经典正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明

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1、.正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法王彦文 青铜峡一中6 / 6.1掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明,或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现1正弦定理正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即其中R是三角形外接圆的半径正弦定理的其他形式：a2RsinA,b,c；sinA,sinB,sinC；abc_.2余弦定理余弦定理：三角

2、形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2,b2,c2.若令C90,则c2,即为勾股定理余弦定理的变形：cosA,cosB,cosC.若C为锐角,则cosC0,即a2b2_c2；若C为钝角,则cosC0,即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_,余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA,类似地,sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解斜三角形的类型已知三角形的任意两个角与一边,用_定理只有一解已知三角形的任意两边与其中一边的对角

3、,用_定理,可能有_如在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数 已知三边,用_定理有解时,只有一解已知两边及夹角,用_定理,必有一解4三角形中的常用公式或变式三角形面积公式S_其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径ABC,则A_,_,从而sinA_,cosA_,tanA_；sin_,cos_,tan_.tanAtanBtanC_.若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.自查自纠12R2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2b2c22bccosAc2a22ca

4、cosBa2b22abcosCa2b2互化sin2Csin2A2sinCsinAcosBsin2Asin2B2sinAsinBcosC3正弦正弦一解、两解或无解一解二解一解一解余弦余弦4absinCbcsinAacsinBrsincostancossintanAtanBtanCacsinAsinC在ABC中,AB是sinAsinB的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中,角大则边大,边大则正弦大,反之也成立,故是充要条件故选C.在ABC中,已知b6,c10,B30,则解此三角形的结果有A无解 B一解C两解 D一解或两解解：由正弦定理知sinC

5、,又由cbcsinB知,C有两解也可依已知条件,画出ABC,由图知有两解故选C.设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA,即sinsinAsinA,亦即sinAsinAsinA.因为0A,所以sinA1,所以A.所以三角形为直角三角形故选B.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2,B,c2,则b_解：由余弦定理知b2a2c22accosB222222cos4,b2.故填2.在ABC中,角

6、A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b2,sinBcosB,则角A的大小为_解：sinBcosB,sin,即sin1.又B,B,B.根据正弦定理,可得sinA.ab,AB.A.故填.类型一正弦定理的应用ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AC90,acb,求C.解：由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90,B180,故cosCsinCsinAsinCsinsinsin2sin2sincos,即cos.又0C90,45C60,C15.评析利用正弦定理将边边关系转化为角角关系,这是解此题的关键在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A,bsin

7、csina.求证：BC；若a,求ABC的面积解：证明：对bsincsina应用正弦定理得sinBsinsinCsinsinA,即sinBsinC,整理得sinBcosCsinCcosB1,即sin1.由于B,C,BC.BCA,又由知BC,B,C.a,A,由正弦定理知b2sin,c2sin.SABCbcsinA2sin2sinsinsincossinsin.类型二余弦定理的应用在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.求B的大小；若b,ac4,求ABC的面积解：由余弦定理知,cosB,cosC,将上式代入得,整理得a2c2b2ac.cosB.B为三角形的内角,B.将b,ac4,B代入b

8、2a2c22accosB,得13422ac2accos,解得ac3.SABCacsinB.评析根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足2c24,且C60,则ab的值为A.B84C1 D.解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab,代入2c24中得24,即3ab4,ab.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知abcosCcsinB.求B；若b2,求ABC面积的最大值解：由已知及正弦定理得s

9、inAsinBcosCsinCsinB.又A,故sinAsinsinBcosCcosBsinC.由,和C得sinBcosB.又B,所以B.ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac,故ac,当且仅当ac时,等号成立因此ABC面积的最大值为1.评析化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题,既可用三角函数求最值,也可以用余弦定理化边后用不等式求最值设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ac6,b2,cosB.求a,c的值；求sin的值解：由余弦定理b2a2c22acc

10、osB,得b222ac,又ac6,b2,cosB,所以ac9,解得a3,c3.在ABC中,sinB,由正弦定理得sinA.因为ac,所以A为锐角,所以cosA.因此sinsinAcosBcosAsinB.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中,若tanAtanBa2b2,试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理,得,所以,所以,即sin2Asin2B.所以2A2B,或2A2B,因此AB或AB,从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理,得,所以,所以,再由正、余弦定理,得,化简得0,即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形评析由已知条件,可先将切化弦,再结合正弦

11、定理,将该恒等式的边都化为角,然后进行三角函数式的恒等变形,找出角之间的关系；或将角都化成边,然后进行代数恒等变形,可一题多解,多角度思考问题,从而达到对知识的熟练掌握在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C,则ABC的形状是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解：在ABC中,sin2Asin2Bsin2C,由正弦定理知a2b2c2.cosC0,即C为钝角,ABC为钝角三角形故选C.类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处,并以30 n mile/h的航行速度沿正东

12、方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶,经过t h与轮船相遇若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少？假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h,试设计航行方案,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由解法一：设相遇时小艇航行的距离为S n mile,则S,故当t时,Smin10,此时v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2400900t222030tcos,故v2900.0v30,900900,即0,解得t.又t时,v30.故v30时,t取得最小值,且最小值等

13、于.此时,在OAB中,有OAOBAB20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30,航行速度为30 n mile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇在RtOAC中,OC20cos3010,AC20sin3010.又AC30t,OCvt,此时,轮船航行时间t,v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小假设v30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时ADDO30t.又OAD60,所以ADDOOA20,解得t.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30,航行

14、速度的大小为30 n mile/h.这样,小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：如图,由得OC10,AC10,故OCAC,且对于线段AC上任意点P,有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h,故小艇与轮船不可能在A,C之间的任意位置相遇设COD0,则在RtCOD中,CD10tan,OD.由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t和t,所以.由此可得,v.又v30,故sin,从而,3090.由于30时,tan取得最小值,且最小值为.于是,当30时,t取得最小值,且最小值为.评析这是一道有关解三角形的实际应用题,解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题目提供的信息

15、,找出三角形中的数量关系,然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在实际问题中,有广泛的应用在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一不管是什么类型的三角应用问题,解决的关键都是充分理解题意,将问题中的语言叙述弄明白,画出帮助分析问题的草图,再将其归结为属于哪类可解的三角形本题用几何方法求解也较简便如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上求渔船甲的速度；求sin的值解：依题意,B

16、AC120,AB12,AC10220,在ABC中,由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784,BC28.所以渔船甲的速度为v14在ABC中,AB12,BAC120,BC28,BCA,由正弦定理得,即,从而sin.1已知两边及其中一边的对角解三角形时,要注意解的情况,谨防漏解2在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变形求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则有可能漏掉一种形状3要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列,则必有一角为60；若三内角的正

17、弦值成等差数列,则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinAsin,cosAcos,sincos,sin2Asin2,cos2Acos2等4应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型；求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解；检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解5正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想