RLS算法的收敛性分析

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1、RLS与LMS算法的收敛性比较分析学号：S120101057姓名：贾雪婷摘要：介绍了自适应滤波器的基本原理，对最小均方(LMS,LeastMeanSquares)和递归最小二乘(RLS,RecursiveLeastSquares)自适应算法进行仿真分析及对比研究。仿真结果及实例均表明，两种算法都能有效抑制和抵消各种干扰，但相比之下，RLSS法具有更好的收敛性能及稳定性，除收敛速度快于LM算法和NLMS算法以及稳定性强外，而且具有更高的起始收敛速率、更小的权噪声和更大的抑噪能力。关键词：自适应滤波；最小均方；递归最小二乘；收敛性；对比研究Abstract:Introducingthebasicp

2、rincipleofadaptivefilter,asfortheminimummeansquare(LMS,LeastMeanSquares)andRecursiveLeastSquares(RLS,RecursiveLeastSquares)adaptivealgorithmisappliedtothesimulationanalysisandcomparativestudy.Thesimulationresultsandexamplesindicatethatthe,twokindsofalgorithmcaneffectivelyrestrainandoffsetallkindsofi

3、nterferenee,butincontrast,RLSalgorithmhasbetterconvergeneeperformaneeandstability,InadditiontoconvergeneespeedfasterthanLMSalgorithmandNLMSalgorithmandthestability,butalsohavehigherinitialrateofconvergenee、smallerrightnoiseandmorenoisesuppressionability.Keywords:adaptivefiltering;LMS;RLS;astringency

4、;Comparativestudy自适应滤波的原理自适应滤波的原理如图一所示:EJyin)-V7111参数可设数字滤液器li1/1Hd(tt:igIii-一芈自适应算法图1自适应滤波器原理图输入信号x(n)通过参数可调数字滤波后产生输出信号y(n),将其与参考信号d(n)进行比较，形成误差信号e(n)，e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。如何提高收敛速度、增强稳定性以满足信号处理的高效性、实时性，一直是人们研究的重点和热点。二、自适应算法(1) LMS算法自适应滤波器在时刻n的向量定义：抽头权向量：W(n)=bo(n),bi(n),.,bM(n)T参考输

5、入向量：X(n)=x(n),x(n-1),.,x(n-M-1)Td(n)是主输入信号，y(n)是期望输出值，e(n)是误差信号，也是系统输出值，M是滤波器长度。由维纳-霍夫方程可知，最小均方误差为：(Ee2)min=Ed2-W*P实际上，该方程与维纳滤波器结果完全一样。自适应滤波器与维纳滤波器相比，其差别在于它增加了一个识别控制环节，将输出与期望值进行比较，利用误差e(n)去控制W(n)，使Ee2=最小值，从而得到W(n)的估计W*(n)。根据最优的数学算法最陡下降法，下一个权矢量Wjdn)等于现在的权矢量Wj(n)加一个正比于梯度Ij的负值变化量，即有：Wj1二Wj一2心j.dEej通过梯度

6、下降法：Wj=Wj|w划jjdWj推导可知：Wj1=Wj2%jXj其中edj-WjXj算法步骤：步骤一：初始化：步骤二：更新：n=1,2,3,.滤波：y(n)二WT(n)X(n)；误差估计：e(n)=d(n)-y(n);权向量更新：W(n1)=W(n)2le*(n)X(n)；其中是用来控制稳定性和收敛速度的步长参数。为确保自适应过程的稳定性,须满足0j：2/MPin，其中Pn=EX2(n)为输入功率。(2) RLS算法SISO系统动态过程的数学模型：A(z)z(k)=B(zJ)u(k)n(k)(1)其中u(k)，z(k)为输入输出量，n(k)为噪声。式中112_nA(z)=1+8以+32乙+a

7、nazaB(z一1)=dz一1-b2z-.-bnbz_nb展开后得到：Nk)2片弋水-模型(1)可化为最小二乘格式:z(k)二h(k)rn(k)(2)记日=a1,a2,.ana,b,b2,.,bnb广为待估计的参数。h(k)-z(k-1),.,-z(k-na),u(k-1),.,u(k-nJ,对于k=1,2,.丄(L为数据长度)。(方程z(2)(2)构一个线性(2)线性方程组，写成ZL(k)二HL(k)vnL(k)；,nL=亠F其参数估计为：n(L)根据最L小二乘法一次完成参数递推估计，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计结果的基础上，利用新引入込s=(HlHl)_1HlZlo的观测数据对前

8、次估计的结果，根据递推算法进行修正，减少估计误差，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新观测数据的逐次引入，一次接一次地进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。算法步骤：步骤一：初始化W(0)=0；P(0)-；i，其中I为单位矩阵；步骤二：更新n=1,2,.计算更新增益矢量：g(n)=P(n-1)X(n)/LXT(n)P(n-1)X(n)；滤波：y(n)=WT(n-1)X(n)；误差估计：e(n)=d(n)-y(n)；更新权向量：W(n)=W(n-1)g(n)e(n)；更新逆矩阵：P(n)=4P(nT)-g(n)XT(n)P(n-1)；其中，P(n)为自相关矩阵Pxx(n)的逆

9、矩阵，常数是遗忘因子，且0：1。总上所述：算法实现的主要步骤为：(1)数据采集与生成，取d(n),X(n);(2)对参数的初始化；(3)自适应的滤波处理；(4滤波器系数更新三、仿真(1)仿真过程简介仿真过程按照如下过程进行信号产生：首先产生高斯白噪声序列w(n)，然后将此通过一个简单的二阶自回归滤波器生成信号x(n)，该滤波器的参数为印=4,a2-0.7.(1) 将步骤一生成的信号通过LMS和RLS自适应滤波器进行处理(2) 通过改变u值对ai收敛速度的影响来分析LMS算法的性能以及通过改变入值对ai收敛速度的影响来分析RLS算法的性能。(3) 绘制各种图形曲线(4) 源代码如下：%(1)信号

10、序列与高斯白噪声的产生%参数初始化a1=1.4;%生成信号所用AR(2)滤波器的参数a2=-0.7;n=2000;%信号点数%言号及白噪声信号序列的初始化x=zeros(1,n)：%信号的初始化w=randn(1,n)：%高斯白噪声的初始化，均值为0,方差为1x(1)=w(1);%信号前两点的初始赋值x(2)=a1*x(1)+w(2);%言号序列的产生fori=3:nx(i)=a1*x(i-1)+a2*x(i-2)+w(i);%信号由AR(2)产生end淤制信号和高斯白噪声波形figure(1)plot(1:n,x,b:,1:n,w,r-);legend(信号序列,高斯白噪声)%图例title

11、(基于AR(2)模型产生的信号x和高斯白噪声w);xlabel(信号点数n);ylabel(x(n)/w(n);%(2)LMS和RLS算法下的参数a1、a2的收敛曲线%LM滤波L=2;%滤波器长度u=0.001;%LMS算法下自适应增益常数初始化wL=zeros(L,n);%LMS滤波器的权值初始化fori=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L);y(i)=X*wL(:,i);%i时刻输出信号e(i)=x(i)-y(i);%i时刻误差信号wL(:,(i+1)=wL(:,i)+2*u*e(i)*X;%i时刻滤波器的权值end;a1L=wL(1,1:n);%al在LMJ算法下值的变化a2L

12、=wL(2,1:n);%a2在LMS法下值的变化%RL滤波L=2;%滤波器长度lam=0.98;%RLS算法下lambda取值wR=zeros(L,n);%权系数，初值为0T=eye(L,L)*10;%RLS算法下T参数的初始化,T初始值为10fori=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L);K=(T*X)/(lam+X*T*X);%i时刻增益值e1=x(i)-wR(:,i-1)*X;wR(:,i)=wR(:,i-1)+K*e1;%i时刻权值y(i)=wR(:,i)*X;%输出信号e(i)=x(i)-y(i);%预测误差T=(T-K*X*T)/lam;%i时刻的维纳解end;a1R=w

13、R(1,1:n);%al在RLS算法下值的变化a2R=wR(2,1:n);%a2在RLS算法下值的变化淤制LMSfRLS算法下al、a2收敛曲线figure(2)plot(1:n,a1L,r-,1:n,a1R,b:,1:n,a2L,g-,1:n,a2R,m-.,1:n,a2,k-,1:n,a1,k-);legend(LMS-a1变化,RLS-a1变化,LMS-a2变化,RLS-a2变化,a1,0);%图例title(LMS与RLS算法对比);xlabel(信号点数n);ylabel(对应al、a2的值);%(3)LMS算法下不同u值的参数收敛曲线wL=zeros(L,n,3);eL=zeros

14、(n,3);%LMS算法下误差初始化yL=zeros(n,3);%LMS算法下滤波器输出初始化u=0.001,0.003,0.006;%不同的u值forj=1:3fori=(L+1):nyL(i,j)=x(i-1:-1:i-2)*wL(1:L,i-1,j);eL(i,j)=x(i)-yL(i,j);wL(1:L,i,j)=wL(1:L,i-1,j)+2*u(j)*eL(i,j)*x(i-1:-1:i-L);endenda1L1=wL(1,1:n,1);a1L2=wL(1,1:n,2);a1L3=wL(1,1:n,3);figure(3)收敛值,a2收敛值画图显示不同u值plot(1:n,a1L

15、1,b-,1:n,a1L2,r:,1:n,a1L3,c-.,1:n,a1,k)%下LMS算法性能差别legend(u=0.001,u=0.003,u=0.006,a1收敛值,0)%title(LMS算法下不同的u值对al收敛速度影响)xlabel(信号点数n)ylabel(对应al的值)%(4)RLS算法下不同lambda值的参数收敛曲线wR=zeros(2,n,3);%RLS算法下自适应滤波器参数初始化eR=zeros(n,3);%RLS算法下误差项初始化yR=zeros(n,3);%RLS算法下滤波器输出初始化lam=1,0.98,0.94;forj=1:3fori=(L+1):nxR=x

16、(i-1:-1:i-2);k=(T*xR)/(lam(j)+xR*T*xR);T=(T-k*xR*T)/lam(j);eR=x(i)-xR*wR(1:2,i-1,j);yR(i,j)=xR*wR(1:2,i-1,j);wR(1:2,i,j)=wR(1:2,i-1,j)+k*eR;endenda1R仁wR(1,1:n,1);a1R2=wR(1,1:n,2);a1R3=wR(1,1:n,3);figure(4)plot(1:n,a1R1,b-,1:n,a1R2,r:,1:n,a1R3,c-.,1:n,1:n,a1,k)%画图显示不同lamda值下RLS算法性能差别legend(lam=1,lam=

17、0.98,lam=0.94,a1收敛值,0)%title(RLS算法下不同的lam值对al收敛速度影响)xlabel(信号点数n)ylabel(对应al的值)(2)仿真结果图例图例信号和高斯白噪声波形如图(1)所示：51IX图1信号和高斯白噪声波形rnirsciFi1EditVq,iwTnvtirtTgq1vRii.ktgpWindowHlp占Pdlkl罠決的毀摇彳口|画I旦1.50LMS-a1变化RLS-al变化-LMS皿亟化-RL3-a2变化訥收敛值塞收敛值4IIIIIIIIII0200400600500100012001400160018002000信号点擞n图2LMS算法和RLS算法收

18、敛曲线对比TFigure3匚IBSFileEditJiewXikEertX&dlsesktdpWindo*HelpH|辭帆巴膜|口画a图3u对LMS收敛速度的影响L【能算法下不同的u值对茁收皱速度影响1a161.4oa060402800100012001400160010002000信号点数n(T200刖丨7嗣讯IfiewtXoolsektopUelpTed_：%兀黔媚就a恒|QRL潯法下不同的囱n值对訥收敛速度影响Figure4lam=1larri=t)9BIam=0.94訂收敛值图4入对RLS收敛速度的影响(3)结果分析(1)由(图2)可以看到在u和值相当的情况下，RLS比LMS具有更快的

19、收敛速度，但是RLS权系数收敛后出现了较大的噪声，是因为RLS中有效记忆长度只有49.(2) 由(图3)可知u越小，LMS算法的收敛速度越慢，但权系数收敛后噪声越小。(3) 有(图4)可知，越大，RLS算法的收敛速度越慢，但权系收敛后噪声越小，当，为1时看出收敛后是几乎没有噪声的，因为有效记忆长度此时为无穷大。由仿真结果可以看出，这两种算法都能有效的恢复原始的语音信号，但RLS算法比LMS算法有更快的收敛性。四、结论LM算法其优点是结构简单，算法复杂度低，易于实现，稳定性高，便于硬件实现，但是这种算法收敛速度慢，对快速变化的信号不适合。RLS算法是基于最小二乘准则的精确方法，它的收敛速度快，稳

20、定性强，因此常被应用于实时系统识别和快速启动的信道均衡。此外还有更多其他的算法值得去研究。例如EWL算法，归一化最小均方算法(NLMS，牛顿算法等。自适应滤波有着广阔的应用前景，如自适应噪声抵消技术就是基于自适应滤波原理的一种扩展，如果将自适应算法和小波、混沌分别结合起来，将会取得更大突破。参考文献DavidS，Leeds.AdaptiveNoiseCancellationofCoupledTransmitterBurstNoiseinSpeechSignalsforWirelessHandsetsJ.IEEE,20023924-3927.1 WidrowB.AdaptiveNoiseCancelingPrinciplesandApplicationJ.IEEE,1975，63(12):2 胡广书.数字信号处理一理论、算法与实现M.北京：清华大学出版社，2003.3 王梓展，段正华.一种稳健的变步长自适应算法J.通信技术，2004(8):37-39，45.何振亚.自适应信号处理M.北京：科学出版社，2003:5.万建伟，王玲.信号处理仿真技术M.长沙：国防科技大学出版社，2008: