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1、高中数学竞赛辅导（证共圆问题）一、利用圆的定义（找到某一点，证明四点到这一点的距离相等，则此四点共圆）1K为ABC内任一点，在ABC内作三条直线，AL、BM、CN，使BAL=CAK, ABM=CBK, BCN=ACK,且AL=AK，BM=BK，CN=CK，求证：K、L、M、N四点共圆。2给定锐角三角形ABC，在BC边上取点A（位于与C之间），在AC边上取点B（位于与A之间），在AB边上取点C（位于与B之间），使得，直线、和可构成一个三角形，直线、和可构成另一个三角形，直线、和，证明：这两个三角形的六个顶点共圆。3设为圆的内接四边形，分别为的垂心，求证：四点共圆。二、利用角的关系（1）证明四点为
2、顶点的四边形的内对角互补，则四点共圆；（2）证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角，则四点共圆；（3）线段同旁张等角，则四点共圆。4凸四边形ABCD中，ACBD，作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆。5已知O是O、O、O的公共点，点A、B、C分别是O与O、O与O、O与O的交点，若A、B、C三点共线，求证：O、O、O、O四点共圆。6已知在凸五边形ABCDE中，求证：A、B、C、D、E五点共圆。7引三条直线分别平行于三角形的三边，每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的长度，同时，对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧，证明：三
3、角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理8在锐角ABC中，以BC为直径作圆与BC边上的高AD及其延长线交于M、N，以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q，求证：M、N、P、Q四点共圆。9ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于点D、E、F，点X是ABC的一个内点，XBC的内切圆也在点D与BC边相切，并与CX、XB分别相切于点Y、Z，证明：EFZY是圆内接四边形。四、利用托勒密的逆定理（A、B、C、D四点共圆ABCD+BCDA=ACBD）10在四边形ABCF中，BF=AF+FC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD=BE=AC，求证：四边形ABCF有外接圆。五、证多圆过定点（多圆或动圆过定点问题，常用的方法有两种，其一，探索定点，化归为证四点共圆；其二，作出符合题设的点，化归为证点的唯一性）11P为ABC的边AB上任一点，作PQAC交BC于Q，作PRBC交AC于R，证明：一切过点C、Q、R的圆经过一定点。
高中数学竞赛辅导(证四点共圆)
