直线与圆锥曲线的位置关系教案

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1、 课题： 直线与圆锥曲线的位置关系 高考要求 1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题 2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题 3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法 4会用弦长公式|AB|=|x2－x1|求弦的长； 5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等 一、 复习目标 （一） 知识目标 1、 掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的

2、坐标之间的关系； 2、 领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用； 3、 理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧； （二） 能力目标 1、 通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力. 2、 培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力． （三） 情感目标 1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣. 2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。 二、 教学重点与难点 重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思

3、想、分类讨论思想、数形结合思想运用； 难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。 三、 方法指导： 1、 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。 2、 涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。 3、 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。 4、 要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学

4、思想的运用。 四、 教具准备：多面体课件。 五、 教学过程 （一）基础整合 1、直线与圆的位置关系的判断：由圆心到直线的距离d与圆半径r比较 大小判断位置关系： （1）当 时，直线与圆相交；（2）当 时，直线与圆相切；（3）当 时，直线与圆`相离。 2、 直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 【注意】：①当a=0时，即得到一个一次方程，则直线与C相交，且只有一个交点，此时，若曲线C为双曲线，则直线平行与渐近线；若曲线C为抛物线，则直线平行与抛物线的对称轴。②直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条

5、件． 3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x1,y1)，B(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 则弦长公式为： === 焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是 到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。 （二）例题讲解 【例1 】 曲线x2-y2=1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则kPF的取值范围是( ) 【演示】 (A)k≤0或k＞1 (B)k＜0或k＞1 (C)k≤-1或k≥1

6、 (D)k＜-1或k＞1 【例2】中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程 解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得 把直线方程代入椭圆方程整理得：。 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得： ，又AB的中点横坐标为， ，与方程联立可解出 故所求椭圆的方程为：。 【点评】：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可 【例3】已知抛物线与直线 ⑴求证：抛物线与直线相交； ⑵求当抛物线的顶点在直线的下方

7、时，的取值范围； ⑶当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值 【分析】：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题 解：（1）由 ∵ 直线与抛物线总相交 （2） 其顶点为，且顶点在直线 的下方， ， 即 ⑶设直线与抛物线的交点为， ∴ 当 【点评】：直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构成的 方程组是否有解的问题 运用“设而不求”求弦长 【例4】已知双曲线和定点 （I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点； （II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由 　　分析：能够综

8、合运用直线方程、双曲线方程及对称性等几何性质来研究直线与双曲线的位置关系 解：（I）设过定点的直线的方程为： 则， ①当时，即， 解得或与双曲线分别交于和 ②当时，由得， 即得切线切点为， 另一切线为，切点为 ∴过点有4条直线与双曲线只有一个公共点 （II）设点为中点， 则 因为满足双曲线方程， 所以 ， 相减得 若弦存在，则必为， 代入双曲线方程得， 方程的判别式，说明中点弦不存在 【点评】：要明确判断直线与双曲线仅有一个公共点的方法步骤；用“点差法”和“设而不求”的方法处理中点弦 【例5】 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的

9、取值范围 【分析】：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k的范围 解法一：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）， 则y0＝＝－2k，x0＝2k2+m ∵点M（x0，y0）在直线l上， ∴－2k=k（2k2＋m）+3 ∴m=－ 又∵BC与抛物线交于不同两点， ∴Δ＝16k2＋16m＞0 把m代入化简得＜0， 即

10、＜0，解得－1＜k＜0 解法二：（点差法）设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）必在曲线内部且x1+x2＝2 x0， y1+y2＝2y0 由 ∴ 即BC中点M的坐标为必在曲线y2=4x内部 ∴ ∴ 【评述】：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0” （三） 课堂小结： 1、由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时常利用数形结合思想，设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解

11、决。这样就加强了对数学各种能力的考查； 2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对消元后的一元二次方程，此时要注意必须讨论二次项的系数和判别式△，有时借助图形的几何性质更方便。用好分类讨论和数形结合的思想方法； 3、当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍； （四）随堂练习 1、过点（2，

12、4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有 A1条 B2条 C3条 D4条 答案：B解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况 2、已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 A1条 B2条 C3条 D4条 答案：D解析：数形结合法，与渐近线平行、相切 3、已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 （ ） A　 B　　 C　　 D 答案:C

13、 解析:直线恒过点，当点在椭圆上或椭圆内时此直线恒与椭圆有公共点，≤1且m＞0，得m≥1 4、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ） A B　C D 答案:D 解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解 5、设抛物线与直线有两个交点，其横坐标分别是，而直线与轴交点的横坐标是，那么的关系是 A　B　C　D 答案:B 解析:由题意得：故选（B） 教学反思: 当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。 要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。