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1、训练29解析几何(推荐时间：75分钟)1(陕西)如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MDPD.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度2圆C：x2(ya)24，点A(1,0)(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当MN时，求MN所在直线的方程3设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形(1)求椭圆的方程；(2)假设过点(1,0)的直线l与椭圆交于不
2、同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使恒为定值？假设存在，求出E的坐标及定值；假设不存在，请说明理由答案1解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由得P在圆上，x2(y)225，即轨迹C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.AB.2解(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，1a24.a或a.(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点MN，DM.又MC2，CD，cosMCA， AC，OC2，AM1，MN是以点A为圆
3、心，半径AM1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x1)2y21，圆C的方程为x2(y2)24或x2(y2)24，MN所在直线的方程为(x1)2y21x2(y2)240，即x2y0或(x1)2y21x2(y2)240，即x2y0，因此，MN所在直线的方程为x2y0或x2y0.3解(1)由椭圆定义知AF2ABBF24.又2ABAF2BF2，得AB.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B两点的坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20，那么x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以AB|x2x1|，即|x2x1|，那么(x1x2)24x
4、1x2，解得b.4(1)解由题意，c1，可设椭圆方程为1.因为A在椭圆上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以椭圆方程为1.(2)证明设直线AE的方程为yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x42120.设E(xE，yE)，F(xF，yF)因为点A在椭圆上，所以1xE，所以xE，yEkxEk.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k ，可得xF，yFkxFk.所以直线EF的斜率kEF.即直线EF的斜率为定值，其值为.5解(1)易知a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)，那么(x，y)(x，y)x2y23x213(3x28)因为x2,2，故
5、当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.(2)显然直线x0不满足题设条件，可设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，整理得x24kx30.x1x2，x1x2.由(4k)2434k230，得k，或k.又0AOB90cosAOB00.x1x2y1y20.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44.0.即k24，2k2.故由得2k，或k2.6解(1)由题意知抛物线的焦点F(，0)，c.又椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，b1，椭圆的方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，那么l的方程为：yk(x1)由消去y得，(4k21)x28k2x4k240.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么x1x2，x1x2.(mx1，y1)，(mx2，y2)，(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2(4m28m1)，当2m0，即m时，为定值.当直线l的斜率不存在时，P，Q.由E可得，.综上所述，当E的坐标为时，为定值.
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