概率论与数理统计课后答案 北邮版 (第三章)
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1、习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.【解】如图 题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。4.设随机变量(X,Y)的分布密度f(
2、x,y)=求:(1) 常数A;(2) 随机变量(X,Y)的分布函数;(3) P0X1,0Y2.【解】(1) 由得 A=12(2) 由定义,有 (3) 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1) 确定常数k;(2) 求PX1,Y3;(3) 求PX1.5;(4) 求PX+Y4.【解】(1) 由性质有故 (2) (3) (4) 题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为fY(y)=求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) PYX.题6图【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为而所以 (2) 7.设二维随机变量
3、(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求(X,Y)的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】 题10图10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1) 试确定常数c;(2) 求边缘概率密度.【解】(1) 得.(2) 11.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求条件概率密度fYX(yx),fXY(xy). 题11图【解】 所以 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y
4、.(1) 求X与Y的联合概率分布;(2) X与Y是否相互独立?【解】(1) X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2) X与Y是否相互独立?【解】(1)X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y
5、)=(1)求X和Y的联合概率密度;(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.【解】(1) 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是故 X2Y,从而方程有实根的概率为: 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f(x)=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1) 当z0时,(2) 当0z0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
6、【解】(1) .(2) 24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X,而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为 由于X和Y独立,可见 由此,得U的概率密度为 25. 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,求PmaxX,Y1.解:因为随即变量服从0,3上的均匀分布,于是有 因为X,Y相互独立,所以推得 .26. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)= -0.
7、2,PY0|X0=0.5,记Z=X+Y.求:(1) a,b,c的值;(2) Z的概率分布;(3) PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由,可得.再由 ,得 .解以上关于a,b,c的三个方程得.(2) Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,即Z的概率分布为Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .27. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=maxX,Y的分布函数.解:因为X,Y独立同分布,所以FX(z)=FY(z),则FZ(z)=PZz=PXz,Yz=PxzPYz=F(z)2.28
8、.设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y.(1)求(2)求Z的概率密度分析 题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z的分布函数,再求导得密度函数.解(1) (2) 29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fXY(xy).解:由第四章第三节所证可知,二维正态分布的不相关与独立性等价,所以f(x,y)= fX (x) FY(y),由本章所讨论知,.30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)求(2)求Z=X+Y的概率密度.分析 已知(X,Y)的联合密度函数,可用联合密度函数的性质 解(1); Z=X+Y的概率密度函数可用先求Z的分布函数再求导的方法或直接套公式求解.解 (1) (2)其中 当时,当时,当时,即Z的概率密度为18
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