八年级上华东师大版第十四章勾股定理复习教案

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1、第十四章 勾股定理回顾与思考教学目标1知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。2能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。3德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法：启发式教育教学过程 一、回顾与思考 1直角三角形的边存在着什么关系？ 2直角三角形的角存在着什么关系？ 3直角三角形还有哪些性质？4如何判断一个三角形是直角三

2、角形？ 5你知道勾股定理的历史吗？一、 讲例BDCAO问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？（留几分钟的时间给学生思考）分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？ 2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD的长？解：根据勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。BOAOB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-O

3、C2= 32-22=5。OD2.236m0.58m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。 例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c2a2b2证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab4（ba）2 所以c2ab4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故c2a2十b2例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ABC和DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。DBA345

4、12C13 解：在ABC中，AB2AD2324291625BD2 所以ABC为直角三角形，A90 在DBC中，BD2DC25212225144169132BC2 所以DBC是直角三角形，CDB90 因此这个零件符合要求。二、 随堂练习一、判断题。 1由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 二、填空题。 1已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是 2ABC中，C90，B30，AC1，以BC为边的正方形面积为 3三条

5、线段m、n、p满足m2一 n2 p2，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。 1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（）。 A4组 B3组 C2组 Dl组 2三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定一 作业1已知 a、b、c是三角形的三边长，a2n22n，b2n1，c2n22n1（n为大于1的自然数）。试说明LABC为直角三角形。 2若三角形ABC的三边a、b、c满足a2b2c2十3

6、3810a24b26c试判断ABC的形状。 3在等腰ABC中，BAC90，P为ABC内一点，PAl，PB3，PC27，求CPA的大小。4四边形 ABCD中A90，AB4cm，AD3cm，CD12cm，BC13CC，求S四边形ABCD教学内容第14章 勾股定理单元复习授课班级教学目标知识1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用能力情感教学重点勾股定理的应用教学难点实际问题向数学问题的转化教学准备制作课件学案教学过程教 学

7、内 容师 生 互 动备 注一创设情境引入新课想一想1 直角三角形有那些特征？2 直角三角形有那些识别方法？3 你能说几组勾股数呢？学生分组探讨：1一般三角形具有的特征它都有。2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方学生分组探讨：1有一个角是直角的三角形。2 两个角互余的三角形。3 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形学生互相交流。 3、4、5； 5、12、13 7、24、25； 8、15、179、40、41；二合作交流自主探究探究1如图，以Rt的三边为边向外作正方形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？联想（1）若以Rt的三边为直

8、径作半圆，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？（2）若以Rt的三边为边作等边三角形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？BDCAO解：根据勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。OB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m0.58m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端

9、B也外移0.58m。探究3.如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长.ABFCDE探究4有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?5尺1尺x 尺水池探究5如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受

10、影响将持续多长时间？DPMNQACB讨论：1三个正方形的面积分别与哪三条边有关系？2 如果，那么S3=？3 如果 ，则的长为多少呢？等边三角形的面积公式是怎样的呢？分析：BDCAO1、求梯子的底端B距墙角O多少米？2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD的长？解：点F、D关于AE对称 AFE AD E AF=AD ，EF =ED AFE = ADE 四边形ABCD是矩形 BC=AD AB =CD C = ADE =900 又AB =8cm BC =10cm AF=10cm CD =8cm 在Rt ABF中 BF=FC =4cm

11、设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 在 CFE 中，EF2=EC2+FC2 （8-x）2 = x2+42 解得x=3 答：EC的长为3cm.讨论：1 拖拉机行驶在什么地点离学校最近呢？2 若受影响，则在哪一点开始呢？3 在什么范围里，学校将受到影响呢？本题的实质为请同学们回顾勾股定理。引导重在实现图形：BOA与ODC的转化三随堂练习巩固新知1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是_平方厘米2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形 （1）a=7, b=24,

12、c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn,c=m2+n2.（m，n是正整数，且mn） ABC是直角三角形吗？请说明理由3 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为多少？ABEFDC四目标检测形成练习1 在ABC中，C90，若 a5，b12，则 c 2 在ABC中，C90，若c10，ab34，则ab 3 等腰ABC的面积为12cm2，底上的高AD3cm，则它的周长为 4 等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为5 直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为6 如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆设直

13、线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（ ）ABCD无法确定五课堂小结提高认识1 你能说说出本章的知识结构吗？直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法2 本节课有什么收获，请你谈谈？六巩固提高运用拓展1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是多少？3 在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高?BAB

14、C板书设计电教资源探究1 写出规律探究2 写出解题的过程探究4 建立方程探究5 写出解题的过程教 学 反 思第14章 勾股定理 小结与复习 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题 过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用 情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值 重点、难点、关键 重点：熟练运用勾股定理及其逆定理 难点：正确运用勾股定理及其逆定理 关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来 教学准备 教师准备：投影

15、仪，补充资料 学生准备：写一份单元复习小结 教学设计 教学过程 一、回顾与交流 1重点精析 勾股定理，RtABC中，C=90，a2+b2=c2 应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长 2例题精讲 例 在RtABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积 教师分析：因为Rt的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab 解：a+b=p，c=q， a2+2a

16、b+b2=（a+b）2=p2 a2+b2=q2（勾股定理） 2ab=p2-q2 SRtABC=ab=（p2-q2）（厘米2） 学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解 媒体使用：投影显示例题 教学形式：师生互动 3课堂演练演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？ 思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m 思路点拨：应用RtABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB 参考答案：480m 演练三，在RtABC

17、中，a=3，c=5，求b 思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题 参考答案：b=或演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？ 思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA=2米，在RtABC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5 4难

18、点精析 勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）先确定最大边（如c）； （2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则C=90；若c2a2+b2，则ABC不是直角三角形 此时情况有两种： （1）当a2+b2c2时，三角形为锐角三角形； （2）当a2+b2c2时，三角形为钝角三角形 5范例精讲 例 如图所示，ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的ACD，而关键是要判断出ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线

19、AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出ABD是Rt，这样就可以得到ADC=90，从而再应用勾股定理求出AC的长 解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20， 所以BD=DC=BC=10 因为AD2+BD2=576+100=676， AB2=262=676， AD2+BD2=AB2 所以ADB=90，即ADBC（勾股逆定理） 在RtADC中 AC=26（勾股定理） 评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26 6课堂演练 演练一：在数轴上作表示-的点 思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线

20、段的端点A，以O（原点）为圆心，OA为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？ 思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？ 演练三：设ABC的3条边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （1）填表：nabca2+b2c2ABC是不是直角三角形2345 25253456 （2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？ （3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数吗？扩大3倍、

21、4倍和n倍呢？为什么？ （4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？ 教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示 学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用 媒体使用：投影显示“演练题” 教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的二、构筑知识系A. B. 三、随堂练习 课本P62复习题第4，7，10，11题

22、四、布置作业 1课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题 2选用课时作业设计 五、课后反思（略）课时作业设计 一、填空题 1在ABC中，C=90 （1）已知a=24，b=32，则c=_ （2）已知c=17，b=15，则ABC面积等于_ （3）已知A=45，c=18，则a2=_ 2直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_ 3ABC的周长为40cm，C=90，BC：AC=15：8，则它的斜边长为_ 4直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为_，两直角边分别为_ 二、选择题 5在下列说法中是错误的（ ） A在ABC中，C=A-B，则ABC为直角三角形 B在ABC中

23、，若A：B：C=5：2：3，则ABC为直角三角形 C在ABC中，若a=c，b=c，则ABC为Rt D在ABC中，若a：b：c=2：2：4，则ABC为直角三角形 6直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A6cm B5cm Ccm 7下列线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=6，b=8，c=10 Ba=1，b=2，c=6 Ca=，b=1，c= Da=2，b=3，c= 8有四个三角形： （1）ABC的三边之比为3：4：5； （2）ABC的三边之比为5：12：13； （3）ABC的三个内角之比为1：2：3； （4）CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（

24、） A（1）（2） B（1）（2）（3） C（1）（2）（4） D（1）（2）（3）（4） 三、解答题 9如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10如图所示，ADBC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么BAC是直角吗？请说明理由11在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积12如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？ 四、探究题13如图所示，在一块正方形ABCD的布料上要裁出四个大

25、小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=BC，然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由 14如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合 求：（1）折叠后DE的长； （2）以折痕EF为边的正方形面积 答案:一、1（1）4 （2）60 （3）162 26 8 10 317cm 44.8 6和8 二、5B 6D 7B 8D 三、9是直角三角形 10利用勾肌定理 11169厘米2 1212米 四、13方案正确，理由: 裁剪师的裁剪方案是正确的，设

26、正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a在RtADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；在RtABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得AFE=90，AFE是直角三角形14提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在RtABE中，A=90，x2-（9-x）2=32，故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，以EF为边的正方形面积为144cm2