高等数学定积分及其应用PPT课件

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1、背景来源面积的计算！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分第1页/共113页1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah定积分的概念 第2页/共113页1xix1ixxabyo1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直

2、线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共113页niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi第4页/共113页1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点ii)(if3、局部以直代

3、曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替)(xfy 0 xa 1x2x1ixix1nxbxn4、作和：S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfyx第5页/共113页1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点i3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替)(xfy 4、作和：S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfbaniiidxxfxfS)()(lim10|5、取极限 )max|(| )(lim10|iniiixxfSa b

4、yx第6页/共113页设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 分割分割., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 近似近似.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为第7页/共113页iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近

5、似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共113页abxo,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共113页baxxfd)(iniixf10)(lim

6、积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共113页如果如果 0)(xf ，则，则( )d0baf xx , 此时此时( )dbaf xx表示由曲线表示由曲线( )yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积梯形的面积 A，即，即baAxxfd)( . . x O y a b A y=f(x) 第11页/共113页如果如果)(xf0， 则则( )d0baf xx， 此时此时( )

7、dbaf xx表示由曲线表示由曲线( )yf x，,xa xb及及 x轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形的面积边梯形的面积 A 的的负值负值，即，即( )dbaf xxA . . x O y a b -A y=f(x) 第12页/共113页123( )d.baf xxAAA如果如果)(xf 在在,ba上有上有正有负时，则正有负时，则( )dbaf xx表示由表示由曲线曲线)(xfy ，直线，直线,xa xb及及 x 轴所围成的平面图形的轴所围成的平面图形的面积位于面积位于 x 轴上方的面积减去轴上方的面积减去位于位于 x 轴下方的面积，如右图轴下方的面积，如右图所示，即所示，即 3 A ) ( x

8、 f y O a b x y 2 A 1 A 第13页/共113页Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfbaA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共113页o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束 2xy iiiixxf2)(则32ni第15页/共113页o1 xy

9、niiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共113页,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n第17页/共113页121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd1

10、0iixninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni第18页/共113页机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxx

11、fd)(. 2xyxyxyn21第19页/共113页baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.第20页/共113页性质性质1 常数因子可提到积分号外常数因子可提到积分号外性质性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。函数代数和的积分等于它们积分的代数和。babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(5.2 定积分的简单性质第21页/共113页性质

12、性质3 若在区间若在区间 a , b 上上 f (x)K，则，则性质性质4 定积分的区间可加性定积分的区间可加性 若若 c 是是 a , b 内的任一点，则内的任一点，则)()(abKdxkkdxdxxfbabababccabadxxfdxxfdxxf)()()(abdxdxdxxfbababa1)(abc第22页/共113页abc,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共113页性质性质5 如果在区间如果在区间 a , b 上上 ，f (x) g

13、(x)，则，则性质性质6 设在区间设在区间 a , b 上上 （a1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第90页/共113页. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 第91页/共113页引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回

14、 结束 第92页/共113页, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,( )dlim( )dbbattaf xxf xx 这时称暇积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称暇积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxftabtbad)(limd)(若极限lim( )dbttaf xx 数 f (x) 在 （a , b 上的暇积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 第93页/共113页,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(

15、xxfcad)(xxfbcd)(为瑕点瑕点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义第94页/共113页112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛0arcsinatatlim. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式atlimatlim2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 讨论暇积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101limtxtttx101lim所以暇积分112dxx发散 .tdxxa02210arcsintax第95页/共113页xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1t

16、ttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 返回 结束 第96页/共113页xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第97页/共113页1. 定义定义:函数)0(d)(01sxexsxs第98页/共113页(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部积分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到

17、:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n第99页/共113页机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,2ux )0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu0d2ueu21212第100页/共113页一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 第101页/共113页1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例

18、例1. 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx第102页/共113页因为 依赖于且1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理eenn1lim原式0不对不对 !,n.10机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . px11ppxx11) 10( x1px1 如, P265 题4第103页/共113页求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd111024

19、2. 求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 第104页/共113页.d411032xxx估计下列积分值解解: 因为 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 第105页/共113页.2d222042exeexx证证: 令,)(2xxexf则xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,

20、1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第106页/共113页1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 第107页/共113页.d12ln02xex解解: 令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62t

21、ttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第108页/共113页.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xsinxcos第109页/共113页tttcbcadcos990d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数 , 故选择 c

22、使)(cbca即2bac可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第110页/共113页, 1,0)(Cxf解解: 令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt则xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 第111页/共113页xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 第112页/共113页感谢您的观看。感谢您的观看。第113页/共113页