回归直线方程的推导

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回归直线方程的推导山东 王加祥 范玉峰设与是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的个点的坐标分别是：，下面给出回归方程的推导设所求的回归方程为，显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用个偏差的平方和来表示个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即求出当取最小值时的的值，就求出了回归方程一、 先证明两个在变形中用到的公式公式（一），其中证明：公式（二）证明：，二、 推导：将的表达式的各项先展开，再合并、变形 展开合并同类项以的次数为标准整理转化为平均数配方法展开整理用公式（一）、（二）变形配方配方法 在上式中，共有四项，后两项与无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得取得最小值，当且仅当前两项的值都为0所以，或用公式（一）、（二）变形得三、 总结规律上述推导过程是围绕着待定参数进行的，只含有的部分是常数或系数，用到的方法有：配方法，有两次配方，分别是的二次三项式和的二次三项式；变形时，用到公式（一）、（二）和整体思想；用平方的非负性求最小值实际计算时，通常是分步计算：先求出，再分别计算，或，的值，最后就可以计算出的值