极限的计算与证明方法

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1、-本科生毕业论文（设计）册 学院 汇华学院 专业 数学与应用数学 班级 2008 级*班 学生 * 指导教师 * 论文编号 *师*大学本科毕业论文（设计）任务书编 号：论文（设计）题目： 极限的计算与证明方法 学 院： 汇华学院 专业： 数学与应用数学 班级： 2008 级3班 学生*： * *：指导教师： * 职称：1、 论文（设计）研究目标及主要任务 目标：总结一些常用的极限的计算和证明方法。 主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算、证明方法加以巩固，为后继的数学学习奠定基础。同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。2、 论文（设计）的主要内容 主要内容：极限的常见的计算和证明方法

2、，即利用函数的定义求极限、利用两个准则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值定理求极限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求极限、利用级数收敛的必要条件求极限等。3、 论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。 研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算与证明方法进行搜集归纳，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、掌握及应用；最后作出总结。4

3、、 主要参考文献1华东师*大学数学系编,数学分析（第三版）M，高等教育，2001年。2大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学M，中国水利水电,2004年。3钱*等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）M，*长江出版集团，2009年。5、 计划进度阶段起止日期1毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题2011.11.012012.12.022进行毕业论文的初稿写作2012.12.032012.02.013进行毕业论文的二稿写作2012.02.022012.03.244进一步修改论文，并最终定稿2012.03.252012.05.095论文答辩2012.05.

4、10指 导 教 师：年月日教研室主任：年月日*师*大学本科生毕业论文（设计）开题报告书汇华 学院 数学与应用数学 专业 2012 届学生*论文（设计）题目极限的计算与证明方法指导教师*专业职称所属教研室研究方向课题论证：（见附页）方案设计：研究对象：极限的计算及证明方法。研究问题：极限常见的求法和证明方法的总结归纳。 采用方法：经验总结法、比较研究法、文献资料法等。内容安排：本文分为四个部分：绪论、极限的分类及定义、极限的计算与证明方法及结 束语。第一部分主要介绍极限在数学分析中的作用，引出主题；第二部分简 要介绍数学分析中极限的分类和定义；第三部分进入正文部分，归纳总结了 十五种极限的常见求

5、法及证明方法，并辅以相应的例题；第四部分是对全文 进行的总结性段落，使文章首尾呼应，内容更为完整。预期目标：掌握求极 限的方法，并且能够在不同的题目中应用想适应的方法，更好地完成极限的 求解及证明工作。同时通过对极限求法的讨论，加强应用极限解题的能力， 为日后相关学习奠定坚实基础。进度计划：2011.11.012012.12.02 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题；2012.12.032012.02.01 进行毕业论文的初稿写作；2012.02.022012.03.24 进行毕业论文的二稿写作；2012.03.252012.05.09 进一步修改论文，并最终定稿；2012.

6、05.10 论文答辩。指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日毕业论文课题论证（附）数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，在初等数学这种静态的数量关系的分析到数学分析这种动态数量关系的研究这一发展过程中，研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应用而生。极限作为数学分析的理论基础和基本组成部分，作为区别初等数学的重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的角色，贯穿于整个数学分析学习的过程中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础

7、上，可见极限在数学分析的学习过程中起到了十分重要的作用。极限的产生和发展可谓是曲折坎坷的，极限理论的建立不仅消除了微积分长期以来带有的神秘性，也为微积分奠定了理论基础，加速了微积分的发展，使微积分能够更好的更深入的解决更多的实际问题，成为生产和科学技术中有力的工具，而且在思想上和方法上深刻的影响和促进了近代数学的发展。极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，研究数学分析中函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，由此可见极限的重要性。极限理论又是数学分析中的基本概念，对极限理论和极限概念理解和掌握的好坏将直接影响到相关课程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描

8、述的是变量在*一变化过程中的变化趋势，是从有限到无限、近似到精确、量变到质变过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难。 而就是因为其艰难的发展路程，才更显现了它在数学研究过程中的重要性。要深入数学领域，就必须培养并掌握极限的思想及相关概念，更重要的就是要能够熟练地使用极限的方法解决数学中的很多难题。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生较为头痛的问题。又因为极限运算作为学习数分过程中的最基本的运算，所以能够很好地掌握一些常用的求极限的方法时十分必要的。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。而对于一些比较复杂的极限

9、，如果直接按照极限的定义来求就会显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。为了极限的发展，使之得到更广泛的应用，有很多学者专家对求极限的方法也进行过深入的研究。作为一个数学专业的学生，很有必要对极限的求法和证明方法进行了解和熟悉。相信这个课题会让我更多的人了解数学这门学科，也对形成数学思想起到促进作用。本文就是针对极限的计算和证明方法展开的。*师*大学本科生毕业论文（设计）文献综述作为一种科学的思想方法，极限思想同样是社会实践的产物。极限的起源与发展一直也是学者们较为关注的话题。早在春秋战国时期，哲学名著庄子记载着惠施的一句名言一尺之棰，日取其半，万世不竭”就已经反映了古人对极限问题有

10、了一定的思考。而我国古代数学家*徽和祖冲之的割圆术”已经能够利用极限论的初步思想来解决求圆周率的实际问题了。同时，古希腊人的穷竭法”也已经将极限思想蕴涵其中来解决问题。但是，由于希腊人对无限”有着一种恐惧心理，于是他们便借助了一种间接的方法归谬法来完成有关证明。以上这些都是极限思想在其萌芽阶段的表现，尽管这一阶段的极限概念不明确，但是却能够为后人继续探索和发展极限思想提供一个很好的平台。到了16、17世纪，极限思想进入了发展阶段，荷兰数学家斯泰文改进了穷竭法”，并且大胆地运用了极限的思想来思考问题，从而将极限方法发展成为了一个实用的概念。之后，牛顿和莱布尼兹以无穷小的概念为基础建立了微积分，但

11、由于他们在研究过程中遇到了逻辑困难，因此也不同程度地接受了极限思想。，此时，真正意义上的极限才得以建立。然而牛顿对于极限的理解是建立在几何直观上的，故而无法给出极限的严格表述，这与数学上的追求严密的原则相抵触。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔以及依里埃等人先后给出明确态度，指明极限必须是微积分的基础概念，并且都作出了各自的极限的定义。直到19世纪，法国数学家柯西在前人的研究基础上才将极限概念比较完整地阐述出来。为了排除极限概念中依旧存在的几何直观的痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯对极限又作出了静态的定义，也给微积分奠定了更为严格的理论基础。这个严格的定义也被看作是科学论证的基础，一直沿用至今。到了近

12、代，在数学的许多分支中，很多重要的学术性概念及理论都是以极限思想为理论基础来进行延拓和深化的。运用极限思想来解决问题也已经成为了学习数学分析乃至整个高等数学过程中一件必不可少的工具，数学分析之所以能够很好地解决初等数学无法解决的问题，也正是源于它应用了极限的思想方法。因此，能够很好的掌握极限的计算及证明方法也成为学习数学分析的必要条件。近年，许多的专家、学者对极限的热衷程度逐渐提升，他们在深入探究极限的概念及理论意义的同时也对极限的计算和证明方法有不同程度的的研究，并且取得了一定的突破。比如说利用中值定理求极限、利用无穷小量求极限等方法便是较为突出的研究成果。这对于后人学习数学分析甚至是深入数

13、学领域都有着重大的意义。*师*大学本科生毕业论文（设计）翻译文章英文原文：摘自Vladimir A.Zorich著的Mathematical Analysis I第111页到114页。3.2.2函数极限的性质在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外，由上面命题1的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列极限的性质的形成而产生的，例如：极限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等式性等。 读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质：，即点集的去心

14、邻域是非空的；，也就是说，任意去心邻域的交集都包含*一个去心邻域。这一结论给出了我们函数极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处的讨论不与上述的3.1节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和概念。a. 函数极限的一般性质 首先，我们给出以下定义： 定义4. 如前所述，假设函数仅是一个常值函数。取一个函数，当时，如果点是去心邻域上的一个常值，则被称作函数上最终恒定的一个点，即为集合的一个极限点。 定义5. 函数是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一个数，对于所有的，都使得或者成立。如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当时，这个函数就被称

15、为最终有界、最终有上界或者有下界。定理1. a. 当时，函数是一个常数。 b. 存在当时，函数是一个有界常数。 c. 当时。证明 结论a中一个最终的常函数有一个极限，结论b中一个函数有的极限存在，说明这个函数有界，这与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。假设。选取两个互不相交的邻域和，即。由极限的定义我们有,。选取一个（的一个极限点）的一个去心邻域，使得。又，再取。然后就有，由于邻域和互不相交，故不成立。 b.极限的四则运算法则 定义6. 如果两个数值函数和有一个共同的定义域，它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义：此处。定理2. 取函数和函数，使得他们有一个共同的定义域

16、。如果，则a. ；b. ；c. 。在3.2.2节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题1中给出的数列极限相应定理的直接结果。这个定理也可以通过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小集合中点的去心邻域的*围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同先前涉及到的陈述从自然数N中取一个数n”。此处为读者自行证明。当时，函数被称作是无穷的，如果函数的极限为零。 命题2. a.当时,如果和趋于无穷，则它们的和也趋于无穷。 b.当时,如果和是无穷函数，则它们的积 也是无穷的。 c.当时,如果是无穷的，且是有界的，则它们的积是无穷的。 证明 a.我们将给出证明如下：。对于任意，利用极限的定义，有，。则

17、对于去心邻域我们可以得到，这样，我们就证明了。 b.这个结论是结论c 的特殊情形，因为每一个极限存在的函数都有界。 c.给出证明如下。对于任意，利用极限的定义，有。则对于去心邻域可以得到。这样，我们就证明了。 英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used. Many of them are analogous to the properties of

18、the limit of a sequence that we have already established, and for that reason are essentially already known to us. Moreover, by Proposition 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence: the uni

19、queness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passage to the limit in inequalities.We call the readers attention to the fact that, in order to establish the properties of the limit of a function, we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set:,that

20、 is, the deleted neighborhood of the point in is nonempty;,That is, the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood. This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only

21、for functions defined on sets of numbers. To keep the discussion from being a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section.a. General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions.Defi

22、nition 4. As before, a function assuming only one value is called constant. A function is called ultimately constant as if it is constant in some deleted neighborhood , where is a limit point of .Definition 5. A function is bounded, bounded above, or bounded below respectively if there is a number s

23、uch that or for all . If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood , the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above, or ultimately bounded below as respectively.Theorem 1. a)(is ultimately the constantas )().b)()(is ultimately bounded as ).c)()()()

24、.Proof.The assertion a) that an ultimately constant function has a limit, and assertion b) that a function having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to the proof of the uniqueness of the limit.Suppose . Choose neighborhoods and having no

25、 points in mon, that is, .By definition of a limit, we have,.We now take a deleted neighborhood of a (which is a limit point of ) such that . Since , we take . We then have , which is impossible since the neighborhoods and have no points in mon. b. Passage to the Limit and Arithmetic OperationsDefin

26、ition 6. If two numerical-valued functions and have a mon domain of definition E, their sum, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas:iffor.Theorem 2.Let and be two functions with a mon domain of definition.If and , thena) ;b) ;c) , if an

27、d for.As already noted at the beginning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences, given Proposition 1. The theorem can also be obtainedby repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of the limit of a sequence.The

28、 changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood of in , where previously we had referred to statements holding from some on. We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest special case when .Of course assertion

29、 c) will then be e*cluded from consideration.A function is said to be infinitesimal as if .Proposition 2. a) If and are infinitesimal functions as , then their sum is also infinitesimal as .b)If and are infinitesimal functions as , then their product is also infinitesimal as .c)If is infinitesimal a

30、s and is ultimately bounded as , then their sum is also infinitesimal as .Proof. a) We shall verify that.Let be given. By definition of the limit, we have ,.Then for the deleted neighborhood we obtain,That is, we have verified that .b)This assertion is a special case of assertion c), since every fun

31、ction that has a limit is ultimately bounded.c)We shall verify thatLet be given.By definition of limit we have.Then for the deleted neighborhood , we obtain .Thus we have verified that . 本科生毕业论文设计题目极限的计算与证明方法 作者* * * * 指导教师 * * * 所在学院 汇华学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 2012届*班 完成日期 2012 年 5 月 8 日. z.-目 录中文摘要、

32、关键词III1.绪论12.极限的分类及定义12.1数列极限及其定义12.2函数极限及其定义23.极限的计算与证明方法23.1利用极限的定义求极限23.2利用三个准则求极限33.3利用柯西收敛准则求极限53.4利用极限的四则运算性质求极限63.5利用两个重要极限公式求极限73.6利用单侧极限求极限83.7利用无穷小量的性质求极限83.8利用等价无穷小量代换求极限93.9利用函数的连续性求极限93.10利用导数的性质求极限113.11利用中值定理求极限123.12洛必达法则求极限14. z.-3.13利用泰勒展开式求极限173.14利用定积分求和式的极限183.15利用级数收敛的必要条件求极限19

33、4.结束语20参考文献20英文摘要、关键词IV. z.-极限的计算与证明方法*师*大学汇华学院数学与应用数学专业指导教师*作者*摘要 本文主要归纳了数学分析中求极限的十五种方法：（1）利用函数的定义求极限、（2）利用三个准则求极限、（3）利用柯西收敛准则求极限、（4）利用极限的四则运算性质求极限、（5）利用两个重要极限公式求极限、（6）利用单侧极限求极限、（7）利用无穷小量的性质求极限、（8）利用等价无穷小量代换求极限、（9）利用函数的连续性求极限、（10）利用导数的定义求极限、（11）利用中值定理求极限、（12）利用定积分求和式的极限、（13）利用洛必达法则求极限、（14）利用泰勒展开式求极

34、限、（15）利用级数收敛的必要条件求极限。关键词 极限，极限的分类，极限的计算方法 . z.-1.绪论数学分析就是将函数作为研究对象，将极限理论及其方法作为基本方法，并且把微积分学作为其主要内容的一门学科。而极限理论及其方法在这门课程中又占有着极其重要的地位。极限思想是微积分中的最基本的一种思想，数学分析中的大量的深层次理论及相关应用都是极限的不断延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如导数、函数的连续性以及定积分等等都需要借助极限来定义。假若有人要问：数学分析到底是一门什么样的学科？”则我们可以概括地说：数学分析便是将极限思想作为基本工具对函数进行研究的的一门学科”。极限的思想是近代数学的一

35、种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。极限一直是数学分析中的一个重点内容，极限主要可分为数列极限和函数极限两大类，而极限的计算与证明方法又可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们可以知道求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，同时也要注意两个重要极限的运用，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。迫敛性和单调有界准则是很重要的定理，在解题的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则等则是针对*些特殊的情形而言的。极限理论的建立，不仅将长期以来微积分所带有的神秘性消除了，而且在数学思想上和解题方法上深刻的影响并且促进了近代数学的快速发展，成为了生产

36、以及科学技术中的有力工具。所谓的极限思想，就是运用极限概念对一系列问题进行分析并作出进一步的解决的一种数学思想。由此，极限运算也就成为了学习数分过程中的最基本的运算。极限的定义又是高度抽象的，这就使得我们不能完全利用其基本的定义来解决所有有关问题，而又因为极限的运算分布于整个高等数学的始终，所以，对于极限的相关计算方法和证明方法便显得尤为重要。2.极限的分类及定义2.1数列极限及其定义定义 设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作,或,读作当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。注：以上定义常称为数列极限的定义。2.2函数极限及其定义定义

37、 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限，记作 或 。3.极限的计算与证明方法3.1利用极限的定义求极限利用极限的定义求极限是一种最根本的求极限的方法。【例1】利用极限的定义证明下题：(1) ; (2);证 (1)对于任意，都要找到，使得当时， (1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子为个数的乘积，分母为的乘积，随着不断的增大，分子上的因子永远是数，而分母的因子会越来越大，因此不等式左端随着的增大，会越来越小，而且有由于为一个正常数，故存在着正整数，使得则当时，,并且由此，若想使(1.1)成立，只需 (1.2)成立即可。取，则当时，式(1.2)

38、成立，即式(1.1)也成立。可得(2) 要证，只需对任意，可以找到，使得当时， (1.3)故知，即对于，是能够找到，使得当时，式(1.3)成立。 【例2】 证明，这里设是一个正数。 证 由于,因此，对于任意的，只需取，则当时，便有 即 这就证明了3.2利用三个准则求极限3.2.1迫敛性(夹逼准则) 定义 设收敛数列和数列都是以为极限的，且数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且。【例1】 求数列的极限。解 设，此处，则有如下式由上可得，因此有 （1.1）数列总是收敛于1的，由于对任意给出的，我们取，则当时便有。于是，不等式(1.1)的左极限和右极限都为1，故由迫敛性得到。 3.2.2单调有界

39、准则 定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 【例2】 证明数列，是收敛的，并且求出其极限。证 设，我们可以发现数列是递增的。现在应用数学归纳法来证明数列有上界。显然有。设，则有，因此对一切都有，即数列有上界。故由以上定理知，数列是有极限的，并且可记其为。又由于，对上式的左右两边取极限可得，即有，解得由保不等式性可知，是不可能的，故有 。 3.3利用柯西(Cauchy)收敛准则求极限定理（柯西收敛准则） 数列收敛的充要条件是：对任给的,存在正整数，使得当时有以上定理从理论上可以完全地解决数列极限其存在性问题。我们称柯西收敛准则的条件其为柯西条件，它同时反映了这样一个事实：收敛数列各项的值越

40、是到后面，彼此就越是接近，以至于充分后面的任意两项差的绝对值可小于预先所给定的任意小的正数。另外，柯西收敛准则把定义中的与的关系转换成了与的关系，这样的好处在于不需要借助数列以外的数，仅仅需要根据这个数列本身的特征便能够鉴别其敛散性。【例】 取数列，并且设,。证明存在，并求出其极限值。证 因为,由数学归纳法我们可知,对于任意的，有因为所以对于任给的，存在一个正整数，使得当时，对任意的，有由以上定理可知数列收敛。再设,对等式的两边取极限可得，且解得。由保不等式性可取 故 。 3.4利用极限的四则运算性质求极限定理（四则运算法则） 若与为收敛数列，则也都是收敛数列，且有 ， 。特别当为常数时有。若

41、再假设及，则也是收敛数列，且有【例1】 求其中。 解 用同时乘以到分子分母后，所求的极限式可化为当时，我们有。则，当时，上式除了分子分母的首项分别为和外，其余的各项极限都是0，因此所求的极限就等于；而当时，又由于，因此所求的极限等于0。综上可得【例2】 求下列极限:(1) ; (2)。解 (1) (2) 3.5利用两个重要极限公式求极限极限公式 【例1】求。 解极限公式 【例2】 求。 解 注：在这一类型的习题中，一般是不能直接应用以上公式的，而是需要通过恒等变形做出化简后才可再利用公式进行运算。3.6利用单侧极限求极限这种方法常常用于求分段函数在分段点处的极限，首先要考虑分段点的左、右极限，

42、若左、右极限都存在并且相等，则该函数在分界点处的极限就存在，否则极限不存在。【例】 已知函数，求其在点处的左右极限。解 在的右极限为在的左极限为 因此 故有 3.7利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。即如果,g(*)在*区间有界，则这种方法可以解决一个函数不存在但是有界，和另一个极限为零的函数的极限的乘积的问题。【例】 求。解 因为当时，是无穷小量，为有界量，所以由以上性质可得3.8利用等价无穷小量代换求极限定义（等价无穷小量） 若，则称是当时的等价无穷小量。记作。【例】 利用等价无穷小量代换求以下极限。解 因为,从而故有注：在应用等价无穷小量的代换求极限

43、时，我们应注意，只有对所求的极限式中相乘或者相除的因式，才能够应用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减的部分，则不能够随便替换。3.9利用函数的连续性求极限定理若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。 注：根据连续性定义，上述定理的结论又可表为。 (1.1)【例1】 求。解 我们将看作是函数的复合。由(1.1)式得注：如果复合函数的内函数在当时其极限为，而或是函数在点处无定义(即为的可去间断点)，又知外函数在连续，则我们仍旧可以应用上述的定理来求解复合函数的极限，即有 (1.2)(1.2)式不仅对这种类型的极限成立，而且对于等类型的极限也是成立的。【例2】 求极限 (1) ; (

44、2) 。 解 (1)(2) 。 【例3】 函数在区间上是一致连续的，又对于,(为正整数)。证明。证 函数在区间上一致连续，指的是对于任意给出的，都存在，且当时， (1.1)我们需要证明的是，存在，当时， (1.2)可以是*一个常数。 又由题设知对于任意的，都有，这表明了： 存在使得当时， (1.3) 而问题是是依赖于的。尽管当时，而又能取遍，但不同的又存在不同的，还不能找到公共的，使不等式(1.2)成立。不过式(1.1)表明，只要与的距离小于，式(1.1)便成立。可将等分成使得,则在分别存在时， (4)取，则当时，式(1.4)对于成立。如此，对任意时，存在使及 (1.5)整理上述便可得。 3.

45、10利用导数的定义求极限导数的定义设函数在点的*邻域内有定义，若极限 (1.1)存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作。 令，则(1)式可改写为 (1.2)在这种方法的运用过程中，首先要选好，然后把所求极限表示成在定点的导数。【例】 求 。解 取,则3.11利用中值定理求极限微分中值定理：包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。 1、罗尔(Rolle)定理 若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续; (2)在开区间内可导; (3),则在内至少存在一点,使得 。 (1.1) 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数满足如下条件: (1)在闭区间上连续; (

46、2)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得 。 (1.2)显然，特别当时，本定理得结论(1.2)即为罗尔定理得结论(1.1)，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。【例1】求。 解积分中值定理：包括积分第一中值定理、积分第二中值定理。 1、积分第一中值定理 设函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 2、积分第二中值定理 设函数在上可积。 (1)若函数在闭区间上减，且，则存在，使得; (2)若函数在闭区间上增，且，则存在，使得【例2】求 。解 3.12洛必达法则求极限由于两个无穷小量或无穷大量之比的极限可能是存在的，也可能是不存在的，因此我们常常将两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统

47、称为不定式极限，并且可以分别记为型或型不定式极限。此处我们以导数为工具来对不定式极限进行研究，这个方法我们通常称其为洛必达(LHospital)法则。注：洛必达法则只能在针对型或型的的极限才可直接使用，而其他待定型的就必须先转化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。型不定式极限定理 若函数和满足：(1)(2)在点的*空心邻域内两者都可导，且(3)，则注：若将定理中换成，只要相应地修正条件(2)中的邻域，也可得到同样的结论。【例1】 求。解 容易检验得函数和在点的邻域内满足以上定理的条件(1)和(2)，又因为故由洛必达法则求得型不定式极限定理 若函数和满足：(1)(2)在点的*邻域内两者都可导

48、，且(3),则【例2】 求。解 由以上定理可有【例3】 求。解 注1：若不存在，并不能说明不存在。注2：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件。3.12.3其他类型不定式极限 不定式极限还有，等类型。经过简单的变换，它们一般均可化为型或型的极限。【例4】 求。解 这是一个型的不定式极限。利用恒等变形可将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则可得到【例5】 求。解 这是一个型的不定式极限。作恒等变形其指数部分极限是型的不定式极限，可以先求因而得到【例6】 求。解 这是一个型的不定式极限。按【例5】变形的方法，我们先求型极限： 之后

49、可得到当时，上面所得的结果很显然成立的。 【例7】求。解 这是一个型的不定式极限。依旧先求其对数的极限(型)： 于是有【例8】 求。 解 这是一个型的不定式极限，进行通分后可化为型的极限，即3.13利用泰勒公式求极限定理（泰勒公式） 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 。 (1.1)定理中(1.1)式称为函数在点处的泰勒公式。注：我们用得较多的是泰勒公式在时的特殊形式：它也称为麦克劳林(Mzclaurin)公式。【例】 求极限。解 考虑到以上极限式的分母为，此处选用麦克劳林公式来表示极限的分子:因而求得3.14利用定积分的定义求极限定义 设是定义在区间上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的

50、正数，总存在*一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有,则称函数在区间上可积；数称为在上的定积分，记作。注：利用定积分求极限主要要解决的是求和式极限这样的问题，在求极限时首先要选好合适的可积函数，然后把所求极限的和式表成函数在*区间上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限。【例】 利用定积分求极限。解 将极限式转化为*个积分和的极限式，然后转化为定积分的计算。为此作如下变形:。显然，其间的和式是函数在区间上的一个积分和(我们在这里取的是等分分割，)。因此。当然，我们也可将看作是在上的定积分，同样有。 3.15利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛，

51、则，运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。【例1】求解设则由比值判别法知收敛由数项级数收敛的必要条件知 。 【例2】 证明。解 记，则正项级数就是收敛的，这是因为因此由柯西准则知。 4.结束语极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论，就不可能有今天数学蓬勃发展的局面。如今数学分析已经成为一门中要的数学分支，对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献。微积分作为一种重要的数学工具，已经渗透到科学的各个领域。作为微积分基石的极限理论也在随着科学技术的发展而发展，极限理论为整个科学提供了一个强大的工具.而有关极限的计

52、算和证明方法的归纳与学习更是学习数学分析的必要行为，也为更深入研究数学分析奠定基础。参考文献1华东师*大学数学系编,数学分析（第三版）M，高等教育，2001年。2大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学M，中国水利水电,2004年。3钱*等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）M，*长江出版集团，2009年。. z.-Calculation of Limit and its Methods of ProofAbstract: This article summarizes 15 ways to seeka limit in mathematical analysis:(

53、1)using the definition of function; (2)using Force convergence theorem and monotone bounded theorem; (3)using Cauchy convergence criterion;(4) using the character of four algorithms of limits; (5)using two important limit formula;(6)the using sided limit;(7)using the nature of the infinitesimal;(8)u

54、sing equivalent Infinitesimal replacement;(9)using continuity of functions; (10)using the definition of derivative function;(11)using mean value theorem;(12)using definite integral summing;(13)using LHpitals rule;(14)using Taylor e*pansion formula; (15)and the series converges.Keywords: limit，the cl

55、assification of limits，the calculation of limits. z.-*师*大学本科生毕业论文评议书姓 名*学 院汇华学院专 业数学与应用数学年级（班）2008级*班论文题目极限的计算与证明方法完成时间2012年5月8日论文容摘要摘要：极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。极限一直是数学分析中的一个重点内容，极限主要可分为数列极限和函数极限两大类，而极限的计算与证明方法又可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们可以知道求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，同时也要注意两个重要极限的

56、运用，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。迫敛性和单调有界准则是很重要的定理，在解题的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则等则是针对*些特殊的情形而言的。本文主要归纳了数学分析中求极限的十五种方法：（1）利用函数的定义求极限、（2）利用三个准则求极限、（3）利用柯西收敛准则求极限、（4）利用极限的四则运算性质求极限、（5）利用两个重要极限公式求极限、（6）利用单侧极限求极限、（7）利用无穷小量的性质求极限、（8）利用等价无穷小量代换求极限、（9）利用函数的连续性求极限、（10）利用导数的定义求极限、（11）利用中值定理求极限、（12）利用定积分求和式的极限、（13）利用洛必达法则求极限、（14）利用泰勒展开式求极限、（15）利用级数收敛的必要条件求极限。指导教师评语 年 月日指导教师职称初评成绩答辩小组职称教研