湖南省衡阳八中高三上第一次月考数学试卷理科解析版

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1、2015-2016学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1己知集合M=x|2x3N=x|lgx0，则MN=（）A（2，+）B1，3）C（2，1D（2，3）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由N中lgx0，即lgxlg1，得到x1，即N=1，+），M=（2，3），MN=1，3），故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2命题“存在xZ使x2+2x+m0”的否定是（）A存在xZ使x2+2x+m0B不存在xZ使x2+

2、2x+m0C对任意xZ使x2+2x+m0D对任意xZ使x2+2x+m0【考点】命题的否定【分析】根据命题“存在xZ使x2+2x+m0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“改为“”可得答案【解答】解：命题“存在xZ使x2+2x+m0”是特称命题否定命题为：对任意xZ使x2+2x+m0故选D【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化注意：全称命题的否定是特称命题3函数f（x）=asin2x+b+c（a，bR），若f（2015）=2013，则f（2015）=（）A2018B2009C2013D2013【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用解析

3、式，代入计算，即可得出结论【解答】解：f（x）=asin2x+b+c，f（2015）=asin2（2015）+b+c=2013，f（2015）=asin2（2015）+b+c=2013，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础4设xR，则“x2+x20”是“1x3”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】先求出不等式的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：解不等式x2+x20得：x1或x2，x1或x2是1x3的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必

4、要条件，考查不等式问题，是一道基础题5设函数f（x）（xR）满足f（x+）=f（x）+sinx当0x时，f（x）=0，则f（）=（）ABC0D【考点】抽象函数及其应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可【解答】解：函数f（x）（xR）满足f（x+）=f（x）+sinx当0x时，f（x）=0，f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin=故选：A【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力6已知直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，则m的值为（）A0B2C1D3【考

5、点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出m的值【解答】解：曲线y=x23lnx（x0）的导数为：y=2x，由题意直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，可知2x=1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2故选：B【点评】本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力7函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求

6、出函数的周期T=，解得=2由函数当x=时取得最大值2，得到+=+k（kZ），取k=0得到=由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期T满足=，由此可得T=，解得=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+）又当x=时取得最大值2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取k=0，得=故选：A【点评】本题给出y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题8要得到函数的导函数f（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸

7、长到原来的2倍（横坐标不变）B向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】简单复合函数的导数；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】由题意可得f（x）=2cos（2x+）=2sin2（x+）+，而由y=sin（2x+）y=2sin2（x+）+=f（x），分析选项可判断【解答】解：的导函数f（x）=2cos（2x+）=2sin2（x+）+而由y=sin（2x+）y=2sin2（x+）+=f（x）故选D【点评】本题主要考查三角函

8、数的平移复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减9偶函数f（x）满足f（1x）=f（x+1），且x0，1时，f（x）=x+1，则关于x的方程f（x）=，在x0，3上解的个数是（）A1B2C3D4【考点】指数函数的图象与性质；奇偶性与单调性的综合【专题】常规题型；数形结合【分析】首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解【解答】解：设方程的根的个数，即为函数的图象交点的个数f（1x）=f（x+1）原函数的对称轴是x=1，且f（x）=f（x+2）又f（x）是偶函数f（x）=f（x）f（x）=f（x+2）原函数的周期T=2又x0，1时，

9、f（x）=x+1由以上条件，可画出的图象：又因为当x=时，y1y2，当x=1时y1y2在内有一个交点结合图象可知，在0，3上共有4个交点在0，3上，原方程有4个根故选D【点评】本题考察函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想属较难题10若函数f（x）=在x（，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，3B（1，8）C（1，5D4，8）【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】若函数f（x）=在x（，+）上单调递增，则，解得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=在x（，+）上单调递增，解得a4，8），故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解

10、分段函数的单调性，是解答的关键11已知函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，若a=（20.1）f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCacbDcab【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小【专题】导数的综合应用【分析】构造函数h（x）=xf（x），由y=f（x）是R上的偶函数，y=x是R上的奇函数，得h（x）=xf（x）是R上的奇函数，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，得320.11，0ln21，|log2|20.2ln2推出结果【解答】解：构造函数h（

11、x）=xf（x），由y=f（x）是R上的偶函数，y=x是R上的奇函数，得h（x）=xf（x）是R上的奇函数，又x（，0）时，h（x）=f（x）+xf（x）0成立，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，320.11，0ln21，|log2|=320.1ln2，a=（20.1）f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2）即bac，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【考点】函数

12、的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综

13、上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题二填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）13曲线y=x2与直线y=0，x=0，x=1 所围成的封闭图形的面积为【考点】定积分【专题】导数的概念及应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=x2与直线y=0，x=0，x=1所围成的封闭图形的面积S=01x2dx=x3|=故答案为：

14、【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数14若函数f（x）=sin（2x），x，则f（x）的最小值是【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】利用x的范围，求出相位的范围，然后求解三角函数的最值【解答】解：根据x的取值范围为，可得到的取值范围是，再由正弦函数y=sinx在的取值情况，可知当，即时，f（x）取故答案为：【点评】本题考查三角函数的最值的求法，考查计算能力15若tan=tan，则=2【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的求值【分析】由题意可得=k+，kZ，代入要求的式子对k分

15、奇数和偶数由诱导公式化简可得【解答】解：tan=tan，=k+，kZ，=，当k为偶数时， =2；当k为奇数时， =2综上可得=2，故答案为：2【点评】本题考查三角函数求值，涉及分类讨论的思想，属基础题16对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意xD，都有|f（x）g（x）|1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”给出以下命题：f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代；f（x）=x可被g（x）=1替代的一个“替代区间”为；f（x）=lnx在区间1，e可被g（x）=xb替代，则e2b2；其中真命题的有【考点】命题的真假判断与应用【专题】

16、新定义；转化思想【分析】注要考查了新型定义的理解，利用所给的定义分别判断是否符合，得出结论【解答】解：中|f（x）g（x）|=1，故f（x）=x2+1在区间（，+）上可被g（x）=x2+替代，故正确；中|f（x）g（x）|=x+1，x，记h（x）=x+1，x，易得h（x）=x+10，所以|f（x）g（x）|1，故正确；中，|f（x）g（x）|=|lnxx+b|1等价于xlnx1bxlnx+1对任意x1，e恒成立，易得（xlnx+1）min=2，（xlnx1）max=e2，故e2b2，正确；故答案为：【点评】考查了对新概念的理解能力和对问题的分析转换能力，学生应对定义透彻理解三解答题（本大题共6

17、小题合计70分）17已知条件p：函数f（x）=logx在（0，+）上单调递增；条件q：对于任意实数x不等式x23ax+2a2+a0恒成立如果“p且q”为真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据对数函数的单调性便有10a21，从而可得出3a3，而由不等式恒成立，便可得到0，这样可解出，然后根据p且q为真命题，便得到p真q真，从而解不等式组即可得出实数a的取值范围【解答】解：f（x）在（0，+）上单调递增；10a21；a29；3a3；不等式恒成立；解得；条件p：3a3，条件q：；p且q为真命题；p，q都为真命题；实数a的取值范围为【点评】考查对

18、数函数的单调性，解一元二次不等式，一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R时，判别式的取值情况，以及p且q真假和p，q真假的关系18已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（）求a，b的值；（）求函数f（x）在1，2上的最值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的概念及应用【分析】（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值【解答】解：f（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=6，b=9 （2）由（1）得：

19、f（x）=6x3+9x2，f（x）=18x2+18x，令f（x）0，解得：0x1，令f（x）0，解得：x1或x0，函数f（x）在1，0），（1，2递减，在（0，1）递增，f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（1）=15，f（2）=12，函数f（x）的最大值f（1）=15，最小值f（2）=12【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题19已知函数f（x）=2的最大值为1（）求常数a的值；（）求函数f（x）的单调递增区间【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（）利用两角和的正弦函数公式化简可

20、得：f（x）=，利用正弦函数的性质即可得解a的值（）由，即可解得函数的单调递增区间【解答】解：（） =，2+a=1，a=1（）由，解得，所以函数的单调递增区间【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=（）求角A的大小；（）设BC边的中点为D，|AD|=，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求

21、得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A（）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案【解答】解：（ I）在ABC中，2a=5c3a=7c，3sinA=7sinC，3sinA=7sin（A+B），3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7sinA+7cosAsinA=cosA，即（），又3a=7c，BD=，c=3，则a=7，【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化21对于函数f（x），g（x），如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f（x）和g（x）在点P

22、处相切，称点P为这两个函数的切点设函数f（x）=ax2bx（a0），g（x）=lnx（）当a=1，b=0时，判断函数f（x）和g（x）是否相切？并说明理由；（）已知a=b，a0，且函数f（x）和g（x）相切，求切点P的坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）把a=1，b=0代入函数f（x）的解析式，分别求出两个函数的导函数，由对于任意的x0，f（x）g（x）说明函数f（x）和g（x）不相切；（）分别求出两个函数的导函数，设出切点坐标，由切点处两函数的导数值相等即可求出切点坐标【解答】解：（）结论：当a=1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切理由如下：由条

23、件知f（x）=x2，由g（x）=lnx，得x0，又f（x）=2x，当x0时，f（x）=2x0，对于任意的x0，f（x）g（x）当a=1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切；（）若a=b，则f（x）=2axa，设切点坐标为（s，t），其中s0，由题意，得 as2as=lns，由，得，代入，得（*），且s0，设函数，则令F（x）=0，解得x=1或（舍）当x变化时，F（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x1（1，+）F（x）+0F（x）当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时，F（x）0因此，当且仅当x=1时，F（x）=0方程（*）有且仅有一解s=1于是，t=lns=0，因此切点P的

24、坐标为（1，0）【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所取的条件，是中档题22已知函数g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且，f（x）=mxlnx，mR（1）求的取值范围；（2）若h（x）=f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求m的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一个x0，使得h（x0）成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（1）利用在1，+）上恒成立，推出cos1，即可得到的取值范围（2）求出，通过h（x）在1，）上为单调函数，推出导函数

25、mx22x+m0或者mx22x+m0在1，）恒成立得到，通过基本不等式求出m的取值范围（3）构造函数当m0时，当m0时，分别通过F（x）0在1，e恒成立求解m的取值范围【解答】解：（1）由题意，在1，+）上恒成立，即故cosx10在1，+）上恒成立，只须cos110，即cos1，得=0故的取值范围是0（2）由（1），得h（x）在1，）上为单调函数，mx22x+m0或者mx22x+m0在1，）恒成立mx22x+m0等价于m（1+x2）2x，即，而mx22x+m0等价于m（1+x2）2x，即在1，）恒成立，而，m0综上，m的取值范围是（，01，+）（3）构造函数当m0时，所以在1，e上不存在一个x0，使得成立当m0时，因为x1，e，所以2e2x0，mx2+m0，所以F（x）0在1，e恒成立故F（x）在1，e上单调递增，只要，解得故m的取值范围是【点评】本题考查函数的对数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用