工学复变函数PPT课件

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1、1一、复数的概念1. 虚数单位:.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i第1页/共140页2虚数单位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii则则是正整数是正整数一般地，如果一般地，如果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 第2页/共140页

2、32.复数:. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iyxzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 第3页/共140页4 两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小.

3、第4页/共140页5二、复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的和:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 第5页/共140页64. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若例例1 1.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解

4、)(yixyix 22)(yix .22yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论：第6页/共140页75. 共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略.第7页/共140页8例例2 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 第8页/共14

5、0页9例例3 解解.)2(;125)1( iii 化简化简 ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii 第9页/共140页10,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx第10页/共140页11三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.第11页/共140页12思考题思考题复数为什么不能比较大小？第12页/共140页13思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义

6、可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见, 在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第13页/共140页第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考第14页/共140页15一、复平面1. 复平面的定义. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建

7、立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 第15页/共140页162. 复数的模(或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 第16页/共140页173. 复数的辐角 . Arg , , , 0 zzOP

8、zz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定.第17页/共140页18辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐

9、角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,第18页/共140页194. 利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .第19页/共140页205. 复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z. 实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是

10、关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 第20页/共140页21利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示第21页/共140页22例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第

11、三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为,65sin65cos4 iz第22页/共140页23指数表示式为.465iez 5cos5sin)2( iz, 1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为.103iez 第23页/共140页24.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因为因为)3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所以所

12、以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式为,19sin19cos iz 指数表示式为.19 iez 第24页/共140页25例例5 5. , :133221232221321zzzzzzzzzzzz 点的充要条件是点的充要条件是成为等边三角形顶成为等边三角形顶三个复数三个复数证明证明证证 :321件为件为是等边三角形的充要条是等边三角形的充要条zzz , 3 3 31121zzzzz即得向量即得向量或或旋转旋转绕绕向量向量 1z2z3z,)( 31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或第25页/共140页26,2321 1213izzzz 两边平方, 并化简

13、得.133221232221zzzzzzzzz 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.第26页/共140页27例例6 6. 222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参数参数所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),( t参数参数第27页/共140页28 ,21的直线段的参数方程为的直

14、线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 第28页/共140页29例例7 7.1,1 . , , ) , 10( 2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周表示表示证明方程证明方程证证 , 0 zz圆周圆周 , 0代入代入和和将将 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz 第29页/共140页30 , 2zz 两边同除以两边同除以,121221 zzzzkkzzzz

15、, 21zzzzw 令令,12 wkkw两边同时平方,12222 wkkw, 22kw 于是于是,kw . 21kzzzz 故故第30页/共140页31例例8 8求下列方程所表示的曲线:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程第31页/共140页3222)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与

16、点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为第32页/共140页33二、复球面1. 南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们

17、称我们称SNxyPNOS第33页/共140页34 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2. 复球面的定义第34页/共140页353. 扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或

18、简称复平面. .对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.第35页/共140页36 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法第36页/共140页37三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（

19、辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈第37页/共140页38思考题思考题是否任意复数都有辐角?第38页/共140页39思考题答案思考题答案否否. . , 0 的情况特殊的情况特殊唯有唯有 z它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第39页/共140页第三节 复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考第40页/共140页41一、乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的两个复数乘积的模等于它们的模的乘积乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和和.的三角形式分别为的三角形

20、式分别为和和设复数设复数21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 则则)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121 irr证证第41页/共140页42)sin()cos(21212121 irrzz两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看, 两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋转一个角旋转一个角按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21zzz 就表

21、示积就表示积所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z.ArgArg)(Arg2121zzzz 证毕第42页/共140页43说明说明由于辐角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.例如，, 1 21izz 设设, 21izz 则则), 2, 1, 0(,2Arg1 nnz), 2, 1, 0(,22Arg2 mmz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只须只须故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或则则第43页/共140页44的

22、指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(212121 ierrzz则则,222 ierz 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:nzzz 21), 2 , 1(,)sin(cos nkerirzkikkkkk 设设)sin()cos(212121nnnirrr .)(2121ninerrr 第44页/共140页45定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差差.证证按照商的定义, , 0 1时时当当 z,1122zzzz ,11

23、22zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zzzz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz 证毕第45页/共140页46例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因为因为,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 第46页/共140页47例例2 2解解. ,2 1 21求它

24、的另一个顶点求它的另一个顶点和和点为点为已知正三角形的两个顶已知正三角形的两个顶izz ). ( ,)3(3 33112zzzzz 或或它的终点即为所求顶点它的终点即为所求顶点到另一个向量到另一个向量就得就得或或旋转旋转绕绕的向量的向量将表示将表示如图所示, oxy11 ziz 223z3z 3 ,3 1, 3 转角为转角为的模为的模为因为复数因为复数ie第47页/共140页48)(12313zzezzi oxy11 ziz 223z3z 3 )1(2321ii i 23212321,231233 3iz 所以所以.231233 3iz 第48页/共140页49二、幂与根1. n次幂:, ,

25、nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有对于任何正整数对于任何正整数. , ,1 上式仍成立上式仍成立为负整数时为负整数时那么当那么当如果我们定义如果我们定义nzznn 第49页/共140页50,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当.sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介绍棣莫佛介绍 . , . 3为已知复数为已知复数其中其中的根的根方程方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk推导过程如下:2.2.棣

26、莫佛公式棣莫佛公式第50页/共140页51),sin(cos irz 设设),sin(cos iw 根据棣莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir , rn 于是于是,coscos n,sinsin n ,2 kn 显然显然), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 第51页/共140页52 , 1, 2 , 1 , 0 时时当当 nk :个相异的根个相异的根得到得到 n,sincos10 ninrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 当k以其他整数值代入

27、时, 这些根又重复出现. 第52页/共140页53 , 时时例如例如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sincos1.0w 从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nzn . 1个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nnrn第53页/共140页54例例3 3解解.)1()1( nnii 化简化简 ii212121 4sin4cos2i ii212121 4sin4cos2i第54页/共140页55 nnii)1()1(nni 4sin4cos)2(nni 4sin4cos)2( 4sin4cos4sin4cos)2(ninnin

28、n.4cos222 nn第55页/共140页56例例4 4 . 1 3的值的值计算计算i 解解 ii212121 4sin4cos2i31i 324sin324cos26kik).2 , 1 , 0( k第56页/共140页57,12sin12cos260 iw,127sin127cos261 iw.45sin45cos262 iw即第57页/共140页58例例5 5 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即,169sin169cos281 iw第58页/共14

29、0页59,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点的的心在原点半径为心在原点半径为这四个根是内接于中这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w第59页/共140页60例例6 6解解.)1()1( 55zz 解方程解方程 , 1 z直接验证可知方程的根直接验证可知方程的根故原方程可写成, 1115 zz ,11 zzw 令令 , 1 5 w则则. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,52 kewik , 1 0 w故故,521iew ,542iew ,563iew .584iew 第60页/共140页611

30、1 wwz因为因为11 iiee1sincos1sincos ii 2sin2cos2cos22cos2sin2sin2 ii,2tan i 故原方程的根为, 00 z,5tan1 iz,52tan2 iz,53tan3 iz.54tan4 iz第61页/共140页62例例7 7. 34 : ,)31( , 111 nnnnnnnnyxyxiiyxn求证求证且且为自然数为自然数若若证证nnniiyx)31( nni 3sin3cos2 3sin3cos2ninn利用复数相等可知:,3cos2 nxnn,3sin2 nynn第62页/共140页63 11nnnnyxyx3)1(sin23cos2

31、3sin23)1(cos211 nnnnnnnn 3)1(3sin212nnn23212 n. 341 n等式得证.第63页/共140页64三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛( (de Moivre)公式)(212121 ierrzz)(121212 ierrzz nininsincos)sin(cos 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第64页/共140页第四节 区 域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考第65页/共140页66一、区域的概念1. 邻域:. : )( , 000的邻域的邻

32、域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz 说明说明. , 0 , 点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMz第66页/共140页672.去心邻域:. 0 00的去心邻域的去心邻域集合为集合为所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式zzz 说明说明. . , , zMMz可以表示为可以表示为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在第67

33、页/共140页683.内点:. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设GzGzGzG4.开集: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称称为开集为开集. .第68页/共140页695.区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称它为一个区域它为一个区域. .(1) D是一个是一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用完全属于完全属

34、于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.6.边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的中的点点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.第69页/共140页70D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域闭区域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C第70页/共140页71以上基本概念的图示1z 2z 区域 0z 邻域P 边界点

35、边界7.有界区域和无界区域:. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD 第71页/共140页72(1) 圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界?(2) 上半平面:; 0Im z(3) 角形域:;arg0 z(4) 带形域:.Imbza 答案答案(1)有界; (2) (3) (4)无界.xyo第72页/共140页73二、单连通域与多连通域1. 连续曲线:. , )

36、( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线代代那末方程组那末方程组是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz 第73页/共140页742. 光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .x

37、yoxyo第74页/共140页753. 简单曲线:. )( )( , )()( :的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与为一条连续曲线为一条连续曲线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若或若尔当曲线尔当曲线).).第75页/共140页76. , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句

38、话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.xyo内部外部边界第76页/共140页774. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作如果在其中任作一条简单闭曲线一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称就称为单连通域为单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称为多连通域为多连通域.单连通域多连通域第77页/共140页第五节 复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念三、典型例题四、小结与思考第78页/共140页79一

39、、复变函数的定义).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 记作记作复变函数复变函数简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在如果有一如果有一的集合的集合是一个复数是一个复数设设1.复变函数的定义:第79页/共140页802.单(多)值函数的定义:. )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我们称函

40、数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz3.定义集合和函数值集合: ; )( )( 定义域定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG. , * 称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG第80页/共140页814. 复变函数与自变量之间的关系: )( 相当于两个关系式相当于两个关系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx例如, , , 2zw

41、 函数函数, ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 则则,222xyiyx : 2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于是函数zw ,22yxu .2xyv 第81页/共140页82二、映射的概念1. 引入:. , , , , 的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数yxvu第82页/共140页832.映射的定义:).()( * )( )( , , 或变换或变

42、换的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一个点集变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集是把是把在几何上就可以看作在几何上就可以看作那末函数那末函数值值的的平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面的值的值平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用GwGzzfwwwzz 第83页/共140页84. ),( , * )( 的原象的原象称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点映射成映射成被映射被映射中的点中的点如果如果wzzwwGzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简

43、称为由zfw 第84页/共140页85 . )1(构成的映射构成的映射函数函数zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射:. ibawwibazz 的点的点平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将第85页/共140页86xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z

44、 2z 且是全同图形.第86页/共140页87 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z第87页/共140页88 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数的乘法公式可知, . 2的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz第88页/共140页89

45、 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw : 2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数函数zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲线曲线标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把(如下页图)., 21cvcuw 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成第89页/共140页90 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.xyoxyo第90页/共140页91 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw : 的象的参数方程为

46、的象的参数方程为直线直线 x ) (.2,22为参数为参数yyvyu : 得得消去参数消去参数 y),(4222uv 以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线) : 的象为的象为同理直线同理直线 y),(4222uv 以原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线)第91页/共140页924. 反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或几个或几个中的一个中的一个必将对应着必将对应着每一个点每一个点中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函数值集合为函数值集合为平面上的集合平面上的集合的定义集合为的定义集合为设设GwGGwGzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映

47、射的逆映射为映射为映射也称也称的反函数的反函数它称为函数它称为函数函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在zfwzfwwzG 第92页/共140页93根据反函数的定义,*,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一对应的是一一对应的合合与集与集也可称集合也可称集合是一一对应的是一一对应的射射映映那末称函数那末称函数都是单值的都是单值的逆映射逆映射与它的反函数与它的反函数映射映射如果函数如果函数GGzfwwzzfw 今后不再区别函数与映射.第93页/共140页94四、小结与思考 复变函数以及

48、映射的概念是本章的一个重点.注意：注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.第94页/共140页95思考题思考题“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？第95页/共140页96思考题答案思考题答案 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第96页/共140页第六节 复变函数的极限和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考第97页/共140页98一、函数的极限1

49、.函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记作记作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 第98页/共140页992. 极限计算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 0000000

50、00000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证证 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根据极限的定义 , )()(0 00时时当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性.第99页/共140页100 , )()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那么当那么当 yy

51、xx(2) 充分性.,2 ,2 00 vvuu有有第100页/共140页101 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0时时故当故当 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以证毕说明说明. ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题该定理将求复变函数该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf 第101页/共140页102定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfAB

52、zgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限运算法则类似.第102页/共140页103例例1 1证证 (一一). 0 )Re()( 不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 第103页/共140页104)1(lim220kxxx ,112k , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不存在不存在所以所

53、以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz证证 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 则则,cos 第104页/共140页105 , arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz第105页/共140页106二、函数的连续性1. 连续的定义: . )( , )( . )( ),()(lim 0

54、00内连续内连续在在我们说我们说内处处连续内处处连续在区域在区域如果如果处连续处连续在在那末我们就说那末我们就说如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数第106页/共140页107定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yx

55、yxu , ),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf第107页/共140页108定理四定理四. ) ( )( )( (1)000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000连续连续处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数zzgfwzghhfwzzgh 第108页/共140页109特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1)

56、有理整函数(多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平面内的所有点对复平面内的所有点 z(2) 有理分式函数,)()(zQzPw , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP在复平面内使分母不为零的点也是连续的.第109页/共140页110例例3 3. )( , )( :00也连续也连续在在那末那末连续连续在在如果如果证明证明zzfzzf证证 ),(),()( yxivyxuzf 设设 ),(),()( yxivyxuzf 则则 , )( 0连续连续在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00处都连续处都连续在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00处连续处连续

57、也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0连续连续在在故故zzf第110页/共140页111三、小结与思考 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质. 注意注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.第111页/共140页112思考题思考题?)( , )( 00有无关系有无关系径径选取的路选取的路所采取的方式所采取的方式趋于趋于此极限值与此极限值与时的极限存在时的极限存在当当设复变函数设复变函数zzzzzf第112页/共140页113思考题答案思考题答案没有关系没有关系. , 0zz以任何方

58、式趋于以任何方式趋于极限值都是相同的.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第113页/共140页114第二章 解析函数2.1 解析函数的概念;),(Dzzfw函数1 1 复变函数的导数 定义：Dzzz00,zwz0lim极限zzfzzfz)()(lim000存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的导数，记作00().zzdwfzdz或应该注意：上述定义中 的方式是任意的。0z 第114页/共140页115容易证明：可导 可微 ；可导 连续。如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.例1 求 f (z) = z2 的导数

59、。解 因为0( )( )limzf zzf zz220( )limzzzzz0lim(2 )2 .zzzz所以f (z) = 2z .复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）第115页/共140页116例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?解 这里0()( )limzf zzf zz 0()2()2limzxxyy ixyixyi 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.（即 f

60、 (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）第116页/共140页117例3 讨论2)(zzfw的可导性。zzfzzfzw)()(解：zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以2)(zzfw在复平面上除原点外处处不可导。第117页/共140页1182. 解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。 反之不一定成立。在区域内：解析可导.例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；2)(zzfw仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f (z) = x +2yi在整个复平面上不解析。定义解析：在0)(zzf0(

61、 )f zz在 的某邻域内可导.称为解析点，0z否则称为奇点 。内解析：在区域Dzf)( )f zD在 内处处解析.第118页/共140页119例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.解：210 ,dwzdzz 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；z = 0 是它的一个奇点。解析函数的性质：(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所 有解析点的集合必为开集。问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？第119页/共140

62、页120换句话说：( ),f zu v的解析 可导 与的偏导数之间有什么关系？设函数( )( , )( , )wf zu x yiv x y在D内解析，( ).fzaib即存在于是 wf zzf z(0,0)aibzzz 当12()()aibziz )()(21yixiyixiba yxybxa21 21ib xa yxy ,u x yi v x y 1221xyxyuux uy oa x b yxyvvx vy ob x a yxy 第120页/共140页121 xyxyuux uy oa x b yovvx vy ob x a yo ,.xyxyuvavub ,uvvuxyxy 称Cauc

63、hy-Riemann为方程( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 内一点 x,y 解析u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。( ).xxyyf zuivviu第121页/共140页122设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微, 于是1234xyxyuuxuyxyvvxvyxy （x,y0时,k0, (k=1,2,3,4)）()( )f zzf zui v 21324()()xxxxCR uivxi viuyixiy 1324()()(),xxuivxi yixiy D并且满足柯西-黎曼(

64、Cauchy-Riemann)方程。1324()()xxyyuivxuivyixiy 第122页/共140页1231324()( )()().xxf zzf zxyuiviizzz(1,1)xyzz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导. 由 z 的任意性可知：( )( , )( , )wf zu x yiv x y在D内解析.定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程.定理2 函数f (

65、z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程 。第123页/共140页124推论 ：,( , )u vx yCR若在处一阶偏导数连续且满足方程,( )f zuivzxiy则在处可导.例题1 ,u v解析 可导可微且满足C-R方程 222f zxyi xyuivfz已知，求解： 2222xxfzuivxi yxiyz例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:1);2)Re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz第124页/共140页125解：1

66、),wzxiy由 得 ux, vy, 所以1,0,0,1xyxyxyyxuuvvuv uv 在复平面内处处不可导, 处处不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx当且仅当 x = y = 0时,xyyxuvuv 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.第125页/共140页1262.2 解析函数和调和函数的关系定义1 1 内的调和函数：为区域实函数Dyxu),(内有二阶连续偏导数，在区域Dyxu),(0yyxxuuu且满足(称为调和方程或Laplace方程) 定理1 1： 内的解析函数是区域Dyxivyxuzf),(),()(内的调和函数是区域与Dvu证明： 内解析在Dzf)(,xyxyuvvu 且u, v有任意阶连续偏导数 xyyyxyxxvuvu,0.xxyyuu同样可得 0.xxyyvv第126页/共140页127注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, ivuzf)(不一定是解析函数 .定义2 2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-