因式分解教案

《因式分解教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解教案（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数 学 教 案八 年 级 下 册姓 名： 刘光宇 班 次： 166 二0一三年上学期第1章 因式分解一、背景介绍 因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。二、教学目标认知目标1、了解因式分解的意义； 2、理解因式分解与多项式乘法的相互关系； 3、初步了解，运用因式分解的提取公因式法和运用公式法。能力目标 1、通过对因式分解与多项式乘法的关系的理解，克服学生

2、的思维定势，培养学生的观察、发现、对比、化归、概括以及他们的逆向思维能力； 2、在相互交流的过程中，养成学生表述、抽象、类比、总结的思维习惯，初步培养学生在探索和归纳新知识的过程中进行合情推理的能力情感目标1、让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；2、感受多项式乘法与因式分解之间的对立统一观点，从而向学生渗透辩证唯物主义的认识论的思想，引导学生树立科学的人生观和价值观；三、教学重点与难点重点是因式分解的概念及提取公因式法、公式法的运用。难点是理解因式分解与多项式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 第一课时 （备课时间： 月 日）课

3、题：1.1 多项式的因式分解教学目标：（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与多项式乘法在整式变形过程中的相反关系.（二）能力训练要求通过观察，发现因式分解与多项式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.（三）情感与价值观要求通过观察，推导因式分解与多项式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.教学重点：1.理解因式分解的意义.2.识别因式分解与多项式乘法的关系.3. 初步了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用。教学难点：通过观察，归纳因式分解与多项式乘法的关系.教学方法：以学研指导法为主，：以学研指导法为主，：观察讨论法教学过程一.创设问题情境,引入新课大家会计算（a+b

4、）（ab）吗？（a+b）（ab）=a2b2. ）这是大家学过的平方差公式，我们是在多项乘法中学习的.从式子（a+b）（ab）=a2b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2b2=（a+b）（ab）是否成立呢？从等号右边推出等号左边，因为多项式a2b2与（a+b）（ab），既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.a2b2=（a+b）（ab）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.二.学研指导：（一）自主学习指导：1.讨论99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. （99399能被100整除.）因为99399=9999

5、299=99（9921）=999800=9998100其中有一个因数为100，所以99399能被100整除.99399还能被哪些正整数整除？（还能被99，98,980,990,9702等整除）.从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.大家可以观察a3a与99399这两个代数式.a3a=a（a21）=a（a1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：（m+4）（m4）=_;（y3）2=_;3x（x1）=_;解：（m+4）（m4）=m216;（y3）2=y26y+9;3x（x1）=3x23x;（2）

6、根据上面的算式填空：3x23x=（ ）（ ）;m216=（ ）（ ）;y26y+9=（ ）2.把等号左右两边的式子调换一下即可.即：能分析一下两个题中的形式变换吗？在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是多项式乘积的形式.一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式。一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解（factorization）.在（1）中我们知道

7、从左边推右边是多项式乘法；在（2）中由多项式推出多项式乘积的形式是因式分解.4.想一想由a（a+1）（a1）得到a3a的变形是什么运算？由a3a得到a（a+1）（a1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个多项式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个多项式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与多项式乘法是相反方向

8、的变形.（二）合作探究指导：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax3ax2=3ax（2x）;（3）a24=（a+2）（a2）;（4）x23x+2=x（x3）+2.三、因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用1、把12分解质因数2、质数或素数基本建筑块3、因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。如：解方程： x2-1=0四、归纳整理：本节课学习了因式分解的意义

9、，即把一个多项式化成几个多项式的积的形式；还学习了多项式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.五、检测训练：学生训练展示评价点拨。教学反思： 第二课时 （备课时间： 月 日）课 题：1.2.1 提公因式法（一）教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法因式分解.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把

10、公因式提出来.教学难点：让学生识别多项式的公因式.教学方法：以学研指导法为主，独立思考合作交流法.教具准备：投影片两张教学过程一、创设问题情境,引入新课：一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S= + + =+=2解法二：S= + + = （ +）=4=2从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.二、学研指导（一）自主学习指导1.公因式与提公因式法、因式分解的概念.若将刚才的问题一般化，即三

11、个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多

12、项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.即：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.2写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （m） （2）4kx8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2） （4）a2b2ab2+ab （ab）（二）合作探究指导将下列各式分解因式：（1）3x+6; （2）7x221x; （3）8a3b212ab3c+abc（4）24x312x2+28x.（如何判定符号）

13、（5）分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.交流：通过刚才的练习，大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4，其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.想一想：从中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.把下列各式分解因式（1）8x72=8（x9） （2）a2b5ab=ab（a5）（3）4m36m2=2m2（2m3） （4）a2b5ab+9b=b（a25a+9）（5）a2+abac=（a2ab+ac）=a（ab+

14、c）（6）2x3+4x22x=（2x34x2+2x）=2x（x22x+1）判断：把3x26xy+x分解因式 解：3x26xy+x=x（3x6y）大家同意他的做法吗？改正：3x26xy+x=x（3x6y+1）后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.三、归纳整理1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）

15、.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如何判定符号4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（xy）与（yx）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.四、检测训练：学生训练展示评价

16、点拨。利用分解因式计算：（1）3200432003; （2）（2）101+（2）100.教学反思： 第三课时 （备课时间： 月 日） 课 题：1.2.2 提公因式法（二）教学目标（一）教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.（二）能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解.教学难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解.教学方法：以学研指导法为主，类比学习法教学过程一、.创设问题情境,引入新课上节课我们学习了用提公因式法

17、因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、学研指导（一）自主学习指导1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立:（1）2a=_（a2）;（2）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）;（4）（ba）2=_（ab）2;（5）mn=_（m+n）;（6）s2+t2=_（s2t2）.（二）合作探究指导1、下列多项中各项的公因式是什么？a（x3）+2b（x3）a（x3）+2b（3x）6（mn）312（nm）2.分析：虽然a（xy）与b（yx）看上去没有公因式，但仔细观察可以看

18、出（xy）与（yx）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如yx=（xy）.（mn）3与（nm）2也是如此.2、把a（x3）+2b（x3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x3）与2b（x3），每项中都含有（x3）,因此可以把（x3）作为公因式提出来.解：a（x3）+2b（x3）=（x3）（a+2b）师从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？生不是，是两个多项式的乘积.3、把下列各式分解因式:（1）a（xy）+b（yx）;（2）6（mn）312（nm）2（3）（4）4、把下列各式分解因式：解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a

19、+b）（x+y）;（2）3a（xy）（xy）=（xy）（3a1）;（3）6（p+q）212（q+p）=6（p+q）212（p+q）=6（p+q）（p+q2）;（4）a（m2）+b（2m）=a（m2）b（m2）=（m2）（ab）;（5）2（yx）2+3（xy）=2（xy）2+3（xy）=2（xy）2+3（xy）=（xy）（2x2y+3）;（6）mn（mn）m（nm）2=mn（mn）m（mn）2=m（mn）n（mn）=m（mn）（2nm）.三.归纳整理本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.四.检

20、测训练：学生训练展示评价点拨。1、把（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）分解因式.解：原式=（a+bc）（ab+c）（ba+c）（ab+c）=（ab+c）（a+bc）（ba+c）=（ab+c）（a+bcb+ac）=（ab+c）（2a2c）=2（ab+c）（ac）教学反思： 第四课时 提公因式法复习 （备课时间： 月 日）教学目标（一）教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.（二）能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点：运用提公因式法分解因式.教学难点：理解因式

21、分解的意义；公因式的确定。教学方法：以学研指导法为主，类比学习法教学过程:一、情境导入：1、提公因式法分解因式是最简单的同时也是最基本的因式分解的方法，在对一个多项式进行因式分解时，首先要考虑的就是提公因式法，它有时也和其它的方法混合在一起运用。2、要明确以下几点：（1）分解的对象是多项式；（2）分解的目的是化成多项式的积的形式；（3）分解的过程与多项式的乘法相反；（4）分解的结果要彻底。3、运用提公因式法分解因式的关键是找到一个多项式各项都含有的因式，我们称之为公因式。然后根据乘法分配律的逆运算，把公因式提到括号外面，从而将多项式化为积的形式。二、学研指导（一）自主学习指导：概念辩析题解1.

22、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是-（ ）(A) a (a b)= a2 a b （B）a22 a+1= a(a2)+1 (C) x2x = x ( x 1)(D) xy2 = xy (y)答案：（C）（A）是整式的乘法；（B）右边不是整式的积的形式；（D）的左边不是多项式。整式乘法的特征：积化和差式。因式分解的特征：和差式化积。2. 6xyz+3xy29x2y的公因式是-（ ）（A）3x (B) 3xz (C)3yz (D) 3xy答案：（D）公因式确定的方法为：（1）系数取最大公约数；（2）同底数幂取最底次幂；（3）第一项为负数时连同负号一起提出。学生初学时易错点和易忽略点（1）易错点

23、1. 因式分解的结果一定是整式的积的形式例：x2+xy+1=x(x+y +)不是因式分解。因为它虽然是积的形式，但它不是整式的积的形式。.提取公因式以后，如果某项为“”，易漏写。例：x2x2yx = x (xxy1)，不能错写成x (xxy).符号问题：例：6xyz+3xy29x2y3xy（z y+3x），提出符号时，不要忘了里面的各项都要变号。（2）易忽略点1 分解要彻底，即分解因式时要分解到不能再分解为止。例：x41= (x2+1)(x21) 就没有分解完；因为x21不还可以再分解为（x+1）(x1)2. 提取公因式时要把公因式提尽。例：4x2y+6xy2 = 2x(2xy+3y2)就不对

24、，因为多项式中还有公因式y没有提出。正确的结果应为4x2y+6xy2 = 2xy (2x+3y)。（二）合作探究指导 例1：把下列各多项式分解因式： （1）3x26x+12 （2）3x (x2) (2x) （1） 解：3x26x+12= 3 (x2+2x 4) （2）解：3x (x2) (2x) = 3x (x2)+ (x2) =(x2)（3x+1） 点拔：例（）中首项是负的，应先提出“”号，使括号内第一项的符号变为正数，这样便于对多项式进行观察和分析，以便继续进行分解因式，同时保证后面的分解不会出现错误。例（）是一个比较复杂的多项式，这里要树立整体思想，把（x2）作为一个因式，而后面的（x）

25、则要用符号变换法则变为（x2），也就是(x2)。例.已知：x2+3x2=0，求x3+6x 4x的值。解x2+3x2=0x3+6x 4x=2x（x2+3x2）=2x.0 = 0点拔：这是因式分解在求代数式值时应用的一个例子，这里提取公因式后；产生了x2+3x2这样的一个因式，而这个式子的值为，因而x3+6x 4x的值也为，这里实际上渗透了整体代入的思想。例：已知关于x的多项式x2mx+n因式分解的结果为（3x+2）(x1) 求m、n的值。所考知识点：因式分解与整式乘法的逆变形，恒等式的性质。解：由题意得：x2mx+n = （3x+2）(x1) 即x2mx+n = x2x2 m=1 ；n=2点拔：

26、这里运用的是对号入座方法，也就是类比法，得到对应项的系数相等。这种方法在已一个方程求两个末知数时常用，大家要学会这种思维方法。三.归纳整理：本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.四.检测训练：学生训练展示评价点拨。基础练习题：一选择题：1以下各式中是因式分解的是 ( )(A)8a (ab)=8a28ab (B)a2 b+ab2+c=ab(a+b)+c(C)2a28=2(a+2)(a2) (D)a22ab+b21= (ab)212下面各式的因式分解中，正确的是 ( )(A) 12xyz9x2y

27、2 =3xyz (43xy) (B) 3a2y3ay+6y=3y (a2a+2)(C) 9xyz 6 x2y2= 3xyz (3 2xy) (D) 3a2x6bx+3x=3x (a22b)3下列各式的公因式为a的是 ( )(A) ax+ay+5 (B)3ma6ma2 (C)4 a2 +10ab (D)a2 2a+ma二把下列各式分解因式120a15ax 2 xy3 + x3y2 36x (xy)2+3 (yx)34P(xy) q (yx) 52a (b+c) 3 (b+c) 6 (am+bm) + (a+b)三用简便方法计算：121314+62314+17314 （2）910200210200

28、3巩固提高题：1 计算：2001200220022002200120012 已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x2）。（1）求m的值。 （2）将多项式因式分解。3 已知x2+5x991=0；试求：x3+6x2986x+1011的值。教学反思： 第五课时 （备课时间： 月 日）课 题1.3.1 运用公式法（一）教学目标（一）教学知识点1.使学生会用平方差公式因式分解.2.使学生学习多步骤，多方法的因式分解.（二）能力训练要求在导出平方差公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解

29、，进一步培养学生的观察和联想能力. 教学重点：让学生掌握多步骤、多方法因式分解方法.教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学方法：以学研指导法为主，观察发现运用法教学过程一、 提出问题，创设情境问题：看谁算得快？（投影出示问题）(1)若a=101,b=99,则a2-b2= (2)能否用平方差公式把因式分解？二、观察分析，探究新知回顾：因式分解与整式乘法的关系：因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)整式乘法 (a+b)(a-b)= a2-b2说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法，其特点是

30、：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。结论：因式分解与整式乘法正好相反。像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫作公式法。二、 例题教学，运用新知：例1：把下列各式分解因式 （2）（3）（4）师：该题的思路是什么？生：由因式分解的平方差公式得出师：明确公式中的a、b 在这儿分别代表什么 解：（略）变式训练，扩展新知（投影出示）例2：把下列各式分解因式（1） （2） （3）分析：（1）的思路是把（m+n）、（m-n）分别看成一个整体，运用整体的思想。（2）引导学生体会多项式中若有公因式，就要先提取公因式探究：在系数为实数的多项式组成的集合中，能表示成

31、两个多项式的乘积的形式吗？注意：本书中没有特别说明，都是在系数为有理数的多项式组成的集合中进行因式分解 。四、归纳整理本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五.检测训练：学生训练展示评价点拨。教学反思： 第六课时 （备课时间： 月 日）课 题1.3.2 运用公式法（二）教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过

32、综合运用提公因式法、完全平方公式因式分解，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点让学生掌握多步骤、多方法因式分解的方法.教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学方法：以学研指导法为主，观察发现运用法教学过程.创设问题情境，引入新课师我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（ab）=a2b2而且还学习了完全平方公式（ab）2=a22ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式

33、.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.师由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？生可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a22ab+b2=（ab）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.师很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.生从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.师左边的特点有（1）多项式

34、是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a22ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影练一练下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4;（2）x2+4x+4y2;（3）4a2+2ab+b2;（4）a2ab+b2;（5）x26x9;（6）a2+a

35、+0.25.师判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.2.例题讲解例1把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）26（m +n）+9.师分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.例2把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）x24y2+4xy.师分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式

36、.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式.例3把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）.课堂练习P17 1，2.归纳整理这节课我们学习了用完全平方公式因式分解.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式因式分解.检测训练书P17 1，2（双数题）活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再

37、用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：含字母a和b；三项式；可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b4a2b2+ab3=ab（4a24ab+b2）=ab（2ab）2教学反思： 第七课时 （备课时间： 月 日）课 题1.4 小结与复习教学目标（一）教学知识点1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法因式分解的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法因式分解.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求通过因式

38、分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法因式分解.教学难点利用因式分解进行计算及讨论.教学方法：以学研指导法为主，引导学生自觉进行归纳总结.教学过程.创设问题情境,引入新课师前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法因式分解,运用公式法因式分解的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图师请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?生（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）因式分解与多项式乘法的关系.（3）因式分解的方法.

39、师很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）生（二）重点知识讲解师下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是因式分解.生如15x3y2+5x2y20x2y3=5x2y（3xy+14y2）把多项式15x3y2+5x2y20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+14y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y20x2y3因式分解.师学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式因式分解应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.因式分解与整式乘法有什么关系?生因式分解与整式乘法是两种方

40、向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.因式分解常用的方法有哪些?生提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）a2b2=（a+b）（ab）a22ab+b2=（ab）24.例题讲解投影片例1下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2（2）6x2y3=3xy2xy2（3）（3x2）（2x+1）=6x2x2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）师分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.生解:（1

41、）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.投影片例2将下列各式因式分解.（1）8a4b34a3b4+2a2b5;（2）9ab+18a2b227a3b3;（3）x2;（4）9（x+y）24（xy）2;（5）x425x2y2;（6）4x220xy+25y2;（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.投影片（2.6 C）例3把下列各式因式分解:（1）x7y3x3y3;（2）16x472x2y2+81y4;师从上面的例题中,大家能否总结一下因式分解

42、的步骤呢?生可以.因式分解的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.课堂练习1.把下列各式因式分解（1）16a29b2;（2）（x2+4）2（x+3）2;（3）4a29b2+12ab;（4）（x+y）2+2510（x+y）2.利用因式分解进行计算（1）9x2+12xy+4y2,其中x=,y=;（2）（）2（）2,其中a=,b=2.归纳整理1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.2.

43、利用因式分解简化某些计算.检测训练复习题 A组.活动与探究求满足4x29y2=31的正整数解.分析:因为4x29y2可分解为（2x+3y）（2x3y）（x、y为正整数），而31为质数.所以有或解：4x29y2=31（2x+3y）（2x3y）=131或 解得或因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.板书设计2.6回顾与思考一、1.讨论推导本章知识结构图2.重点知识讲解（1）举例说明什么是因式分解.（2）因式分解与整式乘法有什么关系?（3）因式分解常用的方法有哪些?（4）例题讲解例1、例2、例3（5）因式分解的一般步骤二、课堂练习三、归纳整理四、检测训练教学反思：用“十字相乘”法分解因式。【

44、核心内容】用“十字相乘”法分解因式。【知识要点】（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“十字相乘”法的理论根据；（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。【重点难点】重点：用“十字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。【学习过程】一 、温故知新因式分解与整式乘法的关系： ；已有的因式分解方法： ；把下列各式因式分解： (1) 3ax2+6ax+3a (2) (y2+x2)2-4x2y2(3)x4-8x2+16 二、 探索新知提出问题： 你能分解2ax2+6ax+4a吗？ 探求解决：（1）请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= ；

45、（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。（2）把x2+3x+2分解因式分析 (+1) (+2) 2 - 常数项 (+1) (+2) +3 - 一次项系数 - 十字交叉线2x + x = 3x解：x2+3x+2 = (x+1) (x+2)归纳概括：十字相乘法定义： 。应用训练：例1 x2 + 6x 7= （x+7）(x-1) 步骤： 竖分二次项与常数项 交叉相乘，和相加 检验确定，横写因式-x + 7x = 6x顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。练习1： x2-8x+15= ；练习2： x2+4x+3= ； x2-2x-3= 。小结：对于二次项系数为

46、1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例 试将 -x2-6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。例3 用十字相乘法分解因式：（1）2x2-2x-12（2） 12x2-29x+15提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。三、课堂小结十字相乘法：；适用范围：；理论根据：； 具体方法：。四、巩固训练1把下列各式分解因式：（1）= ； (2) 。2若(ma)(mb)，则 a和b的值分别是 或 。3(x3) (_)。4 分解因式：（1）； (2) ； (3) (4) 先阅读学习，再求解问题：材料：解方程：0。解：原方程可化为

47、 （x+5）（x-2）=0x+5=0或 x-2=0由x+5=0得x=-5由x-2=0得x=2x=-5或 x=2为原方程的解。问题：解方程：x2-2x=3。五、课后反思9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校 张莉莉教学目标： 1理解分组分解法在因式分解中的重要意义2在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案3能综合运用各种方法完成因式分解 教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式.教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解教学过程：一 复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？3.思考：如何将多项式 多项式有何特征？分解

48、因式？二 新知探究 环节1 内容 ：因式分解 教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义 学生：思考 回答 板书练习意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索 讨论 总结分组的原则要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会 试一试：分解因式（1） （2） （4） （4）环节2 如何将多项式分解因式？ 教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？ 学生：

49、尝试 探索 总结意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？要点：组和组之间存在平方差的联系巩固练习： （1） （2） （3）三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点评，总结四 作业布置：练习册：9.16补充思考题： 环节3 巩固练习：1.多项式运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 多项式运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 多项式 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ） B. C. D. 5.因式分解.（1） （2）（3） （4）教师：指导学生分组的方法不唯一，而合理地选择分组方

50、案，会使分解过程简单.学生：实践巩固 应用问题意图：举一反三 触类旁通注意：分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.三 归纳小结 渗透学法四项多项式如何分组？作业布置：练习册9.16补充思考题： （1） （2） （3） （4）提示：（3）是三项多项式，但不是完全平方式的形式，也不能用十字相乘法分解，应该怎么处理？可以在原式的基础上增减项使得配成完全平方式的形式 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.(3)分组时要用到添括号法则，注意添加带有“”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。【分析】（1）这是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的但是，如果分组后在局部分别分解，就可以创造整体分解的机会（2）符合公式的两项分组（3）观察多项式，前三项符合完全平方公式 要点：分组后组间能分解因式