圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

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1、圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径

2、长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长；（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长. 推论：（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.（）当轴时，求p，m的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；OABxy（）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

3、ABCDOxyP例2（07全国文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.（1）设P点的坐标为，证明：1.（2）求四边形ABCD的面积的最小值.例3（08全国理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、成等差数列，且与同向.（）求双曲线的离心率；ABy O F xNM（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.金指点睛1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_.2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲

4、线于A、B两点，则=_.3. 已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求AOB的最大面积.BO xyAFyO F xAB4. 已知抛物线（0），弦AB过焦点F，设，AOB的面积为S，求证： 为定值.5.（05全国文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.O xNPyMQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.yO F

5、xABDECmP7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.（1）求点M的轨迹方程；FO xABDCy（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的最小面积.8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；yAO xBCD （2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案证明：设双曲线方程为（0，0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为.代入双曲线方程并整理得：.由t

6、的几何意义可得：例1.解：（）当轴时，点A、B关于x轴对称，直线AB的方程为.从而点A的坐标为或.点A在抛物线上，即此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.（）设直线AB的倾斜角为，由（）知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率，于是有又AB过椭圆的右焦点，通径，离心率.OABxy解之得：.抛物线的焦点在直线上，从而.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为例2.（1）证明：在中，.O是的中点， 得点P在圆上.显然，圆在椭圆的内部.故1.（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.通径，离心率.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点

7、、，于是ABCDOxyP四边形ABCD的面积.故四边形ABCD面积的最小值为.例3，解：（）设双曲线的方程为（0，0）.、成等差数列，设，公差为d，则，. 即. 从而，.又设直线的倾斜角为，则. 的方程为. 而ABy O F xNM.解之得：（）设过焦点F的直线AB的倾斜角为, 则. 而.通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有：.即.解得，从而.所求的椭圆方程为.1. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.2. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.3. 解：，左焦点，离心率，通径.当直线的斜率不存在时，轴，这时，高，AOB的面积.当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点

8、O到直线AB的距离.BO xyAFAOB的面积.0，0. 从而.当且仅当，即时，“=”号成立. 故AOB的最大面积为.4. 解：焦点为，通径.当直线AB的斜率不存在时，轴，这时，高，AOB的面积.，是定值.当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.yO F xABAOB的面积.不论直线AB在什么位置，均有（为定值）.5. 解：在椭圆中，由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点，且.如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角. O xNPyMQF通径，离心率.于是有四边形PQMN的面积.故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.6.（）解

9、：，抛物线的焦点F的坐标为，准线的方程为.（）证明：作于C，于D. 通径.yO F xABDECmP则.，从而.故为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M与点的距离与它到直线的距离相等，点M的轨迹是抛物线，点是它的焦点，直线是它的准线.从而，.FO xABDCy所求的点M的轨迹方程是.（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.抛物线的通径，于是有：.四边形ACBD的面积当且仅当取得最大值1时，这时.四边形ACBD的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆中，其焦点为、.在抛物线中，其准线方程为.在双曲线中，.所求的双曲线的方程为.（2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.双曲线的通径，离心率. 于是有：.yAO xBCD四边形ACBD的面积=18当且仅当取得最大值1时，这时.四边形ACBD的最小面积为18.19