江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学理试卷解析版

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1、2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学（理）试卷（解析版）1. 已知集合，集合，若，则实数_【答案】1【解析】由题意得,验证满足点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2. 设复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】, 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过

2、点，则_【答案】【解析】由题意得，所以4. 已知的三边长成公比为的等比数列，则最大的余弦值为_【答案】【解析】由题设三边长分别为:a,2a,且2a为最大边,所对的角为,由余弦定理得:5. 设是定义在上的周期为2的函数，当时，则_【答案】1【解析】周期为2, 6. 设为等比数列的前项和，则_【答案】-11【解析】试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案考点：等比数列的前n项和【名师点睛】等比数列问题，关键是首项和公比，因此在涉及互等比数列问题中，经常把项和和用表示出来并解出，然后就可得出通项公式和前项和，这称之为基本量法，是我们在解题时要重视的方法等差数列也有类似的要求如

3、果涉及到等比数列的和，还有可能要对公比进行分类，即分为和两类7. 已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式组的解集用区间表示为_【答案】【解析】由是定义在上的奇函数，当时，解得.8. 函数,(,是常数，)的部分图象如图所示，则_【答案】【解析】由的图象可得函数的周期T满足= , 解得T=又0，故=2又函数图象的最低点为(,)故A=且sin(2+)=即+=故=f(x)=sin(2x+)f(0)=sin=故答案为：9. 已知函数在区间（）上存在零点，则_【答案】5【解析】函数是连续的单调增函数,所以函数的零点在之间,所以n=510. 区域是由直线、轴和曲线在点处的切线所围成的封闭区域，若点区域内，则

4、的最大值为_【答案】2【解析】由题意知，f(x)在（1，0）处的切线方程为y=x-1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z=x-2y的最优解（0，-1），即z的最大值为2.11. 如图，在中，则的值为_【答案】-2【解析】试题分析：考点：向量数量积12. 已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为_【答案】15【解析】试题分析：由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又，所以实数的最小值为考点：等差数列求和，不等式求最值13. 已知函数（）与，若函数图像上存在点与函数图像上的点关于轴对称，则的取值范围是_【答案】【解析】设点在函数上，由题意可知，点P关于y轴

5、的对称点在函数上，所以，消，可得，即，所以令，问题转化为函数与函数在时有交点。在平面直角坐标系中，分别作出函数与函数的图象，如图所示，当过点时，解得 。由图可知，当时，函数与函数在时有交点.14. 在中，角，的对边分别为，若，则的最小值是_【答案】【解析】， , , 当且仅当时成立.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.15. 已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（

6、2）.【解析】试题分析：（1）由易得，代入式子中求值；（2）先求出，再对两边平方化简可得关于和的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得和的值，代入的展开式，就可求出其值.试题解析：（1）由可知，所以，所以.（2）由可得，即，又，且，由可解得，所以.16. 已知函数（）.（1）若，求当时函数的最小值；（2）当时，函数有最大值-3，求实数的值.【答案】（1）3；（2）.【解析】试题分析：(1)若,求当时函数的最小值,由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当时,函数有最大值-3,求实数m的值,在本题条件下, ,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.试题解析：（

7、1）时，.因为，所以.所以.当且仅当，即时取等号.所以当时函数的最小值为3.（2）因为，所以.所以.当且仅当，即时取等号.即函数的最大值为，所以解得.17. 如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点.（1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求面积的最大值及此时的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由得出，在中，利用余弦定理计算长度；（2）要求面积的最大值，需要将面积表示为的函数再求最值，显然可以用正弦的面积公式，注意到已知，故不妨用，接下来分别把表示成的函数，在中利用正弦定理得，同理，利用正弦定理，得，故的面积，运用两角差

8、的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式将化为同角三角函数，得，注意的范围是，可得时取最大值1，此时取最大值.试题解析：(1)在中，,，由； 5分（2）平行于，在中，由正弦定理得，即，又,. 8分记的面积为，则=， 10分当时，取得最大值. 12分考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算；3、正、余弦定理.18. 已知椭圆（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点.求证：直线恒过定点.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.【解析】(1)解：由题意知：e，b1，a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设直线AM的方程为yk

9、x1(k0)，由方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.用代替上面的k，可得xN，yN.因为kMP，kNP，所以kMPkNP，因为MP、NP共点于P，所以M、N、P三点共线，故直线MN恒过定点P.19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“类函数”，求是实数的最小值；（3）若 为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）函数是“类函数”；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1) 由，得整理可得满足(2) 由题存在实数满足，即方程在上有解.令分离参数可得，设求值

10、域，可得取最小值 (3) 由题即存在实数，满足，分，三种情况讨论可得实数m的取值范围.试题解析：（1）由，得：所以所以存在满足所以函数是“类函数”，（2）因为是定义在上的“类函数”，所以存在实数满足，即方程在上有解.令则，因为在上递增，在上递减所以当或时，取最小值（3）由对恒成立，得因为若 为其定义域上的“类函数”所以存在实数，满足当时，所以，所以因为函数（）是增函数，所以当时，所以，矛盾当时，所以，所以因为函数 是减函数，所以综上所述，实数的取值范围是点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定

11、参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.20. 已知数列，其前项和为.（1）若对任意的，组成公差为4的等差数列，且，求；（2）若数列是公比为（）的等比数列，为常数，求证：数列为等比数列的充要条件为.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意,可求得，（）,从而得，是公差为4的等差数列,且,于是可求； (2)由 ,可求得,两式相减得,若,可证得数列为等比数列,(充分性);若数列为等比数列,可证得,(必要性).试题解析：（1）因为，成公差为4的等差数列，

12、所以，（），所以，是公差为4的等差数列，且，又因为，所以（2）因为，所以，所以，-，得，（i）充分性：因为，所以，代入式，得，因为，又，所以，所以为等比数列，（ii）必要性：设的公比为，则由得，整理得，此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：若，当且仅当时成立，所以.由（i）、（ii）可知，数列为等比数列的充要条件.21. 已知矩阵 ， ，求矩阵.【答案】 = .【解析】试题分析：先用待定系数法求出，再求出.试题解析：设矩阵的逆矩阵为，则， 1分即， 4分故，从而的逆矩阵为 7分所以 10分考点：矩阵的乘法、逆矩阵.22. 设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，已

13、知曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线（为参数）与曲线交于，两点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)曲线C的极坐标方程为,即.利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程.(2)设直线（为参数)的直角坐标方程为,，配方为,可得圆心，半径,求出圆心C到直线的距离d.可得试题解析：（1）曲线的极坐标方程为，即.曲线的直角坐标方程为.（2）设直线（为参数）的直角坐标方程为.，配方为，可得圆心，半径圆心到直线的距离23. 某地区有云龙山，户部山，子房山河九里山等四大名山，一位游客来该地区游览，已知该游客游览云龙山的概率为，游览户部山、子房山和九里山的概率都是，且该游

14、客是否游览这四座山相互独立.（1）求该游客至少游览一座山的概率；（2）用随机变量表示该游客游览的山数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）所以的概率分布为01234故.【解析】试题分析：(1)利用相互独立事件的概率公式,即可求该游客至多游览一座山的概率; (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,求出相应的概率,即可求X的概率分布和数学期望.试题解析：（1）记“该游客游览座山”为事件，则，所以该游客至少多游览一座山的概率为.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，所以的概率分布为01234故.点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机

15、变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.24. 直三棱柱中， ，.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求实数的值.【答案】（1），（2）.【解析】试题分析：（1）直接按照求直线与平面所成角的步骤来求即可；直线与平面所成角可先求出平面的法向量n与直线的方向向量，则；（2）根据求二面角的步骤，列出关于实数的方程来求；求出二面角的大小，可先求出两个半平面与的法向量，若二面角所成的角为锐角，则；若二面角所成的角钝角，则.试题解析：解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，（1）当时，为的中点，所以，设平面的法向量为则，所以取，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2），设平面的法向量为，则，所以取.又平面的一个法向量为，由题意得，所以，解得或（不合题意，舍去），所以实数的值为.考点：二面角；直线与平面所成角的方法.14第页