高中数学立体几何中的向量方法(Ⅱ)-求空间角与距离

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1、8.7 立体几何中的向量方法（）-求空间角与距离一、填空题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为_解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案a2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，

2、.答案3两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是_解析 两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|n0|.答案4在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动

3、点，则直线NO、AM的位置关系是_ 解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案异面垂直6已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD_.解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设

4、DA1，由已知条件G，B，E，F，cos，0，则.答案908正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案309已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成

5、的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由已知条件A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为由令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案10如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹为_ 解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC，MP.

6、由MPMC得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分答案11已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设B，可得：P(，)再由cos APC可求得当时，APC最大故VPABC11.答案12P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abco

7、s 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案9013若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，8 3(6)，解得2或.答案2或二、解答题14. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长解析：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角

8、坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，(1,1,0)，(0,4t，t)设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos60|，即，解得t或t4(舍去，因为AD4t0)，所以AB.15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30

9、，BC1，A1A，M是CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求二面角B AMC的平面角的大小解析 (1)证明以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则B(1,0,0)，A(0，0)，A1(0，)，M.所以(1，)，.因为10()()()0，所以A1BAM.(2)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACB90，即BCAC，所以BC平面ACC1，即BC平面AMC.所以是平面AMC的一个法向量，(1,0,0)设n(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z

10、2.所以n(，2)因为|1，|n|2，所以cos，n，因此二面角B AMC的大小为45.16如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)(1)如果AEC1F，试证明B，E，D1，F四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由解析 (1)证明以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AEGFt. 则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(1,1,1t)，其中0t1.则(1,0

11、，t)，所以BEFD1.所以B，E，D1，F四点共面(2) (1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面BFE的法向量n(t，t1,1)，若直线A1B与平面BFE所成的角等于，则有sin，即，解得t0，所以点E存在，且坐标为E(0,0,0)，即E在顶点A处17如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)证明：ADCE；(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小解析 (1)证明取BC中点O，连接AO，则AOBC由已知条件AO平面BCDE，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，t)，D(1，0)C(1

12、,0,0)，E(1，0)，(1，t)(2，0)则0，因此ADCE.(2)作CFAD垂足为F，连接EF，则AD平面CEF从而EFAD则CFE为二面角CADE的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中，EF，cosCFE.二面角C-AD-E的余弦值为.18在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO.(1)若1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE平面CD1O，求的值解析(1)不妨设正方体的棱长为1，以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.则A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，(1)由题意知E.于是，(0，1,1)由cos，.所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.(2)设平面CD1O的法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，则E，.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因为平面CDE平面CD1O，所以mn0，得2.