麦克斯韦气体分子速率分布律课件

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1、第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律1 如果在一容器内有如果在一容器内有N个理想气体分子，其平均平动个理想气体分子，其平均平动动能为动能为实际情况是，气体速率不完全相同。可以认为是从实际情况是，气体速率不完全相同。可以认为是从 0 0 之间的任意值。之间的任意值。kTmt23212v问题问题1：是否说明容器内的气体具有相同的速率？：是否说明容器内的气体具有相同的速率？问题问题2：各个速率区间的气体分子数相等吗？：各个速率区间的气体分子数相等吗？实验证明，容器内气体在各个速率区间的分子数是不实验证明，容器内气体在各个速率区间的分子

2、数是不同的，有的速率区间的分子数多些，有的少些。同的，有的速率区间的分子数多些，有的少些。问题问题3：容器内：容器内N个分子的速率分布有什么规律？个分子的速率分布有什么规律？第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律2 对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大量分子从整体上会出现一些统计规律。量分子从整体上会出现一些统计规律。 按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率区间内分子数占总分子数的百分

3、比，表示分子按速率的分布规律。速率的分布规律。一、速率分布函数一、速率分布函数1. .将速率从将速率从 0 0 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。 1859年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克韦速度分布律，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。斯韦速率分布律。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律32. .总分子数为总分子数

4、为NN，在，在 vv v区间内的分子数为区间内的分子数为 NNv例如速率间隔取例如速率间隔取100m/s ，101200m/s的分子数为的分子数为 NNv2 2出现的概率为出现的概率为 任一速率区间内分子出现的概率为任一速率区间内分子出现的概率为所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。NN1vNN2vNNvi1. .将速率从将速率从 0 0 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。一、速率分布函数一、速率分布函数0100m/s的分子数为的分子数为 NNv1 1出出现的概率为现的概率为第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦

5、克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律4 若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将速率区间尽可能取小，当速率区间尽可能取小，当 v00时，即取时，即取d dv为分子速为分子速率区间，其相应分子数为率区间，其相应分子数为dNv。这概率在各速率区间是不同的，它应是速率这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，的函数，并且与区间的大小并且与区间的大小d dv成正比成正比其中其中 f f( (v) ) 称为称为分子的速率分布函数分子的速率分布函数。vvvd)(dfNN则任一速率区间（则任一速率区间（vvdv）间内的分子出现的概率）间内的

6、分子出现的概率为为NNvd第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律5分子的速率分布函数分子的速率分布函数: :vvvdd)(NNf速率在速率在 v 附近的单位速率区间内的附近的单位速率区间内的分子数占分子分子数占分子总数的百分比。总数的百分比。或：在某一速率区间（或：在某一速率区间（vvd dv）间内的分子出现的）间内的分子出现的概率（概率（概率密度概率密度）。）。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律6分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数分子总数dNv 为速率在为

7、速率在 v vdv 区间的分子数区间的分子数.ovvvv dSdNNSvdd表示速率在表示速率在v vdv 区间的分子数区间的分子数占总数的百分比占总数的百分比 .vvvdd)(NNf单位速率区间单位速率区间分子的百分比分子的百分比)(vf速率分布函数速率分布函数第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律7kTmekTmf222/3224)(vvvT T：气体热力学温度；：气体热力学温度；二、麦克斯韦速率分布规律二、麦克斯韦速率分布规律o)(vfv 对于不同气体有不同的分布函数。对于不同气体有不同的分布函数。18601860麦克斯韦首

8、麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布曲线分布曲线mm：一个气体分子的质量；：一个气体分子的质量；k k：玻尔兹曼常量：玻尔兹曼常量. .第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律82. .曲线下宽度为曲线下宽度为 d dv 的的小窄条面积就等于在小窄条面积就等于在该速率区间内分子出该速率区间内分子出现的概率现的概率vvvdfNdN)(vd)(vfo)(vfv3.3.在在v vv速率区间速率区间内分子出现的概率内分子出现的概率vvvvvvv

9、vvd)(fNN1. 1. f f( (v)v曲线曲线讨论讨论: : v0 0时，时， f f( (v) )0 0 v时，时，f f( (v)0)0第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律94. .在整个曲线下的面积为在整个曲线下的面积为 1（ 归一化条件）。归一化条件）。00dddd)(vvvvvNNf分子在整个速率区分子在整个速率区间内出现的概率为间内出现的概率为 1(100%) 。NNN0d11NNo)(vfv5. .可以看出，按麦克斯可以看出，按麦克斯韦速率分布函数确定的韦速率分布函数确定的速率很小和速率很大的速率很小和速率

10、很大的分子数都很少，且有一分子数都很少，且有一个速率分布概率极大值。个速率分布概率极大值。pv第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律10 利用麦克斯韦速率利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速分布率可计算最概然速率、方均根速率、平均率、方均根速率、平均速率等物理量。速率等物理量。1. .最概然速率最概然速率 vP P最概然速率也称最概然速率也称最可几速率，表示在最可几速率，表示在该速率下分子出现的该速率下分子出现的概率最大。概率最大。pvo)(vfv将将 f f( (v ) ) 对对 v 求导，令一次导数为求导，令一次导数为 00d

11、)(dvvf三、三种统计速率三、三种统计速率第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律110)(vvddfkTme2/22vv0222/22kTmekTmvvvkTmekTmf222/3224)(vvv0212kTmvmkTmkTp41. 12v最概然速率最概然速率第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律12讨论：讨论： vp p与温度与温度T T 的关系的关系mkTp2vpTv 曲线的峰值右移，由曲线的峰值右移，由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值降低。变，所

12、以峰值降低。12TT1pvo)(vfv2pv1T2T最概然速率最概然速率参考课本参考课本P197P197图图7-97-9（NN2 2气体的速率分布曲线）。气体的速率分布曲线）。第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律13pmv 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值升高。变，所以峰值升高。12mm1m vp p与分子质量与分子质量mm的关系的关系1pvo)(vfv2pv2m讨论：讨论：mkTp2v最概然速率最概然速率第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分

13、布律麦克斯韦气体分子速率分布律14由由ANRk mkTp2v和和mNMAAmNRT2MRT2MRT41. 1mkTmkTp41. 12v最概然速率最概然速率有有即即讨论：讨论：MRTmkTp22v第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律15假设：速度为假设：速度为v1 1的分子有的分子有 NN1 1个，个， 速度为速度为v2 2的分子有的分子有 NN2 2 个，个，则平均速率为：则平均速率为：NNNNnnvvvv22112. .平均速率平均速率vniiiNN1v三、三种统计速率三、三种统计速率0d)(vvvfNNN0dvv NN00

14、第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律16代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：0322/3224vvvvdekTmkTm设设 2kTma032/32/324vvvvdeaa则则2. .平均速率平均速率v0d)(vvvvf第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律17利用积分公式利用积分公式230212adxexax22/32/1214aava2mkT8MRTMRTmkT59. 188v得：得：032/32/324vvvvdeaa由由AN

15、Rk 和和mNMA平均速率平均速率第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律183. .方均根速率方均根速率2rmsvv三、三种统计速率三、三种统计速率mkT32rmsvvkTm23212vMRTmkT332rmsvv由由ANRk 和和mNMA得：得：第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律19pv2vv4. .三种速率的比较：三种速率的比较：mkT8vMRT8MRT3MRT2l气体的三种速率都与成正比，与（或气体的三种速率都与成正比，与（或 ）成反比。成反比。TmMmkT

16、32vmkTp2vo)(vfvl数值上，最大；次之；最小。数值上，最大；次之；最小。2vvpv第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律20pv2vv4. .三种速率的比较：三种速率的比较：mkT8vMRT8MRT3MRT2mkT32vmkTp2vo)(vfv应用：应用：最概然速率最概然速率 表征了气体分子按速率分布表征了气体分子按速率分布的特征；平均速率的特征；平均速率 运用于气体分子的碰撞；方运用于气体分子的碰撞；方均根速率均根速率 用于计算分子的平均平动动能。用于计算分子的平均平动动能。pvv2v第七章第七章 气体动理论气体动理

17、论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律21表示在速率表示在速率v1 1v2 2速率区间内，速率区间内，分子出现的概率。分子出现的概率。表示在速率表示在速率v1 1 v2 2速率区间内，速率区间内，分子出现的个数。分子出现的个数。NNdf21vvvv)() 3(NdNfvv21vv)() 4(NNdfd)() 1 (vv表示在速率表示在速率v附近，附近，d dv 速率区间速率区间内分子出现的概率。内分子出现的概率。表示在速率表示在速率v附近，附近，d dv速率区间速率区间内分子的个数。内分子的个数。dNdNfvv)() 2(补充例题：补充例题：试说明下列各式的物理

18、意义。试说明下列各式的物理意义。 ,)() 2(vv dNf ,)() 3(vv21vvdf ,)() 4(vv21vvdNf,)() 1 (vv df第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律22麦克斯韦在麦克斯韦在 1860 年年从理论上预言了理想气从理论上预言了理想气体的速率分布律。体的速率分布律。60 年年后，也就是后，也就是 1920 年斯特年斯特恩通过实验验证了这一恩通过实验验证了这一规律，后来密勒和库将规律，后来密勒和库将实验进一步完善。实验进一步完善。 麦克斯韦速率分布律的实验麦克斯韦速率分布律的实验验证验证 第七章第

19、七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律23实验装置实验装置通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符，通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符，但密度大的情况不符合。但密度大的情况不符合。LLvv2LHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律24根据根据实验实验数据列表数据列表分布表分布表在在0 0时氧气分子速率的分布情况时氧气分子速率的分布情况速率区间速率区间（m/s）分子数出现的概率分子数出现的概率N/N100以下

20、以下100200200300300400400500 500600 600700 700800 800900900以上以上 0.0140.0810.1650.2140.2060.1510.0920.0480.0200.009可以看出：低可以看出：低速和高速运动的分速和高速运动的分子较少，多数分子子较少，多数分子以中等速率运动。以中等速率运动。对于任何温度对于任何温度下的任一气体，大下的任一气体，大体上都是如此。体上都是如此。本节本节结束结束第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律25第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6

21、麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律26麦克斯韦是麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、世纪英国伟大的物理学家、数学家。数学家。1831年年11月月13日生于苏格兰的爱丁堡，日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡岁时进入爱丁堡中学学习，中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习年进入爱

22、丁堡大学学习数学和物理。数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数年转入剑桥大学三一学院数学系学习。学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学年选为伦敦皇家学会会员。会会员。 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律27 1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著电磁学的研究成

23、果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁论电和磁，并于，并于1873年出版。年出版。1871年受聘为剑年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到室的第一任主任，直到1879年年11月月5日在剑桥逝世。日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。伟大的综合之一。