自动化车床管理问题详细解答含编程

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1、自动化车床管理承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请

2、填写完整的全名）： 三峡大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教师指导组 日期： 2010 年 7 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要本文要解决的是在一定的条件下如何安排刀具的更换策略和检查的次数与间隔使每个正品的平均消耗最低的问题，属于优化问题中的概率数理统计问题。通过对附加数据的数理统计分析，我们发现故障发生

3、时所完成的零件数符合正态分布。每次换刀由两部分组成，第一部分为固定周期为T的换刀策略，第二部分为在进行零件的检查过程中发现故障后便立刻进行维修。检查零件我们采用非等间距方式，而后以生产每个正品所损耗的费用作为目标函数，最后利用计算机对第一部分的固定周期与检查间隔用穷举法一一比较各种情况并求解出最优解，最终算得的结果如下: 第一问中平均每个正品消耗费用为4.1615，固有换刀周期为369，换刀次数为18.第二问中平均每个正品消耗费用为90268，固有换刀周期为306，换刀次数为28.【关键词】数理统计 非等间距 穷举法 正态分布 等比间距 1、问题重述一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀

4、具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：已知生产工序的费用参数如下： 1)故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 2)进行检查的费用 t=10元/次； 3)发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 4)未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次；问题一：假定工序故障

5、时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。 问题二：如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。 问题三：在问题二的情况下, 可否改进检查方式获得更高的效益。 一百次故障记录数据如下：459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608

6、42811535938445275525137814743888245388626597758597556496975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512、问题分析 通过对车床故障数据的数理统计我们发现车窗出现故障时所生产的零件数符合正态分布函数，由于车床的故障由两方面造成，来自于95%刀具故障和来自与5

7、%的其他因素，为了简化模型我们抓住主要因素忽略次要因素，认为5%的其他因素最终反映到对刀具的影响上，又由于车床的故障最终导致产品的质量，所以我们通过制定合适的检查方案可以及时的发现故障也可由检查的动态策略制定刀具的更换策略。对刀具的100次故障统计量如下： 数据个数100平均值600样本标准偏差196.6291695最小值84最大值1153小数位数0区间个数20区间宽度53.5对于问题一：产品的合格与否直接来自与车床是否有故障，是一一对照关系，可以通过对零件的非等距检查来判断车床是否有故障，同时求出正品的期望值，产品的期望值，检查次数的期望值，废品的期望值(为产品的期望值-正品的期望值),提前

8、更换刀具所花费用的平均期望值，及时更换刀具所花的费用期望，最后用平均花费量=生产所有产品所花的费用/正品的个数作为衡量方案好换的标准。对于问题二：与问题一比较我们发现其变化表现在产品的合格与否不和车床故障与否存在严格的一对一关系。也就导致了误判的发生，误判主要出现在两种情况，第一种当车床无故障时，存在2%为不合格品，我们采用一次检查一个零件的方法也就存在一定的误判可能性，把好的刀具当成了坏的刀具，将导致刀具的使用平均寿命减少；当车床有故障时，存在60%的不合格也存在40%的合格率，这是一个相对较相近的概率这也就大大增加了误判的可能性，使我们错误的把坏的刀具当成了好的刀具，这就加大了零件的损失率

9、，当发现后更换时同样也是一笔客观的费用。我们同样可以求出正品的期望值，产品的期望值，检查次数的期望值，废品的期望值(为产品的期望值-正品的期望值),提前更换刀具所花费用的平均期望值，及时更换刀具所花的费用期望，误判的期望值，最后用平均花费量=生产所有产品所花的费用/正品的个数作为衡量方案好换的标准。3、模型的假设与说明(1)在生产过程中不考虑故障因素中的5%对刀具的影响；(2)每次发现故障都能够及时在生产下一个零件前对故障进行维修好；(3)发生误判时，只考虑停机生产的损失费用，1500元/次；(4)发生故障并进行调整好的平均费用是指所有可能情况的平均费用；(5)假设题目中的数据与前提都是正确的

10、；(6)假设在进行检查时对生产速度.、质量无影响；(7)刀具的损坏时所生产的零件数所表现的频率表现出正态分布的特性； 4、符号说明 相邻两次定期换刀之间生产的零件个数； 首次检查时已经生产的零件个数； 第k次检查所对应的零件数(k取1、2、3)； 检查费用 10元/次； 未发现故障换刀费用； 概率密度； 分布密度； 总零件数； 换刀前没有发生故障时总损失费用期望； 换刀前已发生故障时总损失费用期望； 总的损失费用； 在时间段内因误判而导致的提前换刀的损失费用； 在时间段内因误判而导致的提后换刀的损失费用； 检查的次数； 等比数列的公比5、模型一的建立与分析正态性检验1、 根据大样本场合(n 5

11、0)的D检验验证刀具寿命记录概率的概率分布方式。 正态分布的拒绝域为Y=其中取=0.05，已知n=100则拒绝域，则拒绝域为Y= 1.31 其中Y= -1.2933，由于样本落入拒绝域，故在=0.05时可以认为刀具故障记录满足正态分布。2、 概率密度函数求解3、 于是失效概率密度函数为 其图像如下：其中 由统计概率得=600 =196.6291695 累计失效密度函数为 其图像如下：相应的数据处理在附录中目标函数：合格零件单位期望损失： =生产所有产品所花的费用总/正品的个数N总假设自动化车床在连续运行中将发生N次更新刀具过程，可分为两种情况：1.换刀间隔T前尚未出现故障发生这种情况的更新间隔

12、均为T，出现的次数等于刀具更新的总次数乘以以T为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率，即 ,因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失等于这种情况下的道具更换次数乘以单位更新过程中的损失费用 ,即2.换到间隔T前就出现故障，这是在故障发生后进行检查并进行维修换刀。这种情况下总的发生次数等于刀具更新的总次数乘以发生这种情况的概率即： ，因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失等于这种情况下的道具更换次数乘以单位更新过程中的损失费用 ，即而下面我们将对一个换刀间隔T的研究来求, 1.求换刀间隔T前尚未出现故障时一次更新过程所消耗的费用(1) 检查费用：等于检查的次数乘以单次检查所需的费用，即nt我

13、们假设检查间隔成等比数列递减，则有其中为首次检查间隔，为第K次检查间隔，则有（2）.换刀费用 k（3）不合格零件损失费用为0所以于是，再换刀前出现故障的情况下总的损失费用为：一个换刀周期内的损失乘以这种情况下的可能发生的总的更新次数，即其中为以T为更新周期情况下出现故障的概率，即为0到T内的累计失效密度函数2. 求换刀间隔T前出现故障时一次更新过程所消耗的费用 （1）换刀费用 d（2）故障维修前所有损失费用：由于故障发生的随机性，因此可以发生在T内的任何位置，这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障所造成的损失与在x处可能发生故障概率的乘积进行积分的结果，即其中表示在一个换刀周期T内

14、任意的x处发生故障概率任意位置发生故障概率的损失费=检查费用+零件损失费1）检查费用同 ，等于nt2）零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件损失费用，即所以 于是得到换刀前已出现故障的情况下的损失总费用为 因此工序总的期望损失为工序产生的合格零件总数为：换刀前没发生故障情况产生的合格零件总数加上换刀前发生故障情况下产生的合格零件总数，即 工序合格零件的单位期望损失为 6、模型二的建立与分析目标函数：合格零件单位期望损失：=生产所有产品所花的费用总/正品的个数N总假设自动化车床在连续运行中将发生N次更新刀具过程，可分为两种情况：1.换刀间隔T前尚未出现故障发生这种

15、情况的更新间隔均为T，出现的次数等于刀具更新的总次数乘以以T为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率，即 ,因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失等于这种情况下的道具更换次数乘以单位更新过程中的损失费用 ,即2.换到间隔T前就出现故障，这是在故障发生后进行检查并进行维修换刀。这种情况下总的发生次数等于刀具更新的总次数乘以发生这种情况的概率即： ，因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失等于这种情况下的道具更换次数乘以单位更新过程中的损失费用 ，即而下面我们将对一个换刀间隔T的研究来求, 1.求换刀间隔T前尚未出现故障时一次更新过程所消耗的费用(1) 检查费用：等于检查的次数乘以单次检查所需的

16、费用，即nt我们假设检查间隔成等比数列递减，则有其中为首次检查间隔，为第K次检查间隔，则有（2）.换刀费用 k（3）不合格零件损失费用为 2%Tf=0.02Tf（4）误检造成的损失费用 2%n*1500=30n所以于是，再换刀前出现故障的情况下总的损失费用为：一个换刀周期内的损失乘以这种情况下的可能发生的总的更新次数，即其中为以T为更新周期情况下出现故障的概率，即为0到T内的累计失效密度函数2. 求换刀间隔T前出现故障时一次更新过程所消耗的费用 （1）换刀费用 d（2）故障维修前所有损失费用：由于故障发生的随机性，因此可以发生在T内的任何位置，这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障

17、所造成的损失与在x处可能发生故障概率的乘积进行积分的结果，即其中表示在一个换刀周期T内任意的x处发生故障概率任意位置发生故障概率的损失费=检查费用+零件损失费(1) 检查费用：等于检查的次数乘以单次检查所需的费用，即nt；（2）正常工序中不合格零件损失费用为2 %Tf=0.02Tf；（3）误检造成的损失费用 2%n*1500=30n；（4）发生故障到维修检查之间产生的不合格零件损失费用，即60%=0.6（T-x）f；（5）换刀费用 40%d+60%k=0.4d+0.6k；所以 于是得到换刀前已出现故障的情况下的损失总费用为 因此工序总的期望损失为工序产生的合格零件总数为：换刀前没发生故障情况产

18、生的合格零件总数加上换刀前发生故障情况下产生的合格零件总数，即 工序合格零件的单位期望损失为7、进一步讨论(第三问)对于第二问，当车床无故障时，98%都是合格品，但存在2%为不合格品，如果我们依旧采用一次检查一个零件的方法也就存在一定的误判可能性，把好的刀具当成了坏的刀具，将导致刀具的使用平均寿命减少；当车床有故障时，存在60%的不合格也存在40%的合格率，这是一个相对较相近的概率这也就大大增加了误判的可能性，使我们错误的把坏的刀具当成了好的刀具，这就加大了零件的损失率，当发现后更换时同样也是一笔客观的费用。为了减少误判的发生我们把每次检查一个零件改为每次检查两个零件，为了使检查的间距为更好的

19、体现非等间我们在模型的改进中一共设置两个公比值，当零件的检查为两次全是正品时认为车床无故障，当两次全是损失品时认为车床有故障，当发生有一个正品零件与一个损失品零件时，为了尽量减少损失我们认为车床存在故障；当然我们还可以把每次检查两个零件变为每次检查三个零件，当全是正品或者两个正品一个次品时我们认为刀具是好的，当全是不合格品时或者为一个正品两个不合格品我们认为刀具已坏需要维修。最后我们还可以把导致产生故障的5%可能性不忽略，重新加进来，以此进一步增大模型的准确性。 8、模型的评价8.1）、模型一的优点：模型在建立过程中我们通过对零件的检查以此判断车床的好坏，和以每个正品的平均消耗为目标函数，这样

20、的模型具有很强的实用性。为了简化模型我们忽略次要因素抓住主要因素对造成车床的5%的故障原因进行忽略，也使得建模的过程中的思想也不是太过复杂，便于理解和运用。8.2）、模型一的缺点：8.3)、模型二的优点：8.4)、模型二的缺点：模型的检查方式并不是很好，采用一次检查一个零件的方法不能很好的正确的反应车床的好坏与否，也就无形中增加了成本。 10、模型的推广参考文献数学建模技术 谢兆鸿 范正森 王垠远概率统计 赵彦晖 杨金林数学建模案例精选 朱道元 等C+编程指导 谭浩强 等 附录组下限组上限组中值频数频率（%）累积频率（%）正态概率正态累积概率83.5137110.252220.00495922

21、20.009269176137190.5163.751130.0093746530.018643828190.5244217.251140.0164641760.035108004244297.5270.753370.0268638840.061971888297.5351324.252290.0407232410.102695129351404.5377.7555140.0573536640.160048793404.5458431.2566200.0750457010.235094494458511.5484.751010300.0912297880.326324282511.556553

22、8.251313430.103037190.429361472565618.5591.751212550.1081180020.537479474618.5672645.251212670.1054019760.64288145672725.5698.7588750.0954654440.738346894725.5779752.2599840.0803322980.818679192779832.5805.7544880.0628030140.881482206832.5886859.2566940.0456159510.927098157886939.5912.7511950.030782

23、1150.957880272939.5993966.2533980.0192985680.9771788399931046.51019.7500980.0112407670.9884196061046.511001073.2511990.0060828940.994502511001153.51126.75111000.0030582090.997560709模型1的程序(C+)：#includestdafx.h#includestdio.hincludemath.h#define D 1000#define Pi 3.1415926 double integrate(double lower

24、_x,double upper_x) /积分函数 int i; double delta =(upper_x-lower_x)/D; double s=0; double x=lower_x; for(i=0; iD;+i, x+=delta) s+=exp(-(x-600)*(x-600)/(2*196.6292*196.6292)/(sqrt(2*Pi)*196.6292); return s*delta; void main(int argc, char* argv) int n,m,x,i,z=0,b15000,c15000; double N,w,a15000,min,P1,P2,n

25、um,num2; for(x=561;x=639;x+)/由正态分布确定x范围/对m进行穷举 for(m=15;m=30;m+) P1=1-integrate(0,x);/未出故障更换刀具的概率 n=x/m+1;/次数 num=0;num2=0; for(i=1;in;i+) P2=integrate(m*(i-1),m*i);/调用函数计算检查坏更换刀具的概率 num+=(m*i-m*P2)*P2; num2+=(10*n+3000+m*P2*200)*P2; N=x*P1+num;/生产过程中合格零件数量的期望 w=(10*x/m+1000)*P1+num2)*1.0/N; bz=x; c

26、z=m; az+=w; min=a0; for(i=1;iz;i+)/做排序输出最小损失费用 if(aimin) min=ai;x=bi;m=ci; printf(最小损失为:%f,此时x值为:%d,m值为:%dn,min,x,m);模型2的程序(C+)：#includestdafx.h#includestdio.h#includemath.h#define D 1000#define Pi 3.1415926 double integrate(double lower_x,double upper_x) /积分函数 int i; double delta =(upper_x-lower_x)

27、/D; double s=0; double x=lower_x; for(i=0; iD;+i, x+=delta) s+=exp(-(x-601)*(x-601)/(2*196.4*196.4)/(sqrt(2*Pi)*196.4); return s*delta; void main(int argc, char* argv) int n,m,x,i,z=0,b15000,c15000; double N,w,a15000,min,P1,P2,num1,num2,M1,M2; /下面对m进行穷举 for(x=561;x=639;x+)/由正态分布确定x范围 for(m=15;m=30;m

28、+) M2=0; num2=0; P1=1-integrate(0,x);/未出故障更换刀具的概率 n=x/m+1;/次数 for(i=1;in;i+) P2=integrate(m*(i-1),m*i);/未出故障更换刀具的概率 num2+=(10*i+3000+200*(0.6*m+(i-1)*m*0.02)*0.6*P2+(10*x/m+1000+1500+0.02*x*200)*0.4*P2); M2+=x*0.98*0.4*P2+(i-1)*m*0.98+m*0.4)*0.60*P2; num1=(10*i+3000+1500+200*(0.60*m+(i-1)*m*0.02)*0.02*P1+(10*x/m+1000+0.02*x*200)*0.98*P1; M1=x*0.98*0.98*P1+(i-1)*m*0.98+m*0.4)*0.02*P1; N=M1+M2;/生产过程中合格零件数量的期望 w=(num1+num2)*1.0/N;/平均损失费用 bz=x; cz=m; az+=w; min=a0; for(i=1;iz;i+)/做排序输出最小损失费用 if(aimin) min=ai;x=bi;m=ci; printf(最小损失为:%f,此时x值为:%d,m值为:%dn,min,x,m);