自旋和角动量-Oriyao

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1、第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动 量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最 后介绍了自旋的单态和三重态。 6.1电子自旋 6.2电子的自旋算符和自旋函数 6.3角动量的耦合 6.4电子的总动量矩 6.5光谱线的精细结构 6.6塞曼效应 6.7自旋的单态和三重态首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由源射出的处于基K态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁

2、矩，在非均匀磁场的作用下受到 力的作用而发生里偏转。由于这是处于S态的氢原子，轨道角动量为零，S态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而 这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。 假定原子具有的磁矩为M，则它在沿Z方向的外磁场H中的势能为U - -M H - -MH COST （）二为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子Z方向所受到的力为Fz 二出 cost（ ）tztz实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于CO - 1和COST - -1两个值。为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认

3、为： 每个电子都具有自旋角动量S，S在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间的任意方向取为 Z方向，则Sz - - .2（） 每个电子均具有自旋磁矩Ms ，它与自旋角动量之间的关系为MS -eS （SI）或 MS 二一-eS （CGS）（）mmeMs在空间任意方向上的投影只能取两个值:r A亠MszMb (SI)或2mMsz -Mb(CGS)2mcM b是玻尔磁子。M；Sz电子自旋的回转磁比率为:=(SI)或 Mz = _ e(CGS) mSzmc轨道角动量的回转磁比率为:-（SI）或 一旦（CGS）2m2mc自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电

4、子的自旋是因为电子在作机械的自转引 起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8 10丄3cm，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速,这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电 子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。电子自旋具有下述属性： 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当0时，自旋效应消失。 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取_ . 2两个值。6.2电子自旋算符

5、和自旋函数自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算 符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量 算符J满足的对易关系是:J J =i J ( )在量子力学中，不要误以为角动量就是r p，r p只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足（6.2.1 ）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足:S S（ ）写成分量形式：SXSy -SJSX =SX,Sy =i Sz)SyS -SzSy 二咸,sz】日 sSzS -SXSz 鬥Sz,SX t g4由于自旋S在空间中任意方向的投影只能取_一2两个值。因此，任意选定x,y,z坐标

6、系后,耳,三个算符的本征值都是-2，s/,Sy 2,Sz 的值都是2 4即s2 =Sy2 =Sz2 W 4（ ）则S的本征值为：S2 Sy2 Sz2 =3 2.4()若将任何角动量平方算符的本征值记为J2二j(j1)一2 , j称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足：S2 =s(s 1) 2 =3 2.-4( )所以S =1/2为方便起见，弓I入算符广，令S 即S?x,Sy?y,SZ?z则由(6.2.2 )及()2 2 2 2式得寸 c -2ic()写成分量形式氓;?y - ；?y；?x =；?x，；?y =2吃；?y；?z -；?z；?y =；?y,；?z =2i；?x( ):?z；?x

7、 - ；?x；?z =；?z,；?x=2i；?y而g , ；?y，:?z的本征值为_1，而且:?X2 =?y2 =?z2 =1( )定义：任意算符 A和B的反对易关系为AB二 AB - BA ( )则；?x,；?y.=；?x；?y ；?y；?x11=(；?y；?z -；?z；?y)；?y?y(；?y；?z -；?z；?y)( 6.2.12 )2i2i=0同理:?y,；?z，0 ():?z,? =0()现在来找特定表象下，匚,6,匚算符的矩阵形式。由于S与Sz对易，则在它们的共同表象中，Sz的矩阵必然为)这是因为 SZ只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2 2的矩阵，而且在Sz自身表象中，矩阵

8、对角线上的元素就是它的本征值。为求出二，G在二表象中的矩阵形式，注意到 -X与匚y反对易，则 二与匚y也只能是ia b2X2 矩阵。令 $=1 I （ ）圧d丿由于SX是厄米矩阵，匕也是厄米矩阵，则 c二b*baaI * b20aa .b0-11 o b-d 1+ - IJ7bdj则 a =0,d =00b（6218）2 2又由于Cx =1则二x =00b2（）即 b $ =1 则 b ?iQ 1:若取 a =0，则 琥=l（ ）V 0丿（6222）丿o1 o-2-、丿T Oo i-2-I y,s、丿1 oo 1-2-1,i 0由对易关系得 艮=丄（葩喝戏甜）=|0if （ ）2i0丿综上所述

9、|0 1 i 0-ia仟0、既=i，戟=i，葩=1（）x Q 0丿y Q 0 丿T 一1丿称为泡利矩阵。因为任何2 2的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和二x，F，G三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。现在求电子自旋算符对应的波函数。在Sz表象中，由本征函数 hSz 1_=一71（ ）-2 2 -21 o o 1-2 - 2- -Alli? Aliy1 o o 1o T o T（6224）（ ）)G也可表示为2 2的矩阵)所以，Sz的本征函数为！ = 1,!02日丿 P V丿自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数G =| 11：( )21 G22 /包含自旋在内的电子波函数可表示为空 _(

10、X, y, z,t) _f(x, y, z,卑2,t)卞2(x, y, z, t)丿飞(x, y, z,牝 t)丿电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即. - * * - 2 2-阳电=(巴，屮2).也 dr+屮 2|)dr =1( )V2由？给出的几率密度为2 2?=匕 +2()表示在t时刻，在(x,y,z)点周围单位体积内找到电子的几率。其中|屮和比22分别表示在 点周围单位体积内(x,y,z)找到自旋Sz =弩2和Sz - - 2的电子的几率。贝V算符G在宇态中,）对自旋求平均的结果是2L 3LY,m 二 丁帀)(1 _m 1临1(6417)21 bYl ,m0l,m 匕i

11、aY津l，mTY,m +丿(6418)相应方程为:3 _l(l 1) m -，a (l -m)(l m 1)b =04(6419)J(l -m)(l +m+1)al(l +1)(m 十I) kb =0 i4a、b有非零解的条件:3l(l 1) 4 m-.(I m)(l m 1),(l -m)(l m 1) l(l 1)3+4-(卄)“=0(6420)这两个根分别为:1 =(l3)，(6421)1写成j(j 1)后，可知j =1 _丄2(6422)当j =l .丄有b =匚口12 b l m(6423)()利用归一化条件，得(6425)最后得出l +m+1Y,m I Jl mY，m 卡丿(642

12、6)Y,m同理，当j =| 一1时2C,Sz)=-o 11m+J1 o(6427)6.6 光谱线的精细结构作为角动量耦合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线结构的影响。电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用，但这种相互作用的能量和电子的动能，以 及电子在核的力场中的势能相比是很小的。如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量， 则类氢原子的哈密顿量可写为：H。=-V2 +U（r）（ ）对于类氢原子，如果不考虑核外电子对核的屏蔽，则-Zrs2U（r） -（ ）r齐2H。、l、LZ、SZ都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象）nmimsWC, IS） =RnlYm

13、i（K）ms（ ）其中，m, = 1 ， ms是自旋Sz的本征值，mi|是磁量子数。2描写电子态的四个量子数由n、I、mP m,来确定。电子的能级En有n2度简并。考虑电子自旋，m,可取两个值，因而能级的简并度为2n2。2 2以J=L S表示电子的总角动量算符。因为L ,J ,Jz,Ho两两相互对易，所以，体系的定态也可用L：j2,Jz,Ho的共同本征函数来描写：（6.5.4 ）所表示的波函数是耦合表象的基矢。 现在我们把自旋和轨道运动之间的相互作用能考虑进去，这个能量为：（r）L? S .2u（r）?S?（）2mec r dr于是体系的哈密顿量写为：H2 U （r）（r）l? S?2 （ ）

14、二Ho H由于44Lz, LS =0（ ）Q, LS=0（ ）因此，LZ,SZ都与H不对易，这时电子的态不能用量子数 m和ms来描述，或者说m和m$不 是好量子数。44.-44_2007 023另一方面，由于 J =（L+S）2 =L +S +2L S S = 斤4- 1 2 2 3则 L S = J -L - 2（ ）2亠2所以J ,Jz，L都和H对易，j,m,l都是好量子数。H的本征函数就是耦合表象的基矢。而H的本征函数和本征值可由H的本征方程HV -（H0 - H- E?（）求出。由与在一般情况下，H H。，我们可以用微扰论的方法进行求解。又由于H0的本征2 卜2值简并，须采用简并微扰论

15、来讨论。将宇按H?0的本征函数展开。考虑到H与J ,Jz,L对易,H与Lz,SZ不对易，显然用H?0在耦合表象中的本征函数（6.5.4 ）展开计算时要方便得多。令审 一7 CijmSjm( )ljm)简并微扰的久期方程为H lj m ,ljm _E 甘 l=jj二mCljm = ljm其中)Hfm,ijm = nl j m H nljm.=.0 Ri(r)r2drjm L S ljm1223 c(I j mi，S Ijm) =(l jmq J _L并Ijm)尸( 6514)衣3=j(j 1)(l 1)、八、血4则已“=0代()()&/(4八(&5.所以(6.5.12 )可化为Hnij -ECi

16、jm =0( )于是有：E二Hnij 二j(j 1)-1(1 1)一4】0Ri(r) (r)r2drE(1)表示微扰对能量的一级修正值。注意到 E只与n,l, j有关，而与m无关，因此简并只是部分解除，仍存在对量子数 m的2j 1度简并。当n,丨给定后，j的取值为j=I_1/2(除1=0 外)，因此，自旋轨道耦合也消除了部分简并，使原来对应于n,l量子数的能级Em分裂为两个能级。由于两个能记得差别很小，从而导致了光谱线精细结构的出现下面我们来计算类氢原子2p项(n =2,l =1 )的精细结构。oR2(r) (r)r2Ze2dr= 2(2mec 2e単dr0 rZ4)2mec2ao n3l (

17、l 1 2)(l 1)其中ao二厶mee则 Em,j12 二 En0)2mece -2节4(2l1)(l1)Enl,j 土丄2 二 En0)mec2 (aZ n2 n l(2l 1)其中2 e称为精细结构常数。137由于Hljm,ijm是对角矩阵,因此 H。在耦合表象中的基矢就是零级波函数-nljm，用无耦合表象的波函数表示为；n,l,l 12,m(r,二，Sz)二1l m 22l 11l -m +22l +1IR1j(r)Y,mt25? 1 (Sz)Rnj(r)Y,m4 2，)1 ( Sz )+2)fy12f1 )l -ml +m +_2Rnj(r)Y,mMW (Sz) +22l +122l

18、 +1I)I)n,l,l 42,m(，K S Sz)=-Rnj(r)Y,m12(”：)j(Sz)2)从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合, 以使得H 在简并子空间中对应的矩阵对角化。6.6 塞曼效应 碱金属，氢原子和类氢原子核最外层电子有一个价电子。在磁场中，由于磁场对电子的作 用，将使这些原子的光谱线发生分裂。具体的分裂情况与所考虑的自旋在磁场中附加能量、 自旋与轨道相互作用等有关，下面分两种情况讨论。1.简单塞曼效应先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况。在这种情况下，略去自旋轨道的相互作用能。 在实验室范围内，磁场近似为均匀磁场， 记

19、为B。选磁场方向为z轴， 即Bx =By =0 ， B =Bz( )相应的磁矢势A和标势是BB木/、A y , Ayx , Az = 0 , =0（ ）V（r），外加磁场具有22设一价金属的电子在其它电子屏蔽下与原子核和库仑场为（6.6.1 ）的形式，则体系的哈密顿量为：H-(Px -eBy)2 (Py eBx)2 Pz2 V(r)2me 2c2c12 eBe2B2-= p(xpx ypy)-(x2 - y2) V(r)()4c2me c-2-2=丄+哲世+欝（/ 2mec4c由于（6.8.3 ）式中e2B2 （ 2 + 2十（x +y 4c因而（6.6.3 ）式右端正比于 B2的项可以略去，

20、得:y2) V(r)2 2Lz nF4ceB10 -c(664)211 peB 11H= V(r)Lz2me2mec)（6.6.5 ）式右端的第三项实际就是轨道磁矩与外磁场的相互作用能U = -ML B 归B。2mc2H：pm/V（r）的本征方程为:-2F2 w)m)八2式中屮nlm =RnlYm是H 、L、巴的共同本征函数。巳是本征值。显然，由于 Him是Lz的本征函数，因而-；nim也是H的本征函数，相应的本征值为:eB +Enm =Enm（ 667）2mec上式表明：加上磁场后，对m的21 1度简并被消除，原来的 Enl能级分裂为21 1条能级,相邻两能级之间的间隔为l 仝， -eB称为

21、拉摩频率。光谱线在外场中分裂的2mec2mec现象称为塞曼效应。上述计算并未考虑到电子的自旋。现在考虑电子的自旋，则哈密顿量变为;-2-eB2t V（r）F竺（Lz yj-：（ ）2me2mec式中蝕0 屮=F1 ）。上式可写为：宅一1丿巴丿2 i V(r)- i 邑(Lz J, =E-12me2meC一2( )2_eR“2 V(r)- 2 竺(Lz -)- 2 二 E- 22me2mec比较（6.6.6 ）和（6.6.8 ）可见，相应的能谱是：十e屁Sz =“【2 , Enim = Enl（m 1）（ ）2mecre居Sz = 2 , Enlm = Enl（m -1）（ ）2mec在外磁场中

22、，能级与 m有关，原来有m引起的简并被消除，而且，能量与自旋有 关。2.反常塞曼效应在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或 正常塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分 裂现象，称为反常塞曼效应或一般塞曼效应。结合上一节的讨论结果，考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，我们可以得出反常塞 曼效应的能谱结构为：1(1 )mjEnljmj Enlj(j1(F)rj(j)6.8自旋单态和自旋三重态本节我们讨论两个自旋都是12的粒子，自旋和自旋之间的耦合。当两个粒子体系的哈密顿算符不含自旋是，两个自旋为12粒子的总的自旋波函数是每个粒子自旋

23、波函数的乘积。1Z（Sz,S2z） =x（Sz）5（S2z） （。1,他=2）（ ）事实上，利用但个粒子的自旋波函数，可以按以下四种方式构成两个粒子的总自旋波函数:S1) = !(Sz)(Saz)()S 1 (sz) 1 (s2z)-2 - 2)(S z)1 (S2z)1 (S2z)1 (S z)22 2)抵（SzMjdSaz）-跟金）乙2（兀）一2、12小丄2 脚标S表示波函数是对称的，交换两个粒子，将)Siz变为S2Z后，波函数不变号，脚标 A表示波函数是反对成的，交换两个粒子，将sz变为S2Z后，波函数反号。两个自旋为2的粒子组成的体系具有三个对称的波函数，是自旋的三重态，一个反对称的波

24、函数，是自旋单态。现在来计算耦合表象中算符 2.S和,的本征值。令S =S S2，则有Sz =Sz +Dz ( )S2 =(S S2)2=S S2 2s S2=3 用 +2SxS2x +SyS2y +SzS2z又因)( )_02 1一 0=-2 1-09 12 石 iSy 122 i312hSz 1=-22由此直接给出SJ12Z21 1 一 一 1 0 0 2 1 2 -2岛卩h0 1 2 0 =2一 10 J 0人0丿2 VJ人1丿2宅丿)-2)2J22 12( 6.7.12)今化)+2忒(Sz ) S2Jv (S2z ) +Wy(S z)S2y 弓2 (S2z) +S1z 勺2(託)S2z

25、 惩(S2z)( 6.7.15)= 22 S1)Sz S1 =(Sz 0) 12(S1z)严)S1类似有S2 S2) =22 S2)( )Sz S2)逬)()S ? =2 2 S3)()Sz=0( )S A =0( )Sz A =0()综合(6.7.15 )至(6.7.22 )式得出， S作用在对称波函数巴? , ?上时，其本征值为2 2，若将S的本征值表示为s(s -1/，即得总自旋角动量量子数s =1，这正是11 2丄-耦合的结果。同理，将 S作用在反对称波函数A上，其本征值为零，相应的 s=0 ,2 21 1挖2这时丄一丄耦合的结果。说明：态S1), S2), S3)各不同的。S表现在作用在这些波函数上，2 2分别得出；-；0三个不同的值。态S1)，两个粒子的自旋都平行于z轴；态S2)两个粒子的自旋都反平行于z轴；态S3)两个粒子的自旋虽然平行，但合成后的总自旋角动量与z轴垂直；态 A两个粒子的自旋反平行。