数学分析教学课件：9.4一般项级数

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1、9.4 9.4 一般级数一般级数20112011年年1212月月1919日日一、柯西收敛准则一、柯西收敛准则时，时，当当收敛收敛NnNNann , 0*1 *Np .1 pnnkka恒有恒有.在在级级数数第第一一讲讲中中已已证证过过例例1.1. , 0,1收敛收敛证明若证明若单调减单调减 nnnnaaa. 0lim nnna则则证明：证明：.2, 0, 021 nnaaNnN时时.22 ,212 nnnnaanaa022lim nnna)( . 02)12(12212 nanaannnn0lim nnnannanln1 : 反例反例二、莱布尼茨（二、莱布尼茨（Leibniz）判别法）判别法,

2、0 ,)1(11 nnnnaa设交错级数设交错级数.)1(11收敛收敛则则 nnna证明：证明：为偶数时：为偶数时：ppn, 0, pnnkkknpnaSS11)1(0,递减趋于递减趋于若若na级级数数称称此此类类交交错错级级数数为为Leibniz)(14321pnpnnnnnaaaaaa )(321nnnaaapnpnpnaaa )(121 na为奇数时，为奇数时，p)()(1321pnpnnnnnpnaaaaaSS 1 na.)1(,lim11 nnnnnaS收敛收敛存在存在2 2 )(1即得即得令令 paSSRnnn例例1.1. )0(1)1(11 pnnpn收敛收敛特别特别615141

3、31211 收敛收敛nnnln1)1(2 收敛收敛 11111)1()1()1(nnnnnnnn对对Leibniz级数级数( (误差估计误差估计) )：三、阿贝尔判别法三、阿贝尔判别法的判敛的判敛 1nnnba1.1.分部求和公式：分部求和公式：. 0 , 021 SaaaSkk此时此时nnnkkkknkkkbSbbSba 1111)(有有则对任意正整数则对任意正整数是两列实数是两列实数设设nbann ,注：注：kkkkkkkbbbaSSS 11,可视为可视为 1101nkkknkknkkkbSbSSb类似于分部积分公式类似于分部积分公式 nknkkkkkknkkknkkkbSbSbSSba1

4、11111)(nnnkkkknkkknkkkbSbbSbSbS 1111011)(证明：证明：2 2. Abel引理：引理： ,21kknaaaSb 单调，单调，设设).2(, 2 , 1,11nnkkkkbbMbankMS 则则若若证明：证明： 1111)(nknnkkknkkkbSbbSba)(111111nnkkknnkknkkbbbMbSbbS ).2()(11nnnbbMbbbM 单调单调nb. . Dirichlet判别法判别法如果它们满足：如果它们满足：有界；有界；kS ; 0单调单调nb ,21kkaaaS ,是两个数列是两个数列设设nnba.1收敛收敛则则kkkba , 0

5、, 1| ,)1( :1 kkkkbSa取取注注.)1(11收敛收敛则则 kkkbDirichlet判别法是判别法是Leibniz判别法的推广判别法的推广证明：证明：MSSaaanpnpnnn221 )2(211pnnpnnkkkbbMba 0lim nnb,8, 01*MbNnNNn 时时.8Mbpn ,)828(2 ,1 MMMbappnnkkk.1收敛收敛kkkba . .阿贝尔（阿贝尔（bel）判别法）判别法 收敛，收敛，单调有界单调有界满足满足设设 1 . 2 . 1 ,kkkkkabba.1收敛收敛则则 kkkba证明：证明： ,单调有界单调有界kb 0 单调单调bbk,1收敛收敛

6、 kka .有界有界kS.)(,1收敛收敛法法由由 kkkbbaDirichlet 111)(kkkkkkkkabbbaba收敛收敛,lim存在存在bbkk 例例2.2.)0,0(sin1 pxnnxnp ), 0(; 01 xnp单调单调 nknkxkxxkx112sinsin2sin1sin2sin1x 由由Dirichlet判别法判别法, , 1sinnpnnx收敛收敛. .同理可证同理可证: : 1cosnpnnx收敛收敛. . kx2 )cos()cos(21sinsinyxyxyx)2) 1(cos()25cos()23cos()23cos()2cos(21xnxxxx2)2)1(

7、cos()2cos(xnx)sin2sin(sin2sin2sinsin1nxxxxxkxnk附：附：例例3.3.nnnnn)11(3cos1 解：解： 13cosnnn收敛收敛enn )11(.)11(单调有界单调有界 nn由由Abel，级数，级数收敛收敛. .例例4.4.nnnn21sin)1( 解：解：22cos1sin2nn 1111222cos)1(21)1(sin)1(nnnnnnnnnnn（莱法）（莱法）收敛收敛由由 11)1(nnn 11)2cos(2cos)1(nnnnnnnn 收敛收敛（例（例2 2）故原级数收敛故原级数收敛. .例例5.5.)arctan5()11(ln1

8、)1(2nnnnnn 解：解：)(ln1)1(2莱法莱法收敛收敛nnn 单调有界单调有界nn)11( )()11(ln1)1(2Abelnnnnn收敛收敛 ,arctan5单调有界单调有界n 故原级数收敛故原级数收敛（Abel）. .例例6.6.收敛收敛，则级数收敛，若221)(nnnnnnxxxnnx解：解：变换由则令AbelkbBbxakiiknnn, 1,11111)(nkkknnkkxxknxx 11111)(1()(nnnnnnnnxxnxxn由于由于收敛收敛由于由于 1211)()(1(nnnnnnxxnxxn判别法判别法单调（增）有界，由单调（增）有界，由而而Abelnn 1例例

9、7: 判断判断111 sin1.2nnxnn 的敛散性的敛散性121111111.1.1212111111.121nnbbnnnnnnnn 1111.2111.ln2111ln1111.lim1.022nnnbnnn rnnrbnnnnnnn 解解： 2211111.12111111.012nnnnnn 1111111coscossinsin2222sinsinsin2221coscos122sinsin2211sin1.2nnnkkknxnxnxkxkxxxxnxxxnxnn 又又收敛收敛作业作业：习题习题741 1 1 1）2 2）4 4）；）；2;2; 3 3； 5 5 2 2）3 3）；）； 6 6； 8 8； 9 9； 1010； 1111 1 1）