
4、点)0 , 0 ,(x)(bxa且垂直且垂直轴于 x的平面所截得的截面面的平面所截得的截面面 )( xA积为，假定，假定xxA )(是的连续函数，求的连续函数，求V的体积立体 。 oabzxyx)(xAxoyzdxxx)(xAab取为积分变量x，它它的的变变化化区区间间为为,ba。在在,ba上上任任取取 一一代代表表小小区区间间,dxxx，对对应应的的立立体体中中一一薄薄片片的的V 体积 近近似似等等于于底底面面积积)( xA为，dx高为的的柱柱体体的的体体积积dxxA)(， 即即体体积积微微元元 dxxAdV)(， 所所求求体体积积为为 badxxAV )(。 旋转体的侧面积.5 ,)(, baCxf 设设的的侧侧面面积积为为),(xfy 则则由由bxaxy , 0体体轴轴旋旋转转一一周周而而得得的的旋旋转转所所围围平平面面图图形形绕绕 xdxxfxfAba )(1)(22 dxxfxfdsxfA)(1)(2)(22
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