概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案word档

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1、习题习题 4.11. 设随机变量 X 的概率密度为(1)f(x) =2x, 0 x 1,0, 其他;(2) f(x) =12e x, ? ? ? 求 E(X)解: (1)E X =?xf x dx =?01x 2xdx = 2 ?x3210=23(2)E X =?xf x dx =?x 12e x=?02. 设连续型随机变量 X 的分布函数为F x =0, x ? 1,a ? b arcsinx, 1 x ? 1,1, x 1.试确定常数 a,b,并求 E(X).解:(1)f x = Fx =b1x2, 1 x ? 10, 其他?f x dx =11b1 x2dx =?b arcsinx1 1

2、= ? = 1,即 b =1又因当 1 x ? 1 时F X =1Xf x dx =1x111 x2dx =1 arcsinxx 1?=1 arcsinx ?12, 即 a =12(2)E X =?xf x dx =11 x11x2?= 03. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为f(x) =12ex222, x ? 0,0, x 0.求 E(X).解: E X =?xf x dx =?120?x ex222dx =?14. 设 X1, X2,. Xn独立同分布,均值为,且设Y =1ni=1nXi?,求 E(Y).解:E Y = E1ni=1nXi?=1nEi=1nXi?=1n n =

3、5. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y) =ey, 0 x 1,y ? 0,0, 其他.求 E(X+Y).解:E X ? Y =?x ? y f x,y dxdy =?0?01x ? y eydxdy =?0? 12? ey? y eydy =32arcsinx 的导数为11 x2arctanx 的导数为11 ? x26. 设随机变量 X1, X2相互独立,且 X1, X2的概率密度分别为f1x =2e2x, x ? 0,0, x 0,f2x =3e3x, x ? 0,0, x 0,求:1 E 2X1? 3X2;2 E 2X1 3X22;3 E X1X2.解:(1)E 2X1? 3X2= 2

4、E X1? 3E X2= 2 12? 3 13= 2(2)E 2X1 3X22= 2E X1 3E X22= 1 3 0?x2?3e3xdx= 1 3 0?x2?d(e3x)= 1 3 x2 e3x? 0?0?e3x?dx2= 1 3 0 ?0?e3x 2x?dx= 1 3 230?e3x 3x?dx= 1 3 2313=13(3)E X1X2= E X1E X2=1213=167. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为01210.10.20.120.30.10.2求 E(X).解:E X =ijxipij= 0 0.1 ? 0 0.3 ? 1 0.2 ? 1 0.1 ? 2 0.1 ? 2

5、0.2 = 0.9?8. 设随机变量 X 的概率密度为f(x) =cx, 0 x 1,0, 其他.且 E(X)=0.75,求常数 c 和.解:E X =?xf x dx =01x cxdx = 0.75?YX该题服从指数分布,故E(X)=1习题习题 4.21. 设离散型随机变量 X 的分布律为X-100.512P0.10.50.10.10.2求 E X ,E X2,D X .解: E X = 1 0.1 ? 0 0.5 ? 0.5 0.1 ? 1 0.1 ? 2 0.2 = 0.45E X2= 12 0.1 ? 0 0.5 ? (0.5)2 0.1 ? 12 0.1 ? 22 0.2 = 1.

6、025D X = 1 0.452 0.1 ? 0 0.452 0.5 ? 0.5 0.452 0.1 ? 1 0.452 0.1 ? 2 0.452 0.2 = 0.82252. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差.解: X 的可能取值为 0,1,2P X = 0 =C22C52= 0.1P X = 1 =C31 C21C52= 0.6P X = 2 =C32C52= 0.3E X = 0 0.1 ? 1 0.6 ? 2 0.3 = 1.2D X = (0 1.2)2 0.1 ? (1 1.2)2 0.6 ? (2 1.2)2 0.3

7、= 0.144 ? 0.024 ? 0.192 = 0.363. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为fXx =2e2x, x ? 0,0, x 0,fYy =4, 0 ? h 14,0, 其他,求 D(X+Y).解:D X ? Y = D X ? D Y =122?(140)212=491924. 设随机变量 X 的概率密度为fXx =12e x, ? ? ? ,求 D(X)解:E X =? x2e xdx?= 0E X2=?x22e x?dx = 2?x22ex?=?x2ex= 2?D X = E X2 E X 2= 25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1

8、,D(Y)=2,求 D(X-Y).解: D X Y = D X ? D Y = 1 ? 2 = 36. 若连续型随机变量 X 的概率密度为f x =ax2? bx ? c, 0 ? ? ? 1,0, 其他,且 E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数 a,b,c.解:注意此处不可以用二项分布式:P X = k = Cnkpkqnk?x2e xdx?此为奇函数,故=0? x22e x?正负无穷带入结果都一样,故=2? x22ex?E X =01x(ax2? bx ? c)?dx =a4?b3?c2= 0.5E X2=01x2(ax2? bx ? c)?dx =a5?b4?c3= 0.15 ?

9、 (0.5)2= 0.4?f x dx?=01(ax2?bx?c?)dx =a3?b2?c = 1解得 a=12,b=-12,c=3.习题习题 4.31. 设两个随机变量 X,Y 相互独立,方差分别为 4 和 2,则随机变量 3X-2Y 的方差是D.A. 8B. 16C. 28D. 442. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f x,y =18x ? y , 0 x 2,0 y 2,0,其他求 Cov(X,Y).解:E X =0202x8x ? y dy?dx =02(x28 y ?x8y22)20?dx =76E Y =0202y8x ? y dx?dy =76E XY =0202xy8x

10、 ? y dy?dx =43Cov X,Y = E XY E X E Y =437676=1363. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f x,y =ye(x?y), x ? 0,h ? 0,0,其他求 X 与 Y 的相关系数xy.解:E X =0?(0?xye(x?y)dy?)dx = 1E Y =0?(0?y2e x?ydx?)dy?a ? b ? cx dx?= (a x ? b x ? c x22)? =0?(0?y2exeydx?)dy=0?y2ey?dy=0?y2?d ey= y2ey? 0?0?ey?d y2= 0 ?0?ey 2y?dy= 20?ey y?dy = 2E XY

11、 =0?(0?xy2e(x?y)dy?)dx = 2Cov X,Y = E XY E X E Y = 2 2 1 = 0所以xy =Cov X,YD(X) D(Y)= 04. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数 f(x,y).解:f x,y =121212e12(12)x12122x1y212?y2222 E X = 0,E Y = 01= 0,2= 0, D(X) = 16, D(Y) = 251= 4,2= 5 Cov(X,Y) = 12 =Cov X,YD

12、(X) D(Y)=124 5=35f x,y =132e2532(x2163xy50?y225)运用分部积分法.0?ey y?dy 服从=1 的指数分布5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:D X Y = E X Y E X Y2= E X E X Y E Y2= E X E X2 2E X E X E Y E Y? E Y E Y2= D X ? D Y 2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为 C = (4 3 39),求 X 与 Y 的相关系数xy.解: C = (4 3 39) Cov X,Y = 3, D X = 4,D Y = 9 xy =

13、Cov X,YD(X) D(Y)= 32 3=12自测题自测题 4一、一、 选择题1. 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则下列各项中正确的是B.A. E(X)=0.5, D(X)=0.25B. E(X)=2, D(X)=4C. E(X)=0.5, D(X)=4D. E(X)=2, D(X)=0.25解: 指数分布的 E X =1, D X =122.设随机变量 X,Y 相互独立,且 XB(16,0.5),Y 服从参数为 9 的泊松分布,则 D(X-2Y+1)=C.A.-14B. 13C. 40D. 41解: D X = npq = 16 0.5 0.5 = 4, D Y = =

14、 9D X 2Y ? 1 = D X ? 4D Y ? D 1 = 4 ? 4 9 ? 0 = 403.已知 D(X)=25,D(Y)=1, xy=0.4, 则 D(X-Y)=B.A.6B. 22C. 30D. 464.设(X,Y)为二维连续随机变量,则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是C.A. X 与 Y 相互独立B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XY)= E(X)E(Y)D. (X,Y)N(1,2,12,22,0)解: X 与 Y 不相关 xy = 0, Cov X,Y = 0 E(XY) = E(X)E(Y)5. 设二维随机变量(X,Y)N(1,1,4,9,12),则 C

15、ov(X,Y)=B.A.12B. 3C. 18D. 36解: xy =12=Cov X,YD(X) D(Y)=Cov X,Y23,Cov X,Y = 36. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则 E(XY)=A.A. 3B. 6C. 10D. 12解: XU 1,3 ,YU 2,4 E X =a ? b2= 1 ? 32= 1, E Y =2 ? 42= 3E XY = E X E Y = 1 3 = 37. 设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是C.A. X 与 Y 都服从 N(0,1

16、)正态分布B. X 与 Y 相互独立C. Cov(X,Y)=1D. (X,Y)的分布函数是(x) (y)二、二、 填空题1. 若二维随机变量(X,Y)N(1,2,12,22,0),且 X 与 Y 相互独立,则=0.解: Cov(X,Y)=02. 设随机变量 X 的分布律为3.X-1012P0.10.20.30.4令 Y=2X+1,则 E(Y)=3.解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 PX=1=e1.解: D X = = 1 P X = 1 =1e1!

17、= e14. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)= D(Y)=1,则 D(X-Y) =2.5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布, E X2=6.解: E X = = 2,D X = = 2, E X2= E2X ? D X = 4 ? 2 = 66. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则 E X2=8.7. 已知随机变量 X 的分布函数为F x =0, x ? 0 x4, 0 x ? 41,x 4则 E(X) =2.解:f(x) = F x =14, 0 x ? 40,其他E X=04x4?dx = 08. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D

18、(X)=2, D(Y)=1,则 D(X-2Y+3)=6.三、三、 设随机变量 X 的概率密度函数为f x =32x2, 1 x 1,0,其他试求: (1)E(X), D(X);(2)P X E X? 2(?).解:(1)E X =11 32x3?dx = 0D X = E X2 E2X =1132x4=32x551 1=35?(2) PX E X? 2 ?= PX ?65=6565f x dx =11 32x2?dx?= 1四、四、 设随机变量 X 的概率密度为f x =x 0 x 12 x, 1 x ? 20,其他试求: (1)E(X), D(X);(2)E(Xn),其中 n 为正整数.解:

19、(1)E X =01x2?dx ?12x(2 x)?dx =13?13= 1D X = E X2 E2X =01x3?dx ?12x22 x 1 =?14?143154 1 =16(2) E(Xn)=01xn?1?dx ?12xn2 x=?2(2n?11)n?1 (n?2)五、五、 设随机变量 X1与 X2相互独立,且 X1N(,2), X2N(,2).令 X= X1+X2, Y= X1-X2.求: (1)D(X), D(Y);(2)X 与 Y 的相关系数xy.解:(1)D X = DX1? X2= DX1? DX2= 2? 2= 22D Y = DX1 X2= DX1? DX2= 22(2)

20、Cov X,Y = E XY E X E Y = 0 xy=Cov X,YD(X) D(Y)= 0六、六、 设随机变量 X 的概率密度为f x =2e2x, x ? 0,0,x 0.(1) 求 E(X),D(X);(2) 令Y =XE(X)D(X),求 Y 的概率密度 fY(y).解:(1)E X =0?2xe2xdx?=12D X = E X2 E2X =0?2x2e2xdx?14=1214=14(2)Y =XE(X)D(X)=X1212= 2X 1由 Y=2X-1 得 X=Y?12, X=12 fYy =2e2(Y?12)12,Y?12? 00,Y?12 0=e(y?1),y? 10,y

21、1七、七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f x,y =2, 0 x 1,0 y ?,0,其他求: (1)E(X+Y);(2)E(XY);(3) PX ? Y 1.解:(1) E X ? Y =01dx?0 x2 x ? y dy?=012x2? x2dx?= 1(2) E XY =01dx?0 x2xydy?=01x3dx?=14(3) P X ? Y 1 =x?y1f x,y dxdy?=012(y1y2dx?)?dy =0122 4y?dy =12八、八、 设随机变量 X 的分布律为X-101P131313记 Y=X2,求:(1)D(X), D(Y);(2) xy.解:(1) E X = 1 13?0 13? 1 13= 0D X = ( 1 0)213?(0 0)213?(1 0)213=23E Y = 1213?0 13? 1213=23D Y = (1 23)213?(0 23)213?(1 23)213=29(2)(X,Y)的分布律为01-119290192911929E XY = 0 1 19? 11 29?0 0 19?0 1 29?1 0 19?1 1 29= 0YXCov X,Y = E XY E X E Y = 0 0 23= 0 xy=Cov X,YD(X) D(Y)= 0