专题讲座五实际应用性问题

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1、专题讲座五实际应用性问题,学生用书P177P178)数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，高考命题坚持“贴近课本、贴近生活、贴近实际”的原则，要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法；另一方面要善于把文字语言转译成数学语言，实现由实际问题向数学问题的转化函数、不等式应用题函数应用题经常涉及路程、物价、产量等实际问题，也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量，解答这类问题一般要列出有关解析式，然后用函数、方程、不等式等知识解决(2015深圳模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租

2、出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆(2)设每辆车的月租金为x元(x3 000)，租赁公司的月收益为y元，则yx50150162x21 000(x4 050)2307 050，所以当x4 050时，ymax307 050即每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元规律方法在解决此类问题时需注意：一要过“阅读”关，读懂题目，能够概括出问

3、题所涉及的内容；二要过“理解关”，准确理解和把握这些变量之间的关系；三要过“建模关”，在前两步的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；四要过“解题关”，通过解决数学问题得出实际问题的结论数列应用题数列应用题，经常涉及到与增长率有关的实际问题以及已知前几个量的归纳推理问题，需要运用等差、等比数列知识解决(2015广东广州模拟)流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市今年4月份曾发生流感据资料统计，4月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制从某天起，每天的新感染者平均

4、比前一天的新感染者减少30人，到4月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人问4月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数解设从4月1日起第n(nN*，1n30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从4月1日到第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn20n5025n25n从第n1日开始，至4月30日止，每日的新患者人数依次构成另一个等差数列，这个等差数列的首项为20(n1)503050n60，公差为30，项数为(30n)，(30n)日的患者总人数为T30n(30n)(50n6

5、0)(30)(30n)(65n495)65n22 445n14 850依题意，SnT30n8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670化简得n261n5880，解得n12或n491n30，n12第12日的新患者人数为20(121)505704月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者为570人规律方法本题主要考查了等差数列的概念和公式，考查了阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力以及应用所学知识分析和解决实际问题的能力概率应用题概率应用题主要考查古典概型、几何概型、互斥事件的概率某售报亭每天以每份06元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的

6、价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份01元的价格卖给废品收购站(1)若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x的函数关系解析式；(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：日需求量x(份)240250260270280290300频数10201616151310假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸，求这100天的日平均利润；若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过100元的概率解(1)当x280时，y280(106)112；当x280时，y(106)x05(280x)09x14

7、0综上，y，xN*(2)这100天中每天利润76元的有10天，每天利润85元的有20天，每天利润94元的有16天，每天利润103元的有16天，每天利润112元的有38天所以这100天的日平均利润为9868(元)利润不超过100元，即当且仅当报纸日需求量不大于260份故当天的利润不超过100元的概率为P0102016046规律方法概率知识作为一个新型的介质，与统计、函数、数列等交汇是今后高考考查概率应用的命题方向，解决此类问题的一般步骤：(1)根据题意，确定交汇类型及概型；(2)对随机事件进行合理分析、变所求事件为若干个互斥事件的和；(3)利用互斥事件、对立事件、古典(几何)概型公式求解,学生用

8、书P179)1(2015郑州市质检)每年春季在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健康活动之一，每年的参与人数不断增多，然而也有部分人对该活动的实际效果提出了疑问对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留意见不支持男800450200女100150300(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；(2)接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：92，96，87，93，90，82，把这6个人打出的分数看作一个总体

9、，从中任取2个数，求这2个数与总体平均数之差的绝对值都不超过05的概率解：(1)所有参与调查的人数为8001004501502003002 000，由分层抽样知：n2 000100(2)总体平均数x90，从这6个数中任取2个的所有可能取法为：(92，96)、(92，87)、(92，93)、(92，90)、(92，82)、(96，87)、(96，93)、(96，90)、(96，82)、(87，93)、(87，90)、(87，82)、(93，90)、(93，82)、(90，82)，共计15种由|x90|05知，当所取的2个数都在85，95内时符合题意，即(92，87)、(92，93)、(92，90

10、)、(87，93)、(87，90)、(93，90)符合，共计6种，所以所求概率P2(2015东北四市联考) 在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午1100时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到1110时，又测得该船在岛北偏西45，俯角为60的C处(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离解：(1)设船速为x km/h，则BC km在RtPAB中，PBA与俯角相等为30，AB同理，在RtPCA中，AC在ACB中，CAB154560，由余弦定理得BC，x62(km/h)，船的航行速度为2 km/h(

11、2)法一：作ADBC于点D(图略)，当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小此时，ADPD 船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km法二：由(1)知在ACB中，由正弦定理，sin B作ADBC于点D(图略)，当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小此时，ADABsin BPD 船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km3(2015福建福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销

12、策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设每件定价为t元，依题意，有(802)t258，整理得t265t1 0000，解得25t40要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解，x210(当且仅当x30时，等号成立)，a102当该商品明年的销售量a至少应达到102万件时，才可能使明年的销

13、售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元4某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂问哪种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以12为首项，4为公差的等差数列则f(n)50n12n4722n240n72(1)获取纯利润就是要求f(n)0，故由2n240n720，解得2n18又nN*，故从第三年开始获利(2)平均利润为402(n )16，当且仅当n6时取等号故此方案获利61648144万美元，此时n6f(n)2n240n722(n10)2128，当n10时，f(n)max128故此方案共获利12816144万美元比较两种方案，在获利相同的前提下，第种方案只需6年，第种方案需要10年，故选择第种方案较合算