正弦定理和余弦定理详细讲解

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1、word高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以与三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进展综合考查学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合根底知识梳理1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解决不同的三角形问题2 余弦定理：a2b2c22bccos_A

2、，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4 在ABC中，a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsi

3、nC2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换例1在中，解三角形.思路点拨:先将条件表示在示意图形上如图，可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：， ， ，又，总结升华：1. 正弦定理可以用于解决两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将条件表示在示意图形上，可以清楚地看出与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，【变式2】在中，求、.【答案】，根据正弦定理，.【变式3】在中，

4、求 【答案】根据正弦定理，得.例2在，求：和，思路点拨: 先将条件表示在示意图形上如图，可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：由正弦定理得：，方法一， 或，当时，舍去；当时，方法二， ， 即为锐角， ，总结升华：1. 正弦定理也可用于解决两边与一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的X围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进展角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3中，、，求中的最大角。思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三边中最大，其所对角最大，根据余弦

5、定理：， ， 故中的最大角是.总结升华： 1.中，假设知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】中, , , 求角.【答案】根据余弦定理：， 【变式2】在中，角所对的三边长分别为，假设，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【变式3】在中，假设，求角.【答案】， ， 类型三：正、余弦定理的综合应用例4在中，求与.思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：法一：余弦定理 ，法二：

6、正弦定理 又，即总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在中，, , .求和.【答案】由余弦定理得：， 由正弦定理得：，因为为钝角，如此为锐角， . .【变式2】在中，角所对的三边长分别为，假设，求角和【答案】根据余弦定理可得： ， ； 由正弦定理得：.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每一小题5分，共30分)1如如下图，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，如此灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析利用余弦定理解A

7、BC.易知ACB120，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.答案B2X晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，如此电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析如图，由条件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BSsin303.答案B3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，

8、轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，如此依题意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.答案D4(2014某某调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20 m B20 mC20(1) m D30 m解析如如下图，由可知，四边形CBMD为正方形，CB20 m，所以BM20 m又在RtAMD中，DM20 m，ADM30，AMD

9、Mtan30(m)ABAMMB2020(m)答案A5(2013某某卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，如此sinBAC()A. B.C. D.解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC()232235，所以AC，再由正弦定理：sinBACBC.答案C6(2014某某调研)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，如此运动开始多少h后，两车的距离最小()A. B1C. D2解析如如下图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，如此AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD2

10、0080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小答案C二、填空题(本大题共3小题，每一小题5分，共15分)7A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120，如此A、C两地的距离为_km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10(km)答案108如如如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，

11、此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.解析设航速为v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32(n mile/h)答案329如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，如此塔AB的高是_米解析在BCD中 ，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10(米)在RtABC中，tan60，ABBCtan6010(米)答案10三、解答题(本大题共3小题，每一小题10分，共30分)

12、10(2014某某模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上假设国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin602030(米)，所以升旗速度v0.6(米/秒)11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B

13、点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900.得CD30(海里)，故需要的时间t1(小时)，即救援船到达D点需要1小时12.(2013某某卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索

14、道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X围内？解(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由

15、正弦定理，得ABsinC1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsinA500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)X围内13 / 13