数理方程分离变量法PPT课件

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1、下午8时5分1基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 一、有界弦的自由振动第1页/共82页下午8时5分2令( , )( ) ( )u x tX x T t代入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta X

2、x T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令2( )( )0( )( )0XxX xTta T t代入边界条件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1、 求两端固定的弦自由振动的规律第2页/共82页下午8时5分3( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特

3、征值相对应的非零解分情况讨论：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ， 为非零实数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl第3页/共82页下午8时5分4( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl第4页/共82页下午8时5分52222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn

4、an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xT ta T t22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl第5页/共82页下午8时5分601( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll1si

5、n)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2第6页/共82页下午8时5分7)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD

6、0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222第7页/共82页下午8时5分82 解的性质 x=x0时：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin驻波法 2n

7、lnlt=t0时：22nnnaflnnvfnllna 22Ta 00( , )cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 第8页/共82页下午8时5分9例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,10

8、0,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：第9页/共82页下午8时5分10 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10nnn10022nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX第10页/共82页下午8时5分11, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10si

9、n10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0) 0 ,(,1000)10() 0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX第11页/共82页下午8时5分12110sin)10sin10cos(nnnxntn

10、DtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu第12页/共82页下午8时5分13)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta

11、T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解问题第13页/共82页下午8时5分140,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nn

12、ln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX第14页/共82页下午8时5分15222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uua

13、xl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0,0(0)0,( )0XXxlXX l第15页/共82页下午8时5分161(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始条件第16页/共82页下午8时5分17)()

14、(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解问题解： 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为22nnxnBxXnnsin)(022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos第17页/共82页下午8时5分1811sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sin

15、cos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为第18页/共82页下午8时5分19lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)

16、()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu例4 求下列定解问题令代入方程：解：第19页/共82页下午8时5分20 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhX

17、lXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX第20页/共82页下午8时5分21lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0) 0 ,(),() 0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXl

18、xXX于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第21页/共82页下午8时5分22lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsi

19、n第22页/共82页下午8时5分23nmnmxxxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)cos()cos(210hl/tan第23页/共82页下午8时5分24二 有限长杆上的热传导222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTx

20、Xtxu2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu令带入方程：解：第24页/共82页下午8时5分25 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXXhl/tan, 3 , 2 , 1, 0nn2nnxBxXnnnsin)(由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为满足方程20Ta T220nnnTa T22na tnnTC ennnTXu 2 211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex

21、22sinna tnnC ex于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为)(sin)0 ,(1xxCxunnnnmnmxxxnlm00dsinsin0lmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCu第25页/共82页下午8时5分26lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXt

22、lutTXtu0)(, 0)0(lXX令代入方程：令例5 求下列定解问题解：xlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第26页/共82页下午8时5分2702TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222 2 22sina ntlnnnuC exl1sin)()0 ,(nnxlnCxxuxxlnxlClndsin)(20于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠

23、加原理，设原问题的解为第27页/共82页下午8时5分28lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(), 0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(lXX例6 求下列定解问题解：令第28页/共82页下午8时5分29 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX )(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinln

24、nxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn第29页/共82页下午8时5分30lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222xlnBXnncos, 2 , 1 , 0,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB000TXu 0)(, 0)0(00lXXlxXX于是得到一系列分离变量形式的特解第30页/共82页下午8时5分3110cos)()0 ,(

25、nnxlnCCxxuxxlCld )(100 xxlnxlClndcos)(20( )1x若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考100cos2222ntlnannnxlneCCuu这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为( ),10,10 xx al若001( )d2llCx xl022( )cosd2( 1)1()lnnnCxx xllln第31页/共82页下午8时5分32xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220TaT20XX22exp()T Aatsin,nlX

26、x )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分离变量流程图第32页/共82页下午8时5分33三 拉普拉斯方程的定解问题axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann第33页/共82页下午8时5分34a

27、xxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第34页/共82页下午8时5分35axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),

28、()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnnabnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe第35页/共82页下午8时5分3622220,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ), ( , )( ),0uuxaybxyuyu a yybxx

29、u xx u x bxxaXYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXxyauyYXxyu0)(, 0)0(aXX例7 求下列定解问题解：由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为xanBXnncos, 3 , 2 , 1 , 0,22nannn第36页/共82页下午8时5分37axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnncos, 3 , 2 , 1 , 0,22nannn0 YY0000DyCY0

30、Y00222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 000YXu 00000C yDBC yDxaneDeCyannyanncosxanBeDeCnyannyanncosxaneDeCDyCuunyannyannnn1000cos于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第37页/共82页下午8时5分38axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xaneDeCDyCunyannyann100cosxanDCDxxunn

31、n10cos)()0 ,(xaneDeCDbCxbxunabnnabnn100cos)(),(xxanxaDCnndcos)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndcos)(2a01dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaC1dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaDxxaDd )(1a00 xxaDbCd )(1a000 xxxabCd)(-)(1a00第38页/共82页下午8时5分39axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)

32、()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX例8 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为xanBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann第39页/共82页下午8时5分40axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCY11sin)(nyannyannnnxaneDeCuunnnYXu xaneDeCyan

33、nyannsin)(xanDxxunn1sin)()0 ,(xxanxaDandsin)(20于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为00),(nCxu第40页/共82页下午8时5分412 圆域内的拉普拉斯问题22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu1122222222

34、2cossinuuyuyuyusincosuu22211uu第41页/共82页下午8时5分4220),(),(20 , 01100222fuuu), 0(u)2,(),( uu)()(),(u0112 0112 21102 0 ),2()(, 0)()2()()(例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）)2()(周期特征值问题第42页/共82页下午8时5分430202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos022 n(欧拉方程) lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()(

35、)ddddPPPttt ),2()(, 0周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为, 2 , 1 , 0,22nnnnnBnAnnnsincos0)()(2 tnt, 2 , 1,)(,ln)(;, 2 , 1,)(,)(000000nDCDCneDeCttDCtnnnnnntnntnn第43页/共82页下午8时5分4420),(),(20 , 01100222fuuu, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos0ln000DC 0C02 nnnnnnDCnnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnE

36、CnBnAsincossincos1000sincos)(),(nnnnnFnEEfu222000000111( )d ,( )cosd ,( )sind2nnnnEfEfnFfn （由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第44页/共82页下午8时5分4520, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu)()(),(u0112 0112 21102 0 例10 求下列定解问题解：)2,(),( uu（周期性边界条件） ),2()(, 0)()2()()()2()(

37、周期特征值问题, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos第45页/共82页下午8时5分4620, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu02 欧拉方程 00002 ln000DC 02 n022 nnnnnnnnDC000unnnulnln00000FEDCAnnnnnnDCnBnAsincosnHGnFEnnnnnnnnsincos1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第

38、46页/共82页下午8时5分4720, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu0sincosln),(100nnnnnnnnnnaHaGnaFaEaFEau1sincosln),(100nnnnnnnnnnbHbGnbFbEbFEbu0ln00aFE0nnnnaHaG0nnnnaFaE1ln00bFE0nnnnbHbG0nnnnbFbEabaElnln0abFln10其他为零ababaulnlnlnlnabalnln第47页/共82页下午8时5分481, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3

39、/0, 1, 011222uuuuu), 0(u)()(),(u0112 0112 21102 0 0) 3/()0( 0)3/()0(3/0, 00)() 3/()()0(例11 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为, 3 , 2 , 1,922nnnnnBnn3sin（自然边界条件）第48页/共82页下午8时5分491, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3/0, 1, 011222uuuuunBnn3sin, 3 , 2 , 1,92nnn02 0922 nnnnnnnnDC33nnC3nnnu1313sinnnnnnnEuu13s

40、in6sin), 1 (nnnEu2, 0, 12nEEn66sinunnnnnnECnB333sin3sin（由自然边界条件）第49页/共82页下午8时5分50qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0 ,00,0),()0 ,(, 0),(), 0 ,(0,0, 0),(), 0(0,0 ,0,22222)()()(),(tTyYxXtyxuTYXYTXaTXY 2012 TTaYYXX XX YY)(12TTa0 XX0 YY0)(2TaT例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：0 XX0)()0(pXX由例1中的方法知，以上特征值问题的特征

41、值和特征函数分别为, 3 , 2 , 1,222npnnxpnBXnnsin0 YY0)()0(qYY, 3 , 2 , 1,222mqmmyqmCYmmsin第50页/共82页下午8时5分510)(2TaT0)(2222222mnmnTaqmpnTtaqmpnmnmneDT2222222)(mnmnmnTYXu2222222()sinsinnma tpqnmmnnmBx Cy D epq2222222()sinsinnma tpqmnnmExyepq2222222()1111sinsinnma tpqmnmnmnmnnmuuExyepq11( , ,0)( , )sinsinmnmnnmu

42、x yx yExypq004( , )sinsind dqpmnnmEx yxy x ypqpq 于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第51页/共82页下午8时5分52lxxxuttlututlxuxuatu0),()0 ,(0, 0),(), 0(0,0,222veutvexvaevetvetttt222222xvatv0), 0(), 0(tvetut)0 ,()0 ,(xvxu0), 0(tv0),(tlv)()0 ,(xxv0),(),(tlvetlut例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令第52页

43、/共82页下午8时5分53lxxxuttlututlxuxuatu0),()0 ,(0, 0),(), 0(0,0,222XTu XTTXaTX 2XXaTaT 2210 XX012 TaT0)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX 0)(, 0)0(0, 0lXXlxXX解法二：令由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为xlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nlnn第53页/共82页下午8时5分54lxxxuttlututlxuxuatu0),()0 ,(0, 0),(), 0(0,0,222xlnBXnnsin, 3 ,

44、2 , 1,2nlnn012222nnTlnaT012 TaTtlnanneAT22221nnnTXu 111sin2222ntlnannnxlneCuuxxlnxlClndsin)(20 xlneCtlnansin22221xlnBeAntlnansin22221)(sin)0 ,(1xxlnCxunn于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第54页/共82页下午8时5分5520(0)( )0,/ ,1,2,sinkkXXXX lkl kXx2120(0)( )0,()/ ,0,1,2,sinkkXXXX lkl

45、kXx2120(0)( )0,()/ ,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx20(0)( )0,/ ,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx常用特征值问题 ),2()(, 0周期特征值问题, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos第55页/共82页下午8时5分56四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt思考第56页/共82页下午8时5分572222222222( ,

46、 ),0,0,(0, )( , )0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)( ,0)( ),( )( ,0)0,0,WWVVaaf x txl ttxtxWtW l tVtV l ttW xV xW xxxV xxltt22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt( , )( , )( , )u x tV x tW x t由线性方程的叠加原理，令：第57页/共82页下午8时5分581( )sinnnnVv txl),(sin)(sin)(122221txfxlntvln

47、axlntvnnnn 1sin)(),(nnxlntftxfxxlntxfltflndsin),(2)(0112222sin)(sin)(nnnnxlntfxlntvlna0)()()(2222 tftvlnatvnnn22222( , ),0,0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)0,0,VVaf x txl ttxVtV l ttV xV xxlt令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法第58页/共82页下午8时5分591( )sinnnnVv txl0)()()(2222 tftvlnatvnnn1( ,0)(0)sin0nnnV xvxl1( ,0)(0)sin0nnV x

48、nvxtl0)0(nv0)0(nv)()(pVtvnn)()(pFtfnn)0()0()()(2nnnnvpvpVptv 0)()()(22222pFpVlnapVpnnn)(1)(22222pFlnappVnnktkpksin22tlananllnapsin122222)(sin)(tftlananltvnnd)(sin)(0tlanfanltn)(2pVpn用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题第59页/共82页下午8时5分60lxxutxtluxtutlxtxuatu0, 0)0 ,(0, 0),(), 0(0,0sin222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTa

49、T 2002 TaTXX例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题2220,0(0, )( , )0,0( ,0)0,0uuaxl ttxutu l ttxxu xxl0)()(),(0)()0(), 0(tTlXxtlutTXxtu 0)(, 0)0(00lXXlxXX, 2 , 1 , 0,2nlnnxlnBXnncos其特征值和特征函数为第60页/共82页下午8时5分61lxxutxtluxtutlxtxuatu0, 0)0 ,(0, 0),(), 0(0,0sin222, 3 , 2 , 1 , 0,cosnxlnBXnn0cos)(nnxlntvutxlntvlnatvnnnsin

50、cos)()(022220nttvsin)(0ttvcos11)(00n0)()(2222tvlnatvnn0)0(nv0)(tvntucos110cos)0()0 ,(0nnxlnvxuCttvcos1)(0tlnanCetv2222)(第61页/共82页下午8时5分62lxtxuxuttlututlxtlaxlxuatu0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0, 0),(), 0(0,02sin2sin22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX 0)(, 0)0(

51、0, 0lXXlxXX例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为, 2 , 1,/2nlnnxlnBxXnnsin)(第62页/共82页下午8时5分63lxtxuxuttlututlxtlaxlxuatu0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0, 0),(), 0(0,02sin2sin22222, 3 , 2 , 1,/2nlnnxlnBxXnnsin)(0sin)(nnxlntvutlaxlxlntvlnatvnnn2sin2sinsin)()(12222 0sin)0()0 ,(0nnxlnvxu0sin)0()0 ,(0nnxlnvtxu0)0(2v0)0(2 v2n0)()(222

52、2 tvlnatvnn0)(tvntlnaBtlnaAtvnsincos)(2ntlatvlatv2sin)(4)(22222 0)0(nv0)0(nv2n2n第63页/共82页下午8时5分64tlatvlatv2sin)(4)(22222 ktkpksin22tlalapla2sin)/2(/222)0()0()()(22222vpvpVptv )(2pVpn22222)/2(1)/2(/2)(laplaplapVtlatlaaltv2sin2sin2)(20)0(2v0)0(2 v用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题d)(2sin2sin20tlalaaltd)2(2cos2

53、cos40ttlatlaal)2cos2sin2(4tlattlaalalxltlattlaalalu2sin)2cos2sin2(41sin)(nnxlntvu2n0)(tvn第64页/共82页下午8时5分650|1,122222222yxuyxxyyuxu120),2()(,), 0(, 0), 1 (20 , 1,2sin21112222uuuu)()(),(u0112 0112 211 02 0 例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下： ),2()(, 0周期特征值问题, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos第65页/共82页下午8时5分660sin)

54、(cos)(nnnnBnAu 02222sincossin1cos1sincosnnnnnnnnBnnAnnBnAnBnA2sin2111222222uuu 02222sin1cos1nnnnnnnnBnBBnAnAA2sin2120122 nnnAnAA0122 nnnBnBB2n222222141 BBB非齐次方程的特征函数展开法0sin) 1 (cos) 1 (), 1 (0nnnnBnAu0) 1 () 1 (nnBA)0()0(nnBA第66页/共82页下午8时5分670nA0nB2n422222241DCB422241 C422412412sin)1 (24122uxyyx)1 (

55、12122第67页/共82页下午8时5分680|),(12222222222222byxayxuubyxayxyuxu22222221112(cossin)12cos2 ,02|0,02(0)(2 ),abuuabuuab )()(),(u0112 0112 21102 0 例16 求定解问题 ),2()(, 0周期特征值问题, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos第68页/共82页下午8时5分690sin)(cos)(nnnnBnAu 02222sincossin1cos1sincosnnnnnnnnBnnAnnBnAnBnA2cos1211222222uuu2co

56、s122 02222sin1cos1nnnnnnnnBnBBnAnAA222221241 AAA0122 nnnAnAA2n0122 nnnBnBB非齐次方程的特征函数展开法0sin)(cos)(),(0nnnnaBnaAau0sin)(cos)(),(0nnnnbBnbAbu0)()(aBaAnn0)()(bBbAnn第69页/共82页下午8时5分70422222DCA000( )lnACD( )nnnnnACD0nA2n0nB000( )lnBCD( )nnnnnBCD0)(422222aaDaCaA0)(422222bbDbCbA44662babaC22442babaD664422424

57、422( )aba bAabab 2cos42224424466babababau第70页/共82页下午8时5分71五 非齐次边界条件的处理lxxtxuxxuttutlutututlxtxfxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0),(),(),(), 0(0,0),(2122222( , )( , )( , )u x tV x tW x t)(), 0(1tutW)(),(2tutlW)()(),(tBxtAtxW)()(), 0(1tutBtW)()()(),(2tutBltAtlWltututA)()()(12)()()(),(112tuxltututxW解：首先要想办法将非齐次条

58、件齐次化。令取其中辅助函数满足第71页/共82页下午8时5分72lxxtxuxxuttutlutututlxtxfxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0),(),(),(), 0(0,0),(2122222,)0 ,()()0 ,(),0 ,()()0 ,(, 0),(, 0), 0(,),(2222222222txWxtxVxWxxVtlVtVtWxWatxfxVatV)()()(),(112tuxltututxW )0()0()0()()0 ,(),0()0()0()()0 ,(, 0),(, 0), 0(,112112112222222uxluuxtxVuxluuxxVtlVtV

59、uxluuafxVatV( , )( , )( , )u x tV x tW x t第72页/共82页下午8时5分73常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数)(),(),(), 0(21tutlututu)(),(),(), 0(21tutlututux)(),(),(), 0(21tutlututux)(),(),(), 0(21tutlututuxx)()()(),(112tuxltututxW)()(),(12tuxtutxW)()(),(21tulxtutxWxtuxltututxW)(2)()(),(1212以上方法适用于波动方程、热传

60、导方程和位势方程。第73页/共82页下午8时5分74lxtxuxlqxutqtlututlxpxuatu0, 0)0 ,(,)0 ,(0,),(, 0), 0(0,0,22222),(),(),(txWtxVtxuxlqtxW),(lxtxuxVttlVtVtlxpxVatV0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。第74页/共82页下午8时5分75lxxtxuxxuttutlutututlxtxfxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0),(),(),(), 0(0,0),

61、(2122222)(),(),(), 0(, 0),(2122222tutlWtutWtWxWatxf 212)(,)0(, 0)(ulWuWxfWa若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x)( , )( , )( , )u x tV x tW x t此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？)(), 0(1tutW)(),(2tutlW( , )( , )( , )u x tV x tW x t),0 ,()()0 ,(),0 ,()()0 ,(),()(),(), 0()(), 0(,),(212222222222xtW

62、xtxuxWxxutlWtutlutWtutVtWxWatxfxVatV若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!第75页/共82页下午8时5分76lxtxuxlqxutqtlututlxpxuatu0, 0)0 ,(,)0 ,(0,),(, 0), 0(0,0,22222)(),(),(xWtxVtxuWapxVatV 22222202 Wap0)0(WqlW)(BAxxapW222xapllqxap22222lxtxVlxaplxapxxVttlVtVtlxxVatV0, 0)0 ,(0,22)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222222例18

63、求下列定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。第76页/共82页下午8时5分77lxxluxututlututlxubxuatu0,)0 ,(0,),(, 0), 0(0,0,22112222)(),(),(xWtxVtxuWbWaVbxVatV222222 022 WbWa0)0(W1)(ulWxabxabBeAexW)()/sinh()/sinh()()/2sinh(11ablabxueeabluxabxab例19 求定解问题解：令lxablabxulxuxVttlVtVtlxVbxVatV0,)/sinh()/sinh()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,12212222

64、可以用分离变量法求解以上问题。第77页/共82页下午8时5分78lxxuttlututlxpxuatu0, 0)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)(),(),(xWtxVtxuWapxVatV 22222202 Wap0)0(W0)(lWBAxxapW222xaplxap22222lxxaplxapxWxVttlVtVtlxxVatV0,22)()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222222例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。第78页/共82页下午8时5分79lxxxuttlututlxxfxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0

65、), 0(0,0),(222)(),(),(xWtxVtxuWaxfxVatV 2222)(0)(2 Waxf0)0(W0)(lWBAxfaWx 0 02dd)(10)0( BW0dd)(1)(0 02 AlfalWl lflaA002dd)(1 lxflaxfaW002002dd)(dd)(1 lxflaxfaxWxVttlVtVtlxxVatVlx0,dd)(dd)(1)()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,0 020 0222222例21 求定解问题解：令第79页/共82页下午8时5分80定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题的步骤第80页/共82页下午8时5分81六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1. 存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2. 所有特征值均不为负。3. 任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4. 特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。第81页/共82页下午8时5分82感谢您的观看。第82页/共82页