小学奥数知识点及公式总汇必背

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1、-小学奥数知识点及公式总汇必背1和差倍问题22年龄问题的三个根本特征：3归一问题的根本特点：4植树问题5鸡兔同笼问题6盈亏问题37牛吃草问题8周期循环与数表规律9平均数10抽屉原理411定义新运算12数列求和13二进制及其应用514加法乘法原理和几何计数15质数与合数616约数与倍数17数的整除718余数及其应用19余数、同余与周期20分数与百分数的应用821分数大小的比拟922分数拆分23完全平方数24比和比例1025综合行程26工程问题27逻辑推理1128几何面积29立体图形30时钟问题快慢表问题1231时钟问题钟面追及32浓度与配比33经济问题1333经济问题34简单方程35不定方程36

2、循环小数141 和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用围两个数的和，差，倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2年龄问题的三个根本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的根本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个单一量，题目一般用照这样的速度等词语来表示。关键问题

3、：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题根本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树根本公式棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题根本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那局部置换出来；根本思路：假设，即假设某种现象存在甲和乙一样或者乙和甲一样：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的

4、调整，消去出现的差。根本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数兔脚数总头数总脚数兔脚数鸡脚数把所有兔子假设成鸡：兔数总脚数一鸡脚数总头数兔脚数一鸡脚数关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题根本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量根本思路：先将两种分配方案进展比拟，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基此题型：一次有余数，另一次缺乏；根本公式：总份数余数缺乏数两次每份数的差当两次都有余数；根本公式：总份数较大余数

5、一较小余数两次每份数的差当两次都缺乏；根本公式：总份数较大缺乏数一较小缺乏数两次每份数的差根本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题根本思路：假设每头牛吃草的速度为1份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。根本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。根本公式：生长量=较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数长时间-短时间；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；8周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次

6、出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，那么年份必须能被400整除；平年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9平均数根本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数根本算法：求出总数量以及总份数，利用根本公式进展计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比拟接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基

7、准数的和，就是所求的平均数，具体关系见根本公式10抽屉原理抽屉原那么一：如果把n+1个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原那么二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表示不超过X的最大

8、整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原那么进展运算。11定义新运算根本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种根本混合运算。根本思路：严格按照新定义的运算规那么，把的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照根本运算过程、规律进展运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。考前须知：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在此题中使用。12数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。根本概念：首项：等差数列的第一个数，

9、一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示根本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。根本公式：通项公式：an = a1+n1d；通项首项项数一1) 公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和首项末项项数2；项数公式：n= (an+ a1)d1；项数=末项-首项公差1；公差公式：d =ana

10、1n1；公差=末项首项项数1；关键问题：确定量和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N=N其中N是任意自然数二进制：用01两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。2= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42

11、n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。根本特征：每一种方法都可完

12、成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进展，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。根本特征：每一步只能完成任务的一局部。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+点数一1；数角规律=1+2+3+射线数一1；数长方形规

13、律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数15质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)互质数：如果两

14、个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：假设整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12

15、和18最大的公约数是：6，记作12，18=6；求最大公约数根本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把一样的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作12，18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约

16、数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数根本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17数的整除一、根本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号|，不能整除符号；因为符号，所以的符号；二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除：末三位上数字所

17、组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整

18、除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18.余数及其应用根本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：余数小于除数。假设a、b除以c的余数一样，那么c|a-b或c|b-a。a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：假设两个整数a、b除以m的余数一样，那么称a、b对于模m同余。三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b

19、对于模m同余，记作ab(modm)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：自身性：aa(modm)；对称性：假设ab(modm)，那么ba(modm)；传递性：假设ab(modm)，bc(modm)，那么a c(modm)；和差性：假设ab(mod m)，cd(mod m)，那么a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：假设a b(modm)，cd(modm)，那么ac bd(modm)；乘方性：假设ab(modm)，那么anbn(modm)；同倍性:假设a b(mod m)，整数c，那么ac bc(modmc)；三、关于乘方的预备知识：假设A=ab，那么MA=Mab=Ma

20、b假设B=c+d那么MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，那么Mn(mod 9)或mod 3；一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，那么MY-X或M11-X-Y(mod 11)；五、费尔马小定理：如果p是质数素数，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-11(mod p)。20分数与百分数的应用根本概念与性质：分数：把单位1平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一样的数0除外，分数的大小不变。分数单位：把单位1平均分成几份，表示这样一份的数。百分

21、数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向或结果进展思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进展解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准在分数中一般指的是一倍量下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进展调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不管其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下

22、三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进展处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比拟根本方法：通分分子法：使所有分数的分子一样，根据同分子分数大小和分母的关系比拟。通分分母法：使所有分数的分母一样，根据同分母分数大小和分子的关系比拟。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进展比拟。分子和分母大小比拟法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍

23、率比拟法：当比拟两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比拟分数的大小。具体运用见同倍率变化规律转化比拟方法：把所有分数转化成小数求出分数的值后进展比拟。倍数比拟法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进展比拟。大小比拟法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比拟。倒数比拟法：利用倒数比拟大小，然后确定原数的大小。基准数比拟法：确定一个基准数，每一个数与基准数比拟。22.分数拆分将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：第一题你要拆1/12也就是1/A 先列出12的约因数：1、2、3、4、6、12随便选两个约数 分为a1 a2 这里我选3、4公式：1/A=A

24、a1a1+a2/1+ Aa2a1+a2/1套入公式：1/12=1233+4/1+ 1243+4/1最后等于：1/12=1/28+1/21第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/4223完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=X-Y

25、X+Y完全平方和公式：X+Y2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：X-Y2=X2-2XY+Y2费尔马小定理：如果p是质数素数，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-11(mod p)。24比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以一样的数零除外，比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个项积(穿插相乘)，ad=bc。正比例：假设A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍AB的商不变时，那么A与B成正比。反比例：假设A扩大或缩小几倍

26、，B也缩小或扩大几倍AB的积不变时，那么A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程根本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.根本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程请写出其他公式追及问题：追及时间路程差速度差写出其他公式流水问题：顺水行程=船速+水速顺水时间逆水行程=船速-水速逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=顺水速度+逆水速度2水速=顺水速度-逆水速度2流水问题：

27、关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基此题型：路程相遇路程、追及路程、时间相遇时间、追及时间、速度速度和、速度差中任意两个量，求第三个量。26工程问题根本公式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率根本思路：假设工作总量为1和总工作量无关；假设一个方便的数为工作总量一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数，利用上述三个根本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经历简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理根本方法简介：

28、条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比拟多，需要屡次假设才能完成时，就需要进展列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格的题设情况，运用逻辑规律进展判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线那么表示是，有等肯定的状态，没有连线那么表示否认的状态。例如A和B两人之间有认识或不认

29、识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进展条件分析的推理之外，还要进展相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积根本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进展割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规那么的图形变为规那么的图形进展计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设有些点的设置

30、题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上。4.利用特殊规律等腰直角三角形，任意一条边都可求出面积。斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积梯形对角线连线后，两腰局部面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29立体图形名称图形特征外表积体积长方体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方体8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S

31、侧+S底S侧=rlV=Sh球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r330时钟问题快慢表问题根本思路：1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格表一周为60分格；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；31时钟问题钟面追及根本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针与时针的初始位置； 确定分针与时针的路程差；根本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走112分格。度数方法：从角度观点看，钟

32、面圆周一周是360，分针每分钟转360/60 度，即6，时针每分钟转360/12*60 度，即1/2 度。32浓度与配比经历总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进展混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质例如糖、盐、酒精等叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质例如水、汽油等叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体例如盐水、糖水等叫溶液。根本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；溶质重量=溶液重量浓度；浓度=溶质溶液100%溶剂=溶液1-浓度理论局部小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经历总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进展混合的两种溶液的重

33、量和他们浓度的变化成反比。33经济问题利润的百分数=卖价-本钱本钱100%；卖价=本钱1+利润的百分数；本钱=卖价1+利润的百分数；商品的定价按照期望的利润来确定；定价=本钱1+期望利润的百分数；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格=不含税价格1+增值税税率；34简单方程代数式：用运算符号加减乘除连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数除0，等式不变。移项：把数或式子改变符号

34、后从方程等号的一边移到另一边；移项规那么：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规那么：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是+号，那么添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有+或的，都按有+处理。移项关键问题：运用等式的性质，移项规那么，加、去括号规那么。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；求解；方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：消元；按一元一次方程步骤。消元的方法：加减消元；代入消元。35不定方程一次不定方程：含有两个未知

35、数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比拟；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用围小的未知数表示围大的未知数；B、消元技巧：消掉围大的未知数；36

36、循环小数一、把循环小数的小数局部化成分数的规那么纯循环小数小数局部化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数一样，最后能约分的再约分。混循环小数小数局部化成分数：分子是第二个循环节以前的小数局部的数字组成的数与不循环局部的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数一样，末几位是0，0的个数与不循环局部的位数一样。二、分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数

37、必定是纯循环小数。* 1至30的平方1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=498*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=16914*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=36120*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=62526*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900* 世界上最神奇的数字是1除以7的

38、循环节：1428571/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？ 1、我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857142857142857 X 2 = 285714 285714142857 X 3 = 428571 428571142857 X 4 = 571428571428142857 X 5 = 714285714285142857 X 6 = 857142857142同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复出现。2、我们从1乘到6除以7看看1/7=0.142857. 2/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428

39、.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1，3，5分别除以7所得商的规律是循环节的最高位后移，后面的前移。2，4，6分别除以7所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发现是9999994、142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+95、我们用 142857 乘以142857= 前五位+上后六位的得数是多少呢？20408 + 122449 = 142857142857发现于埃及金字塔，它确实是一组神奇的数字。* 数学小故事：神奇美妙的9 九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人

40、们的观念中，将天称为九天、九重、九霄;将地划为九州、九域 ;将宗庙称为九庙;道路谓之九陌;山有九崇;水曰九河;地有九泉;人分九级;官为九品。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。易经上说，九数含有桔祥的意思，如果按照阴阳来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为极阳数。十是一个完美的数字，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，一位数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有其最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如

41、果要求一个自然数除以九的余数，那么只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的数，那么再将这个和的各位数字相加，最后所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学教师常用凑九法验算学生的算式是否有误，而凑九法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。八位数12345679，如果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是全由1组成的数字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)，可得九个3，直到乘81，就可以得到九个9.这种整齐统一的

42、特点，给人以多么美妙的印象啊!也许有人要问为什么把8去掉，填上会有规律吗假设把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，还有规律吗答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇，我们来看以下算式：纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变化，更能显示出奇妙无比的秩序美。如果你随便找来一个两位以上的自然数，比方是317，将此数打乱，变成173、731、713吧，我们现在求出新数与原数的差，你猜会有什么结论这些差144、414、396竟然全是九的倍数。在这里，无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这种规

43、律的主宰者却是九。假设再随意找一个两位以上的数，比方418，先将它的各位数字之和求出;用原数减去其数字之和(418-18)，其差405也是九的倍数。以下算式确实是种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是一个常数，且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有规律呢我们敢于肯定地说，九的奇妙一定处处再现，无论是多少位，九的统一美的光辉定会时时闪耀。九是一个神奇的反序数，在算式10899=9801中可知，九乘某一个数字，能使其顺序正好颠倒过来。从算式1234567898+9=987654321中也可知，九加某数也竟能使其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，

44、因为92=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;又9947=4658，而53+47=102，999321=320679，而670+321=103，九又是一个神秘的自生数，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一个奇妙的再植数，从算式1098909=989010中看出，9竟然将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=39.啊!九的奇特，操纵着无数数学运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。在除法中，

45、九的奇异也使人迷恋。看以下等式：1/9=0.111，2/9=0.222，8/9=0.888，多有规律啊!在化循环小数为分数时，九又是大显神手，10是完美的数字，对于10，9和11是对称的，这种对称下也隐藏着许多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍数，化成循环小数，其循环节的两个数竟然也是九的倍数。九，在代数的世界里留有神奇的足迹九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特的数字，难怪人们特别喜欢它，非常崇拜它。正值冬天时，人们不数3，也不数10，偏偏数九：头九不算九;二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗

46、;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，犁牛遍地走。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为九月九家家有，此时正是收获的季节。唐代诗人孟浩然写出待到重阳日，还来就菊花的诗句，至今一直被文人墨客所称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是算术九章，而书中共分九大类，每类又有九道题，他简直是九的又一个崇拜者。过去的许多建筑都和九这个数目有关。例如，城最早是九个城门，天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的构造是九梁十八柱，皇家建筑物大门上的钉数是纵九横九，和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方，无论是洁白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关

47、。在改革之年，我相信人们将会以九牛二虎之力，去九天 、到九州探宝，朝着九千九百九十九的通天大路奋勇向前。九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数字10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感慨不尽。可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是那个数学爱好者，都必须进展艰辛的探

48、索和顽强的钻研。1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 =98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 9876543211 x 9 + 2 =1112 x 9 + 3 =111123 x 9 + 4 =11111234 x 9 + 5 =1111112345 x 9 + 6 =111111123456 x 9 + 7 =111

49、11111234567 x 9 + 8 =1111111112345678 x 9 + 9 =111111111123456789 x 9 +10=1111111111很炫，是不是？1 x 1 = 111 x 11 = 121111 x 111 = 123211111 x 1111 = 123432111111 x 11111 = 123454321111111 x 111111 = 123456543211111111 x 1111111 = 2111111111 x 11111111 =4321111111111 x 111111111 =再看看這個對稱式9 x 9 + 7 = 8898

50、x 9 + 6 = 888987 x 9 + 5 = 88889876 x 9 + 4 = 8888898765 x 9 + 3 = 888888987654 x 9 + 2 = 88888889876543 x 9 + 1 = 8888888898765432 x 9 + 0 = 888888888*缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：1/810.9012345679，缺8数和1/81的循环节有关。在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？ 我们看到，1/811/91/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/90.111111111 1/91/9，

51、即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看： 很明显，11的平方121，111的平方12321，直到111111111的平方。 但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 缺8数隐藏在循环小数里利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。 那么，缺8数乘以9的倍数得到清一色就很好理解了，因为：1/8191/90.111111111缺8数乘以3的倍数得到三位一体也不难理解，因为：1/8131/270.037037037，一开场就出现了三位的循环节。缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有根底上每位数加1，自然就出现走马灯了。循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，

52、缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃开展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的构造。 缺8数的精细构造引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：1234567944938271612345679561728395前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。虽有微小的差异，即5代以4，而根据轮休学说，这正是题中应有之义这样的回文结对，携手并进现象，对13、1422、2331、3240、41等各对乘数每相邻两对乘数的对应公差均等于9也应如此。例如：12345679222716049381234567923283950617前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积

53、数。后一式的2移到后面，并5代以4走马灯当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：123456791923456790112345679283456790121234567937456790123深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现走马灯的现象。例如：123456798098765432123456791720987654312345679263209876541234567935432098765 一以贯之当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是吾道一以贯之。例如： 乘数为9的倍数

54、123456792432999999997只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现清一色。 乘数为3的倍数，但不是9的倍数 12345679841037037036只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现三位一体。 乘数为3K1或3K2型 12345679981209876542外表上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是缺1数，仍是轮流休息。轮流休息当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，

55、在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间10，17的情况其中12和15因是3的倍数，予以排除：1234567910123456790缺81234567911135802469缺71234567913160493827缺51234567914172839506缺41234567916197530864缺21234567917209876543缺1乘数在19，26及其他区间区间长度等于7的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工轮休，人人有份，既不多也不少，实在有趣。三位一体缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到三位一体，例如：123456791214814814

56、81234567915185185185123456793340740740712345679577037037031234567978962962962清一色缺8数乘以9的倍数可以得到清一色，例如：12345679911111111112345679182222222221234567927333333333123456793644444444412345679455555555551234567954666666666123456796377777777712345679728888888881234567981999999999速算公式【首同末合十的两位数相乘公式】假设两个两位数的十位数

57、字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，那么这样的两个数便是首同末合十的两个两位数，它们的积为10a+b10a+c=10a2+10ab+10ac+bc=102a2+10ab+c+bc=100a2+100a+bcaa+1100+bc。根据这一公式，两个首同末合十的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。例如，7278=78100+28=56164545=45100+55=2025首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如256254可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得256254=

58、2525+1100+64=2526100+24=65024又如，155155=1516100+55=24025【末同首合十的两位数相乘公式】假设两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，那么这样的两个数便是末同首合十的两个两位数，它们的积为10a+c10b+c=102ab+10ac+10bc+c2100ab+10ca+b+c2=100ab+100c+c2=ab+c100+c2。根据这一公式，两个末同首合十的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积末位数的平方。例如，3474=37+4100+42=25