导数在解决实际问题中的应用

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1、导数在解决实际问题中的应用导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图）,做成一

2、个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？60一x解法一：设箱底边长为xcm,则箱高h=-cm，得箱子容积V(x)=x2h=60x2一x32(0,x,60).x60-令x60-0-2X23解得x=0（舍去），x=40,并求得V（40）=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值.答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为（60-2x）cm,则得箱子容积X*=60-2*|60彩*x|XIXV(x)二(60一2x)2x(0,x,30).(后面同解法一，略)由题

3、意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处.事实上，可导60X2X3函数V(X)=X2h=、V(X)=(60-2X)2X在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2nRh+2nR2由V二nR2h，V得h*，则s(r)=V2nR+冗R22V2nR2=+2nR2Rs(R)=_2V+4nR=0R2令从而h=VR2=2R即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值+答：

4、当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示:S=2冗Rh+v(R)=返笋冗R2=2(S一顼2)R=2SR一欣3V(R)=0S=6冗R26兀R2=2兀Rh+2兀R2h=2R.例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关“1系式为p=25一石q.求产量q为何值时，利润L最大？8分析：利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.(1)1解：收入R=qP=q25_q=25q一q2,k8丿8、1)i利润L，RC，25qq2(1004q)，q221q100k8丿8(0q100)L=q+21令L，0，即q+21，0,44求得唯一的极值点q，84+答：产量为84时，利润L最大.解决这类应用题一般有四个要点步骤：设-列-解-答，用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，注意取最值时对应的自变量必须有解。