ACM中矩阵乘法的应用精讲

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1、ACM中矩阵乘法的应用与原篇有删改by 三江小渡Categories: 数据结构和算法, 算法理论、技巧、总结Tags: 矩阵乘法Comments: No CommentsPublished on: 2011 年 09 月 18 日矩阵乘法真的理解的不够深！好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人,今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识,只介绍矩阵乘法和相关性质。不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位

2、置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如,下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵,其结果是一个2行3列的矩阵。其中,结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵,得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一,矩阵乘法不满足交换律；二,矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话,交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C,那么C和A的结果的第i行第j列上的数都等于所有A*B*C的和枚举所有的k

3、和l。经典题目1 给定n个点,m个操作,构造O的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转两种情况,旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟,那么m个操作总共耗时O。利用矩阵乘法可以在O的时间里把所有操作合并为一个矩阵,然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置,总共耗时O。假设初始时某个点的坐标为x和y,下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来,再乘以,即可一步得出最终点的位置。经典题目2 给定矩阵A,请快速计算出Ann个A相乘的结果,输出的每个

4、数都mod p。由于矩阵乘法具有结合律,因此A4 = A * A * A * A = * = A2 * A2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时,An = A * A；当n为奇数时,An = A * A * A 其中n/2取整。这就告诉我们,计算An也可以使用二分快速求幂的方法。例如,为了算出A25的值,我们只需要递归地计算出A12、A6、A3的值即可。根据这里的一些结果,我们可以在计算过程中不断取模,避免高精度运算。经典题目3 POJ3233题目大意：给定矩阵A,求A + A2 + A3 + + Ak的结果两个矩阵相加就是对应位置分别相加。输出的数据mod m。k=109。这道题两次二分,

5、相当经典。首先我们知道,Ai可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如,当k=6时,有：A + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = + A3*应用这个式子后,规模k减小了一半。我们二分求出A3后再递归地计算A + A2 + A3,即可得到原问题的答案。-这题有位强人topsky 说：题目3构造一个矩阵A IO I自乘后A2 I+AO I乘3次为A3 I+A+A2O I这样应该会更快吧,直接二分一下。有木有感觉很强大？-经典题目4 VOJ1049题目大意：顺次给出m个置换,反复使用这m个置换对初始序列进行操作,问k次置换后的序列。m=10, k231。首先将这m

6、个置换合并起来算出这m个置换的乘积,然后接下来我们需要执行这个置换k/m次取整,若有余数则剩下几步模拟即可。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1 2 3 4置换为3 1 2 4,相当于下面的矩阵乘法：置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。经典题目5 算法艺术与信息学竞赛207页2.1代数方法和模型,例题5细菌,版次不同可能页码有偏差大家自己去看看吧,书上讲得很详细。解题方法和上一题类似,都是用矩阵来表示操作,然后二分求最终状态。经典

7、题目6 给定n和p,求第n个Fibonacci数mod p的值,n不超过231根据前面的一些思路,现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵,使得它乘以得到的结果是。每多乘一次这个矩阵,这两个数就会多迭代一次。那么,我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次,再乘以就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想,这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：经典题目7 VOJ1067我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项,其对应矩阵的构造方法为：在右上角的*的小矩阵中的主对角线上填1,矩阵第n行填对应的系数,其它地方都填0。例如,我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f = 4f 3f + 2f的第k项

8、：利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。经典题目8 给定一个有向图,问从A点恰好走k步允许重复经过边到达B点的方案数mod p的值把给定的图转为邻接矩阵,即A=1当且仅当存在一条边i-j。令C=A*A,那么C=A*A,实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数枚举k为中转点。类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理,如果要求经过k步的路径数,我们只需要二分求出Ak即可。经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案,M=5,N011-111、111-110-111和111-000-111,这与用

9、多米诺骨牌覆盖32矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。经典题目10 POJ2778题目大意是,检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以的病毒片段,每个片段长度不超过10。数据规模n=2 000 000 000。下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例,说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀,把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?

10、G结尾、以?C结尾和以?结尾。其中问号表示其它情况,它可以是任一字母,只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。显然,这些分类是全集的一个划分交集为空,并集为全集。现在,假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数,我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如,从AT不能转移到AA,从AT转移到?有4种方法后面加任一字母,从?A转移到AA有1种方案后面加个A,从?A转移到?有2种方案后面加G或C,从GG到?有2种方案后面加C将构成病毒片段,不合法,只能加A和T等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后

11、,我们就把这个图转化成矩阵,让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从?状态到所有其它状态的路径数总和。题目中的数据规模保证前缀数不超过100,一次矩阵乘法是三方的,一共要乘log次。因此这题总的复杂度是1003 * log,AC了。最后给出第9题的代码供大家参考今天写的,熟悉了一下C+的类和运算符重载。为了避免大家看代码看着看着就忘了,我把这句话放在前面来说：Matrix67原创,转贴请注明出处。#include #define SIZE 1#define MAX_SIZE 32using namespace std;class CMatrixpublic:long elementMAX_SIZ

12、EMAX_SIZE;void setSize;void setModulo;CMatrix operator* ;CMatrix power;private:int size;long modulo;void CMatrix:setSizefor int i=0; ifor int j=0; jelementij=0;size = a;void CMatrix:setModulomodulo = a;CMatrix CMatrix:operator* CMatrix product;product.setSize;product.setModulo;for int i=0; ifor int

13、j=0; jfor int k=0; kproduct.elementij+=elementik*param.elementkj;product.elementij%=modulo;return product;CMatrix CMatrix:powerCMatrix tmp = * ;if return *this;else if return tmp.power * ;else return tmp.power;int mainconst int validSet=0,3,6,12,15,24,27,30;long n, m, p;CMatrix unit;scanf;unit.setSi

14、ze;forint i=0; iforint j=0; jif &j = & bool isValid=false;for int k=0; kisValid=isValid|=validSetk;unit.elementij=isValid;unit.setModulo;printf%d, unit.power.elementSIZE-1SIZE-1 ;return 0;HDU1005Number Sequence矩阵乘法by 三江小渡Categories: 数据结构和算法Tags: HDU, 矩阵乘法Comments: No CommentsPublished on: 2011 年 09

15、月 16 日A number sequence is defined as follows:f = 1, f = 1, f = A * f + B * f mod 7.Given A, B, and n, you are to calculate the value of f.题意：给出一个递推公式,求第N项。题解：开始试图找出一个能够直接算的递推公式,没找到,所以考虑矩阵乘法。根据给出的递推公式可以设想：然后使用矩阵乘法时间复杂度为logn的一个算法,模板代码,具体算法讲解可由指数算法推广得出。即 xn=。细节请看模板代码。#include#include#include#include#i

16、ncludeusing namespace std;#define N 2#define MOD 7struct Matrixint m22;void matrixMultiplicationMatrix tm,tm1;int i,j,k;tm=res;fori=0;iforj=0;jres.mij=;ifreturn;whileifmemsettm1.m,0,sizeof;fori=0;iforj=0;jfork=0;ktm1.mij+=%MOD;tm1.mij%=MOD;res=tm1;memsettm1.m,0,sizeof;fori=0;iforj=0;jfork=0;ktm1.mij+=%MOD;tm1.mij%=MOD; tm=tm1;n=1;int mainMatrix mat;int n;whilemat.m00mat.m01nifbreak;ifn cout1endl; continue; mat.m10=1;mat.m11=0;matrixMultiplication;cout%MODendl;return 0;9 / 9