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1、第8课一元二次方程及应用吉林省长白山保护开发区池西一中 王寿娟一、课程标准对本章的基本要求（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.（3）能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.（4）了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）.（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.二、本章的知识要点本章的基本知识要点有：一元二次方程的定义、一元二次方程的标准形式、一元二次方程的根的意义；解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系；
2、已知方程的根求做作方程、利用一元二次方程的根来分解因式；用代数式表示实际问题的数量关系，找实际问题中的相等关系、根据相等关系列出一元二次方程、运用一元二次方程的思想解决实际问题.三、考点精讲考点一：一元二次方程的基本知识例1.（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是ABCD分析：本题是考查一元二次方程的概念.一元二次方程的概念是含有一个未知数且未知数的次数是二次的整式方程.解： C评注：运用概念判断，注意到二次项系数不为0的隐含条件.例2.（2011江西）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1 B.2 C.-2 D.-1分析：本题考查一元二次
3、方程的根的意义.使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.所以，可以代入x=1后求出b再求出另一个解；或是由根与系数的关系，根据两根积是-2求出另一个根.解：C评注：本题的解决方法有两个，可以运用根的意义求解，直接代入求出字母系数b，在求方程的解；也可以运用根与系数的关系，两根的积是已知的来求另一个解.例3.（2011山东滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为_.分析：本题考查方程的解的意义，直接代入即可求a.解：评注：代入方程的已知根，会得到关于a的一元二次方程，求出a即可.考点二：一元二次方程的解法例4. (2011江苏南京)解方程x24x1=0分析：本题考查解一元二次方程.
4、方法有多种，可以灵活选择方法.解：解法一：移项，得配方，得， 由此可得，解法二：，评注：解本题型在解题中，要灵活的选择求解一元二次方程的方法.根据方程的特征选择方法.通常情况直接开方法是首选，其次是提公因式法和公式法，最后选择配方法.所有有解的方程都可以用求根公式求根，所以要牢记求根公式.难点是配方法，它与后继学习的二次函数有联系.配方的根本是完全平方公式，变形的依据是等式的基本性质.所有求方程的根的习题都难度不大，只要是认真计算就很容易求出来解.例5.（2011甘肃兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为ABCD分析：配方法解一元二次方程是推导求根公式的基本方法，也是后续学习二次函数的基础.解
5、：C评注：配方法解方程关键是凑完全平方.步骤是：把常数项移到方程的右边在方程的两边都加上一次项系数一半的平方左边配方两边开方求解.注意细心计算.考点三：一元二次方程根的判别式例6.（2011内蒙古包头）一元二次方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定分析：一元二次方程根的判别式是不解方程，运用根的判别式是.一元二次方程根的判别式为，当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当O时，方程无实数根 解：B评注：根的判别式是判断方程有没有实根的依据.本题已知判别式与0的大小，可以判断方程的根的情况.此题可以直接代入判别式判断.例7
6、.（2011年青海）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A k4 B. k4 C. k4 D . k=4分析：本题是在已知方程有实数解的前提下，运用根的判别式判断常数的取值范围.依题意直接代入判别式计算即可.解：B评注：已知方程根的情况可以知道判别式与0的大小；反之，已知判别式与0的大小可以判断方程的根的情况.此题可以直接代入判别式判断.例8.（2011江西）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: 分析：此题是一个开放性试题，写出的方程满足根的判别式大于0即可.解：答案不唯一.如：评注：本题型在解题中，只要从原题的信息中提炼出来关键词对方程的根的判断词.一
7、般情况下一元二次方程根的判别式有三层含义：是在不解方程的前提下阐明根的存在性与系数的内在联系.根据方程根的情况确定的符号，建立关于字母系数的方程或不等式，求出相应的值.利用根的判别式说明与方程的根的性质有关的问题.但是要注意判别式是针对方程的一般形式而言的.考点四：一元二次方程的根与系数的关系例9.（2011福建泉州）已知一元二次方程x24x+3=0两根为x1、x2, 则x1x2=（）.A. 4 B. 3 C. 4 D. 3分析：一元二次方程当0时，方程有实数根，设这两个实数根为，这两个根与系数的关系：本题可以直接代入求解.解：B评注：一元二次方程根与系数的关系是在不解方程的前提下，根据，是一
8、元二次方程的两根，那么有，代入系数求解.例10.（2011四川南充市）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值。分析：本题把根的判别式及根与系数的关系结合在一起分析.都是在不解方程的前提下，运用判别式及根与系数的关系代入方程的系数而得.解：（1）方程有实数根.=22-4（k+1）0解得：k0 K的取值范围是k0.（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1x2=k+1.x1+x2-x1x2=-2-（ k+1）由已知，得：-2-（k+1）-1.解得：k-2.又由（1）k0 -2k0 k
9、为整数 k的值为-1和0.评注：本题型在解题中，要把握好根与系数的关系以及与判别式的综合运用.根与系数的关系的关键是方程的根与未知数的系数a、b和常数项c存在的关系.所以把方程转化为标准形式是运用“关系”的前提条件.其次要注意两根的关系的共性是二次项系数a做分母，特性是两根和为，积为.在解题时把系数作为整体代入，注意系数的符号.考点五：一元二次方程的应用例11.（2011广西桂林）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同 （1）求该市对市区绿化工程投入资
10、金的年平均增长率； （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？ 分析：本题考查有关增长率的问题. 如果用表示变化前的量，表示变化后的量，表示连续变化的时间次数，表示变化的百分率，那么可以表示为.如果是求第n年的量可以直接用公式求得，若是求连续n年的和那么要分析是几次的和，再相加.当实际问题是增长，那么是用“+”，若是减少，那么用“-”.本题在分析时抓住关键词：以后每一年都比前一年增长%.按公式可求.解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，则 2000（1+x）2=2420 解得：x=10%（负值已舍） 即该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为
11、10%（2）2012年需投入的资金为2420（1+10%）2=2928.2万元评注：本题型在解题中，基本上是从原题的叙述中寻找数量关系.要求抓住关键词，分析已知量与未知量的数量关系，列出代数式.所用到的知识主要是学习过的行程问题、数字问题、面积问题、增长率问题等.本类题型的难度不大，只要是以前学习过的基础知识能够很好的运用，基本上都很容易解决.其实无论是关于那个题型的问题都离不开我们认真审题、仔细分析.四、疑难点与易错点例12.（2011四川南充市） 方程(x+1)(x2)=x+1的解是（ ）（A）2 （B）3 （C）1，2 （D）1，3 分析：本题考查解方程.学生容易在方程的两边同时除以（x
12、+1）而导致丢解.解：D评注：在解方程时，要注意不能随意在方程两边除以某个式子，应该先移项，化方程为一般式或是观察方程的特点选择合适的方法求解.例13.（2011贵州黔南）已知三角形的两边的长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A.11 B.13 C.11或13 D.11和13 分析：本题把三角形的三边关系与方程结合在一起解决问题.学生易忽略隐含条件：满足三角形的三边关系求出周长.解：B评注：仔细分析已知条件，可以求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断有意义的情况，舍去不合理的值，求出正确的解.例14（2011重庆江津）已知关于x的一元二次方程(a1)x22x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a2 C.a2且a1 D.a0时，一元二次方程有两个不相等的实根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数；当b2-4ac50，不合题意，舍去，x=5答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的周长为5米14.分析：（1）依题意，得矩形的长为40-2x.所以.根据矩形的长为正数，所以，所以.（2）假设能达到，来解方程，由于无解，所以不存在即不能达到.解：依题意，得矩形的长为40-2x.又，.（2）若能达到，则令y210.得.即.该方程无实数根.所以生物园的面积不能达到210平方米.（可先求矩形面积的最大值，再比较得结论）
中考数学第一轮复习一元二次方程及应用
