一阶线性微分方程

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1、会计学1一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一、案例一、案例 溶液的混合溶液的混合 一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g的盐现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻容器中含盐量是多少？第1页/共26页解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变化率为ddxt盐流入容器的速度盐流出容器的速度 （1）盐流入容器的速度=2（g/L）5（L/min） =10(g/min)tx2503= (g/min)tx250盐流出容器的速度= （g/L）3（L/min）第2页/共26页d310d502xxt

2、t即 d310d502xxtt此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其导数都是一次的010tx由题意知初始条件为 由式（1）得 第3页/共26页 xQyxPy(1) 线性线性的微分方程称为一阶线性微分方程当Q(x)恒等于零时,方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程(1)非齐次微分方程 二、概念及公式的引出二、概念及公式的引出一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如第4页/共26页（一）一阶线性齐次微分方程的解法在方程(1)中，若 ，则( )0Q x d( )0dyP x yx（2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得d( )dyP xxy 第5页/共26页ln( )dlnyP xx

3、C 即 ()dP xxyCe这是齐次微分方程（2）的通解两边积分，得研究研究第6页/共26页（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易法”求得这种方法是将(1)的通解中的任意常数C，换为x的函数C(x)，即令( )d( )P xxyC x e第7页/共26页两边求导，得( ) d( ) dd( )( ) ( )dPxxPxxyC xeC x P xex将y、 的表达式代入方程(1)，得ddyx( ) d( )( )P xxC xQ xe第8页/共26页两边积分，得( ) d( )( )dP xxC xQ xexC将此式代入 ，便得非齐次线性微分方( )

4、 d( )P xxyC xe( ) d( ) d( )d)P xxP xxyeQ xexC (*) 方程 (1)的通解为第9页/共26页将通解公式(*)改写成两项之和为 ddddP xxP xxP xxyCeeQ x ex 齐次方程的通解非齐次方程的特解(3)第10页/共26页的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解，第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应第11页/共26页 三、进一步的练习 练习1案例的求解解 (1)求通解应用常数变易法，这里，我们直接应用公式(3).为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，

5、然后第12页/共26页33dd50 250 210dttttxeetC333222(502 )10 (502 ) d(502 )2(502 )tttCCtt32(502 )4100Ctt第13页/共26页（2）求特解 将初始条件 代入通解，得C=-22500010tx232100422500 2(502 )(g)xtt所以，在时刻t容器中的含盐量为第14页/共26页定律，知电流(单位：A)满足以下微分方程ddIREItLL练习2 RL电路 在一个包含有电阻R(单位： )，电感L(单位：H)和电源E(单位：V)的RL串联回路中，由回路电流第15页/共26页 若电路中电源 V,电阻10 ,电感0.

6、5H和初始t 2sin3解 （1）建立微分方程这里 ,R=10,L=0.5,将其代入RL电路中电流tE2sin3d206sin2dIItt应满足的微分方程，得初始条件为 06tI电流6A，求在任何时刻t电路中的电流第16页/共26页（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得通解2020(6sin 2 )dtdtIet edtC20206sin2ttetedtC20303sin2cos2101101tCettCbxbbxaebaxbxeaxaxcossin1dsin22第17页/共26页（3）求特解将t=0时,I=6代入通解，得 20 03036sin 2 0cos 2 01011

7、01Ce（）（）解之，得 609101C 第18页/共26页所以，在任何时刻t的电流为 20609303sin2cos2101101101tIett第19页/共26页练习3 RC回路 在一个包含有电阻R(单位： ),电容C(单位：F)和电d1dqEqtRCR源E(单位：V)的RC串联回路中,由回路电流定律,知电容上的电量q(单位：C)满足以下微分方程第20页/共26页电路中的电流解 （1）建立微分方程，我们先求电量q.因为400cos2 ,100,0.01Et RC代入RC回路中电量q应满足的微分方程，得d4cos2dqqtt初始条件为 .00tq0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t

8、若回路中有电源 V,电阻100 ，电容400cos2t第21页/共26页（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得 84sin2cos255tqCett将t=0,q=0代入上式，得0840sin 2 0cos 2 055Ce（）（）第22页/共26页解之，得 45C 于是484sin2cos2555tqett 再由电流与电量的关系 ，得ddqIt4168cos2cos2555tIett研究研究第23页/共26页 四、实训四、实训1曲线方程 已知一曲线过原点，它在点任意点(x,y)处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程 。2. RL电路 在一个RL电路中，电阻为12欧姆，感应系数为4亨利，如果电池提供60V的电压，当t=0时开关合上，电流初值为I(0)=0.求:(1)I(t); (2)1s后的电流。第24页/共26页3. 电路中的电流在上题中，用发电机代替电池，电阻和感应系数不变，发电机产生的电压为E(t)=60sin30t V，求I(t).4. RC回路一个RC回路中有电源100V，电阻5电容0.02F和最初有5C电量的电容，求在任意时刻t，电容上的电量和电路中的电流.第25页/共26页