人教版九级上《第章一元二次方程》单元测试含解析

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1、第21章 一元二次方程一、选择题1有下列关于x的方程：ax2+bx+c=0，3x（x4）=0，x2+y3=0， +x=2，x33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程的有（）A2B3C4D52方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A2x2+4x+2=1Bx2+4x=1C2x2+4x+1=0D2x2+2x+1=03用配方法解方程x22x5=0时，原方程应变形为（）A（x+1）2=6B（x+2）2=9C（x1）2=6D（x2）2=94方程x2=x的解是（）Ax=1Bx=0Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=05下列方程中，一定有实数解的是（）Ax2+1=0B（2x+1）2=0C（2x+

2、1）2+3=0D（ xa）2=a6若关于x的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk57一元二次方程x24x+4=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定8已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7B10C11D10或11二、填空题9当方程（m+1）x2=0是一元二次方程时，m的值为10已知x2+x1=0，则3x2+3x9=11若一元二次方程ax2bx2016=0有一根为x=1，则

3、a+b=12若关于x的一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）13若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x27x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为14某公司在2014年的盈利额为200万元，预计2016年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2015年的盈利额为万元三、解答题15解方程：x21=2（x+1）16先化简，再求值：（ +4），其中x的值是方程x2+x=0的根17在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab=a2b2，根据这个规则：（1）求43的值；（2）求（x+2）5=0中x的值18已

4、知：关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解19如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽20已知关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）=0，其中a，b，c分別为ABC三边长（1）若方程有两个相等的实数根试判断ABC的形状，并说明理由；（2）若ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根21某商场销售一批童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定

5、适当降价据测算，每件童装每降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场每天要盈利1200元，且要让顾客有更多的实惠，则每件童装应降价多少元？22为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元2016年投入教育经费8640万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元23阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=，x1x2=这是一元二次方程根与系数的关系，我们

6、利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x3=0的两根，求x12+x22的值解法可以这样：x1+x2=6，x1x2=3则x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（6）22（3）=42请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x24x+2=0的两根，求：（1）的值；（2）（x1x2）2的值第21章 一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1有下列关于x的方程：ax2+bx+c=0，3x（x4）=0，x2+y3=0， +x=2，x33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程的有（）A2B3C4D5【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义得到在所给的方程中是一元

7、二次方程的有3x（x4）=0， x25x+7=0【解答】解：下列关于x的方程：ax2+bx+c=0，3x（x4）=0，x2+y3=0， +x，x33x+8=0， x25x+7=0其中是一元二次方程为3x（x4）=0， x25x+7=0故选A【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程2方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A2x2+4x+2=1Bx2+4x=1C2x2+4x+1=0D2x2+2x+1=0【考点】一元二次方程的一般形式【分析】利用完全平方公式把括号展开，化为ax2+bx+c=0的形式即可【解答】解：把方程左边两式相乘得2x

8、2+4x+2=1整理得，2x2+4x+1=0故选C【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，即一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式3用配方法解方程x22x5=0时，原方程应变形为（）A（x+1）2=6B（x+2）2=9C（x1）2=6D（x2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法【专题】方程思想【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：由原方程移项，得x22x=5，方程的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得

9、x22x+1=6（x1）2=6故选：C【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数4方程x2=x的解是（）Ax=1Bx=0Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：方程移项得：x2x=0，分解因式得：x（x1）=0，可得x=0或x1=0，解得：x1=1，x2=0故选C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌

10、握因式分解的方法是解本题的关键5下列方程中，一定有实数解的是（）Ax2+1=0B（2x+1）2=0C（2x+1）2+3=0D（ xa）2=a【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据非负数的性质和直接开平方法解方程进行判断【解答】解：A、由原方程得到：x2=10，故本方程无解；B、直接开平方得到：2x+1=0，由此可以求得x的值，故本方程有实数解；C、由原方程得到：（2x+1）2=30，故本方程无解；D、当a0时，本方程无解故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程6若关于x的一元二次方程

11、（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，即，解得：k5且k1故选B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是

12、关键7一元二次方程x24x+4=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程x24x+4=0中，=（4）2414=0，该方程有两个相等的实数根故选B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出=0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键8已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7B1

13、0C11D10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故选：D【点评】本题

14、考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了三角形三边的关系二、填空题9当方程（m+1）x2=0是一元二次方程时，m的值为1【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=1又因为m10，所以m1，于是m=1故答案为：1【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在

15、做题过程中容易忽视的知识点本题容易忽视的条件是m1010已知x2+x1=0，则3x2+3x9=6【考点】代数式求值【专题】计算题【分析】已知等式变形求出x2+x的值，原式变形后把x2+x的值代入计算即可求出值【解答】解：由x2+x1=0，得到x2+x=1，则原式=3（x2+x）9=39=6故答案为：6【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键11若一元二次方程ax2bx2016=0有一根为x=1，则a+b=2016【考点】一元二次方程的解【分析】由方程有一根为1，将x=1代入方程，整理后即可得到a+b的值【解答】解：把x=1代入一元二次方程ax2bx2016=0得：a+b20

16、15=0，即a+b=2016故答案是：2016【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程12若关于x的一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0（写出一个即可）【考点】根的判别式【专题】开放型【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围【解答】解：一元二次方程x2x+m=0有两个不相等的实数根，=14m0，解得m，故m的值可能是0，故答案为0【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b

17、24ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意本题答案不唯一，只需满足m即可13若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x27x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为5【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理【专题】压轴题【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长【解答】解：方程x27x+12=0，即（x3）（x4）=0，则x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4则矩形ABCD的对角线长是： =5故答案是：5【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质

18、，正确解方程求得矩形的边长是关键解一元二次方程的基本思想是降次14某公司在2014年的盈利额为200万元，预计2016年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2015年的盈利额为220万元【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】可通过设出营业额增长的百分率x，根据等量关系“2016年的营业额等于2014年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2015年的盈利额等于2014年的营业额乘（1+增长的百分率）【解答】解：设盈利额增长的百分率为x，则该公司在2015年的盈利额为2

19、00（1+x）；由题意得，200（1+x）2=242，解得x=0.1或2.1（不合题意，舍去），故x=0.1该公司在2015年的盈利额为：200（1+x）=220万元故答案为：220【点评】此题考查增长率的定义，同学们应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程去求解三、解答题15解方程：x21=2（x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】首先把x21化为（x+1）（x1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解【解答】解：x21=2（x+1），（x+1）（x1）=2（x+1），（x+1）（x3）=0，x1=1，x2=3【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次

20、方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x+1），此题难度不大16先化简，再求值：（ +4），其中x的值是方程x2+x=0的根【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程x22x=0的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可【解答】解：（ +4），=，=x+2x是方程x2+x=0的根，x1=0，x2=1，x0，当x=1时，原式=1+2=3【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键17在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab=a2b2，根据这个规则：（1）求43的值；（2）求（x+2）5=0中

21、x的值【考点】解一元二次方程-直接开平方法【专题】新定义【分析】（1）根据规则为：ab=a2b2，代入相应数据可得答案；（2）根据公式可得（x+2）5=（x+2）252=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可【解答】解：（1）43=4232=169=7；（2）由题意得（x+2）5=（x+2）252=0，（x+2）2=25，两边直接开平方得：x+2=5，x+2=5，x+2=5，解得：x1=3，x2=7【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解18已知：关于x的一元二

22、次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解【考点】根的判别式【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围（2）从上题中找到K的最大整数，代入方程后求解即可【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，0，即2241k0，解得：k1；（2）根据题意，当k=0时，方程为：x2+2x=0，左边因式分解，得：x（x+2）=0，x1=0，x2=2【点评】本题考查了根的判别式和因式分解法解方程的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等

23、的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根19如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40x）m，宽为（32x）m根据长方形面积公式即可求出小路的宽【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有（40x）（32x）=1140，整理，得x272x+140=0解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）答：小路的宽应是2m【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟

24、记长方形的面积公式另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键20已知关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）=0，其中a，b，c分別为ABC三边长（1）若方程有两个相等的实数根试判断ABC的形状，并说明理由；（2）若ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【考点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解【解答】解：（1）ABC是直角三角形，理由是：关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（

25、ac）=0有两个相等的实数根，=0，即（2b）24（a+c）（ac）=0，a2=b2+c2，ABC是直角三角形；（2）ABC是等边三角形，a=b=c，方程（a+c）x22bx+（ac）=0可整理为2ax22ax=0，x2x=0，解得：x1=0，x2=1【点评】此题考查了根的判别式，等边三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根；等边三角形的三边相等等21某商场销售一批童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商

26、场决定适当降价据测算，每件童装每降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场每天要盈利1200元，且要让顾客有更多的实惠，则每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】利用每件童装盈利平均每天售出的件数=每天销售这种童装利润列出方程，解答即可【解答】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利（40x）元，每天可售出（20+2x）件由题意得（40x）（20+2x）=1200，化简得x230x+200=0，解得x=20或x=10为了让顾客有更多的实惠，每件童装应降价20元答：若商场每天要盈利1200元，且要让顾客有更多的实惠，则每件童装应降价20元【点评】此题主要考查了一元二次方

27、程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润是解题关键22为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元2016年投入教育经费8640万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即

28、可；（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640（1+0.2），再进行计算即可【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2=8640解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去），答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为：y=8640（1+0.2）=10368（万元），答：预算2017年该县投入教育经费10368万元【点评】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若

29、设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b23阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=，x1x2=这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x3=0的两根，求x12+x22的值解法可以这样：x1+x2=6，x1x2=3则x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（6）22（3）=42请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x24x+2=0的两根，求：（1）的值；（2）（x1x2）2的值【考点】根与系数的关系【专题】阅读型【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x1+x2=4，x1x2=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值【解答】解：x1+x2=4，x1x2=2（1）（2）（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=4242=8【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是