线性映射与线性变换学习教案

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1、会计学1线性映射线性映射(yngsh)与线性变换与线性变换第一页，共83页。3维空间的线性变换第2页/共83页第二页，共83页。2.1 线性映射及其矩阵(j zhn)表示定义(dngy)1 设V1，V2是数域P的两个线性空间，A 是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP ，都有 A(+)= A ()+ A () A (k)=k A ()则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。第3页/共83页第三页，共83页。线性映射与变换(binhun)的举例由数k决定(judng)的数乘变换： 事实上， , ,VmP (),KkkkKK .K

2、mkmmkmK单位(dnwi)变换(恒等变换)：零变换：I :VV:I ()= ,VO :VV:O ()=0 ,VK:VV:K()= k ,V第4页/共83页第四页，共83页。线性映射(yngsh)与变换的举例线性空间(kngjin)Pxn的微分运算是线性变换.I (f(x)=f(x)，f(x) Pxn线性空间(kngjin)Ca，b 的积分运算是线性变换.作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I (A)=detA，A P nn不是线性映射。第5页/共83页第五页，共83页。定理1 设A 是线性空间(kngjin)V1到V2的线性映射，则

3、 (1) A (0)=0, (2) A (-)=-A () (3)若1, 2 m 是V1的一组向量，k1, k2,kmP,有A (k11+ k22 +km m)=k1A (1)+ k2A (2)+km A (m) (4)若1, 2 m 是V1的一组线性相关向量，则A (1),A (2), , A (m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时， V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射(yngsh)的性质第6页/共83页第六页，共83页。定理(dngl)2 设A ,B 是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1， 2， n是V1的一组基，并且A (i)=B (i)(i=1,2n),则

4、A = B.注：定理2说明(shumng)线性映射由基像组唯一确定第7页/共83页第七页，共83页。2. 线性映射(yngsh)的运算(1)设 A,B 都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为: (A+B)()= A()+B()，任意(rny)的 V1。 (2)设 A是V1到V2的线性映射,B 是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)()= B(A()，任意(rny)的 V1.(3)设 A是V1到V2的线性映射, kP，定义k与A的数量乘积kA为:(kA) ()=kA()，任意(rny)的 V1第8页/共83页第八页，共83页。线性映射的加法适合(shh)交换律和结合律，线性

5、运算的乘法适合(shh)结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。第9页/共83页第九页，共83页。3. 线性映射的矩阵(j zhn)表示 是 的基, 是 的基. 设 是线性映射(yngsh)，12,n 21:VVT1Vm ,212V 记: 则存在唯一(wi y)的 使得: )(,),(),(,(2121nnTTTT ,nmPA 称矩阵A为线性映射T在基 与基 下的矩阵m ,21n ,21ATmn),(),(2121 第10页/共83页第十页，共83页。矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1

6、到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应(duyng)，且这种对应(duyng)保持加法和数乘两种运算。L(V1,V2)与Pmn同构。注：第11页/共83页第十一页，共83页。11221212 , ( ) ,nmnmaaaaxT xaa 定理(dngl)7 设T为V1到V2的线性映射， ,1Vx 则:1122 mnaaaa A aa ,21n 称为线性映射在基 与基下的坐标变换公式12,m 第12页/共83页第十二页，共83页。例1 设V1=Rxn，V2=Rxn-1，取线性映射(yngsh)T：V1V2 T( f (x)=f (x) , f (x) R x n，求T 在Rxn的一组基1,x,xn-

7、1与Rxn-1的基1,x,xn-2下的矩阵D第13页/共83页第十三页，共83页。D( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1D( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1 解 在R x n中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，则第14页/共83页第十四页，共83页。D( 1, 2 , n)=(1, 2 n-1)nnnn )1(10000020000020000010即于是(ysh)D在基1，x, xn-1与1，x,

8、 xn-2下的矩阵为D=nnnn )1(10000020000020000010第15页/共83页第十五页，共83页。nn)1(010000010000010另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x, xn-1与1，2x, (n-1)xn-2下的矩阵(j zhn)为D=说明同一个线性映射(yngsh)在不同基下的矩阵不同第16页/共83页第十六页，共83页。定理8 设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射， 1, 2, n和 是V1的两组基,由1, 2, n 到 的过渡矩阵是Q ， 和是V2的两组基。由 到 的过渡矩阵是P， A在基 与基

9、 下的矩阵为A，而在基 与基 下的矩阵为B，则n ,21n ,21m ,21m ,21m ,21m ,2112,n m ,21n ,21m ,21B=P-1AQ，（称A与B相抵）第17页/共83页第十七页，共83页。第18页/共83页第十八页，共83页。例1 对每个x=(1, 2, 3)R3,定义变换 T (x)=(1, 2,0)则变换T 是线性空间(kngjin)R3上的线性变换（称为投影变换）第19页/共83页第十九页，共83页。定理(dngl)1 设T 是线性空间V上的线性变换，则 (1) T(0)=0, (2) T (-)=- T () (3)若1, 2 m 是V的一组向量，k1, k

10、2,kmP,有T (k11+ k22 +kmm)=k1T(1)+ k2T(2)+kmT (m) (4)若1, 2 m 是V的一组线性相关向量，则T(1), T (2), , T (m)也线性相关，当且仅当T 是一一映射时， V中线性无关向量组的像也线性无关。线性变换的基本(jbn)性质第20页/共83页第二十页，共83页。 L (V,V )表示线性空间V 上的所有线性变换的集合(jh)，对任意的T,T1,T2L(V,V ), V,定义则可以(ky)验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.211

11、2()( )( )( );TTTT ()( )( );kTTk （1）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法(chngf)：T1T2()=T1(T2()线性变换的运算第21页/共83页第二十一页，共83页。第22页/共83页第二十二页，共83页。线性变换的矩阵(j zhn)用矩阵(j zhn)表示即为 ATTTTnnn),()(),(),(),(212121 设1,2,n为数域P上线性空间V的一组基， T为V上的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 22112222112212211111)()()(第23页/共83页第二十三

12、页，共83页。其中 111212122212,nnnnnnA 矩阵(j zhn)A称为线性变换T在基下的矩阵(j zhn). 12,n 第24页/共83页第二十四页，共83页。单位变换在任意(rny)一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意(rny)一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换(binhun)在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵； A的第i 列是 在基 下的坐标，它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的. 12,n )(iT 注：第25页/共83页第二十五页，共83页。线性变换运算(yn sun)与矩阵运算(yn sun)定理(dngl)1 设 为数域P上线性空间V的一组12,n

13、的唯一一个矩阵对应，且具有以下(yxi)性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中n nP 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.L(V,V)与Pnn同构；第26页/共83页第二十六页，共83页。例2 设线性空间(kngjin) 的线性变换为 求在自然(zrn)基底下的矩阵. 123, 解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 1231212(

14、,)(,)x xxx xxx 3R ()=第27页/共83页第二十七页，共83页。定理2 设T是n维线性空间V的线性变换， 和 是V的两组基,由 到 的过渡矩阵是P ，T在基 与基 下的矩阵分别为A和B，则12,n n ,2112,n n ,2112,n n ,21B=P-1AP，（称A与B相似）在两组基下所对应(duyng)的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作(kn zu)同一线性变换 线性变换在不同(b tn)基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示第28页/共83页第二十八页，共83页。设B=P -1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB

15、;(3)A与B的特征值相同(xin tn)和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充(bchng):相似矩阵的性质第29页/共83页第二十九页，共83页。123()( 5,0,3)()(0, 1,6),()( 5, 1,9) 例3 在线性空间 中，线性变换定义(dngy)如下：3R 123( 1,0,2),(0,1,1)(3, 1,0) 其其中中（1）求 在标准(biozhn)基 下的矩阵.123, （2）求在下的矩阵.123, 解：(1)由已知，有P),(012110301),(),(321321321 第30页/共83页第三十页，共83页。123123(,)(,)A 设

16、 在标准基 下的矩阵为A，即123, 即： 为过渡(gud)矩阵，又1231235 05(,)(,)011 ,369 012110301P所以(suy)(1, 2, 3)= (1, 2, 3 )P)= (1, 2, 3 )P= (1, 2, 3 )AP第31页/共83页第三十一页，共83页。因而(yn r)， 963110505AP)24182725420205(719631105051 PA第32页/共83页第三十二页，共83页。11 035 050 110112 10369B 23 51 011 10 设在1, 2, 3下的矩阵(j zhn)为B，则B=P-1AP（2）求在1, 2, 3下

17、的矩阵(j zhn).第33页/共83页第三十三页，共83页。 定义1 设T是数域P上的线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素，V中都存在(cnzi)一个非零向量 ，使得 T()= 那么称为T的一个特征值，而 称为 T的属于特征值 的一个特征向量。 2.4 特征值和特征向量第34页/共83页第三十四页，共83页。由此可得： 是线性变换T的特征值，则是对应(duyng)矩阵A的特征值. 是 线性变换T的属于 的特征向量，则 是矩阵A的属于 的特征向量. 设V是数域P上的n 维线性空间(kngjin)，V中取定一组基1 ,2 ， n.设线性变换T在这组基下的矩阵是 A，向量在这组基下

18、的坐标是x,那么我们有 T()=Ax=x第35页/共83页第三十五页，共83页。 因此，只要将矩阵A的全部特征值求出来，它们(t men)就是线性变换T的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们(t men)为坐标的向量就是线性变换T的属于 的全部特征向量。 第36页/共83页第三十六页，共83页。例1 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换， 在 V的一个自然(zrn)基下的矩阵是求线性变换T的全部特征值与特征向量。解： 的特征多项式为222214241A A第37页/共83页第三十七页，共83页。所以(suy) 的特征值是3（二重）与-6。 对于特征

19、值 3，解齐次线性方程组得到一个基础解系： 1=-2 1 0T, 2=2 0 1T,A(3)0IA X2222214241(3) (6)IA于是 T属于 3的全部(qunb)特征向量是 k11+ k22,k1,k2P这里 为数域 P中不全为零的数对。12,k k第38页/共83页第三十八页，共83页。 对于特征值-6 ，解齐次线性方程组得到一个(y )基础解系： 3=1 2 -2T( 6)0IA X于是T的属于-6的全部(qunb)特征向量 k3,kP这里k为数域P中任意非零数。第39页/共83页第三十九页，共83页。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵A的属于特征值0的全部特

20、征向量再添上零向量，可以组成V的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值0特征子空间，记为V0 ，不难看出 V0 正是特征方程组 (0I-A)X=0的解空间。显然，V0的维数是属于0的线性无关(wgun)特征向量的最大数目，称dim(V0 )为特征值0的几何重数.（2） V0属于不同特征值的特征向量是线性无关(wgun)的。 第40页/共83页第四十页，共83页。（3） 设1, 2, r, 是A的r个互不同的特征值， i 的几何重数为qi, ，i1, i2, iqi, 是对应于i的qi 个线性无关(wgun)的特征向量，则所有这些特征向量 11, 12, 1q1, 21, 22, 2q2, r1,

21、 r2, rqr,仍然是线性无关(wgun)的。第41页/共83页第四十一页，共83页。由代数基本定理(dngl)知，n阶矩阵A在复数域内恰有n个特征值1,2, n，其中i作为特征方程的根的重数，称为i的代数重数,记为mi (A)，矩阵A的特征值的全体称为A的谱，最大特征值的模称为A的谱半径，记为(A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。 (5) A是 n阶矩阵，其特征值为1,2, n，则 |),(AAtriinini 11第42页/共83页第四十二页，共83页。定义1 数域 P上的n维线性空间V的一个线性变换T 称为可以对角化的，如果V中存在一组基，使得(sh de)T在这个

22、基底下的矩阵为对角矩阵。定义2 如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。(单位矩阵只和自己相似) 2.5 矩阵(j zhn)的相似对角形第43页/共83页第四十三页，共83页。定理1 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；定理2 若n阶矩阵A有n个互异(h y)的特征值，则A是可对角化的。（注：不是充要条件）定理3 n阶矩阵A可对角化的充要条件每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 第44页/共83页第四十四页，共83页。例1 判断(pndun)矩阵是否可以对角化？ 解： 先求出A的特征值311201112A23112111212()()IA 第45页/共83

23、页第四十五页，共83页。于是A的特征值为 （二重）由于 是单的特征值，它一定对应一个(y )线性无关的特征向量。下面我们考虑121,211222111111221001110000IA 于是 从而不相似(xin s)对角矩阵。22-21rank,（）IAqn第46页/共83页第四十六页，共83页。例2 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换， 在 V的一个基1, 2, 3 下的矩阵是判断(pndun)线性变换T是否可对角化。222214241A 解： 根据(gnj)上一节例1的讨论可知 T有3个线性无关的特征向量:1122132,2 312322第47页/共83页第四十七页，共8

24、3页。由基 到基 的过渡矩阵(j zhn)是于是有123, 123, 221102012P1P APB300030006B因此(ync)，T可以对角化，T在这组基下的矩阵是第48页/共83页第四十八页，共83页。定义1 设T是数域P的线性空间(kngjin)V上的线性变换 ,W是V的子空间(kngjin)。如果对任意向量 都有 ，则称W是T的不变子空间(kngjin)。W ( )TW 2.6 线性变换的不变子空间(kngjin)*（Invariant subspace）第49页/共83页第四十九页，共83页。定义(dngy)2 设T 是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令R(T)=Im(T

25、)=T(a)|aVKer(T )=N(T)=aV|T( a)=0称R(T)是线性变换T的值域，而Ker(T)是线性变换的核。R(T)的维数称为(chn wi)T的秩，Ker(T)的维数称为(chn wi)T的零度。线性变换的值域与核第50页/共83页第五十页，共83页。定理1 设T是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令T 在V的一组基1,2,n下的矩阵(j zhn)表示为A，则（1）R(T)和Ker(T )都是V的子空间；（2）R(T)=span(T(1),T(2),T(n) （3）rank(T)=dim(R(T)=rank(A) （4）dim(R(T )+dim(Ker(T )=n第51

26、页/共83页第五十一页，共83页。证明（1）显然R(T )是V的非空子集，对任意(rny)T(),T() R(T )，kP 有 T()+T()=T(+) R(T ) kT()=T(k) R(T )所以R(T )是V的子空间 又T(0)=0,所以Ker(T )是V的非空子集,对任意(rny), Ker(T )，kP T(+)=T()+T()=0Ker(T ) T(k)=kT()=0Ker(T )所以Ker(T )是V的子空间 第52页/共83页第五十二页，共83页。例1 设线性变换 T在4维线性空间(kngjin)V的基1, 2, 3,4 下的矩阵为1021121312552212 1234,A

27、 （2）求Im(T )的一组基;（1）求Ker(T ) 的一组基;第53页/共83页第五十三页，共83页。解（1）对任意(rny)1 144( )xxKer T有0=T()=T (x13+x44)1144()()x Tx T14( (), ()TTx 14(,)xA 因此(ync)AX=0,对A做初等变换102110211021121302340234125502340000221202340000 1234,A 第54页/共83页第五十四页，共83页。解得其基础(jch)解系12( 4, 3,2,0) ,( 1, 2,0,1)TT 则 的基为( )Ker T112341123(,)432,

28、212342124(,)2. 第55页/共83页第五十五页，共83页。（2）由于(yuy)31241232,22从而(cng r)这说明(shumng)Im(T)=span(T1, T2,T3,T4)= span(T1,T2)3143(,)T 4122TTT14121233(,)(2)222TT第56页/共83页第五十六页，共83页。例2 线性空间(kngjin) 和零子空间(kngjin) 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间(kngjin)。 VTV 例3 线性空间(kngjin)V上的线性变换T的值域Im(T)和核Ker(T) 都是V的不变子空间(kngjin)。 第57页/共83页

29、第五十七页，共83页。例4 线性空间V上的线性变换T的对应于某个特征值 的所有特征向量(xingling)加上零向量(xingling) 组成的集合|( ),Vx T xx xV 也是 的子空间(kngjin)，称为 的特征子空间(kngjin)(eigenspace) 。进一步， 也是 的不变子空间(kngjin)。V TTV第58页/共83页第五十八页，共83页。定理(dngl)2 线性变换T的不变子空间的交与和仍然是T的不变子空间。定理(dngl)3 设线性空间V的子空间W=span1, 2, m，则W是线性变换T的不变子空间的充要条件是T(i)W(i=1,2,m)第59页/共83页第五

30、十九页，共83页。定理(dngl)4 线性空间V上的线性变换T有非平凡的不变子空间的充要条件是T在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如111222AAOA有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么(shn me)特殊形式呢？第60页/共83页第六十页，共83页。定理5 线性空间V上的线性变换T在V的一组基下的矩阵表示为块对角(du jio)矩阵的充要条件是V可以分解为T的若干个非平凡不变子空间的直和。不变子空间是特征值的根子空间定理6维线性空间 上的线性变换 在 的某个基下的矩阵表示为对角矩阵 的是 可以分解为 的 个一维特征子空间的直和 V= V1 V2Vn这里 为T的两两不同的特

31、征值。12,ndiag 12,n 第61页/共83页第六十一页，共83页。线性变换T的矩阵化简为一个块对角(du jio)矩阵（对角(du jio)矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。第62页/共83页第六十二页，共83页。定义：设A 为一个(y )n 阶复矩阵，如果其满足 AAH=AHA=I则称A是酉矩阵，一般记为AUnn。 设A为一个(y )n 阶实矩阵，如果其满足 AAT=ATA=I则称A 是正交矩阵,一般记为AEnn。 2.7 酉变换(binhun)与酉（正交）矩阵Unitary transformation and Unitary matrix（Orthogonal

32、 matrix）第63页/共83页第六十三页，共83页。例122022(1)10022022是一个(y )正交矩阵是一个(y )正交矩阵 cossinsincos)2(第64页/共83页第六十四页，共83页。是一个(y )酉矩阵 cos0sin010sin0cos)3(ii第65页/共83页第六十五页，共83页。酉矩阵(j zhn)与正交矩阵(j zhn)的性质：设 A,B是酉矩阵(j zhn)，那么设 ，那么1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理(dngl)1： 设 ，

33、A是一个酉矩阵的充分必要条件为A 的 n个列（或行）向量组是标准正交向量组。n nAC第66页/共83页第六十六页，共83页。定义2 设T是n为酉（欧氏）空间V的线性变换，如果对任意的，V都有则称T是V的酉（正交）变换。正交变换保持V中的内积不变，根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何(j h)属性不变。()() .TT ,酉（正交）变换(binhun)第67页/共83页第六十七页，共83页。定理2设 是欧氏空间 上的一个线性变换，则下列命题(mng t)是等价的：（1） T是正交变换；（2） T保持向量的长度不变，即 |T|=|;（3） 若 是V的一组标准

34、正交基，则 也是V的标准正交基；（4） T在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示 A为正交矩阵。TV12,n, ,12(, (nTTT),),)第68页/共83页第六十八页，共83页。证明： 若线性变换保持长度不变，即(2)(1).展开上式同样有( (), ()(,)TT 根据定义显然成立。(1).(2),(|),(|),(|),(| 2222TTTTTT左式=(T, T)+2(T(), T()+(T, T)=(,)+2(T(),T()+(, )右式=(, )+2(,)+(, )化简得(T(), T()=(,) #第69页/共83页第六十九页，共83页。因此则1111,nnnnxxyy11(,)

35、( ,)nnTTx yx y 1111( )()(),( )()(),nnnnTx Tx TTyTy T 对任意 ，令(3)(1).,V 显然成立。(1).(3)第70页/共83页第七十页，共83页。11( (),()(,) ,nnTTA 设 在 下的矩阵为 ，即A(3)(4).T1,n由于 也是标准正交基，所以 A 是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此 A是正交矩阵。1(), ()nTT第71页/共83页第七十一页，共83页。1111( ( ), ()(,)ijininjn jnTTaaaa 设 是正交矩阵，则(4)(3).A11ijnin ja aa a 1,0,ijij 所以 也是标准正交

36、基。1(), ()nTT第72页/共83页第七十二页，共83页。注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们(t men)的作用主要是在数值算法中构造正交基。 补充：两种基本(jbn)的图形变换第73页/共83页第七十三页，共83页。例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间 中的所有向量(xingling)均绕原点顺时针旋转角 ，这时像 与原像 之间的关系为 2R12(,) 12(,) 2121cossinsincos 第74页/共83页第七十四页，共83页。例2（反射变换(bin

37、hun)或Householder变换(binhun)）将 中任一向量x 关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2) 与原像 (x1,y1)之间的关系为2R11221001yxyx第75页/共83页第七十五页，共83页。 从几何上看，图形经过旋转变换或反射(fnsh)变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：第76页/共83页第七十六页，共83页。一般(ybn)形式的Givens矩阵为：11cossin11sincos11 ( , )G i j 第j列第i列对应的变换(binhu

38、n)称为Givens变换(binhun)，或初等旋转变换(binhun)：在n维欧式空间中取一组标准正交基e1,e2en，沿平面ei,ej旋转。第i行第j行第77页/共83页第七十七页，共83页。定理 对任意非零向量Rn，存在有限个Givens变换的乘积 T，使得 其中 为标准单位向量。即通过有限次Givens变换可以将向量旋转(xunzhun)到某个坐标轴上。1neR 21|Te Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维向量(xingling)，通过有限次Givens变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，r=n-1时，得第78页/共83页第七十八页，共83页。xy2e21e

39、 如图，显然(xinrn)有正交分解 1122( ,)( ,)xx e ex e e,222222( ,)2( ,)yxxx e exex e 因此向量 关于(guny)“与e2 轴正交的直线e1”对称的镜像向量的表达式为xHouseHolder变换(binhun)2222(2)2TTIxxexeee第79页/共83页第七十九页，共83页。类似地，可定义将向量 变换为关于(guny)“与单位向量 正交的 维子空间”对称的向量 的镜像变换。nxR nyR 1n 定义3设 为单位向量，称矩阵 H()=I-2 H为Householder 矩阵（初等反射(fnsh)矩阵），对应的变换 称为Househ

40、older 变换（初等反射(fnsh)变换）nR (2)HHInR 第80页/共83页第八十页，共83页。(1)det(H()=-1(2) H()H= H()= H()-1Householder 矩阵(j zhn)H()的性质(3)对任意非零向量Rn，存在Householder 矩阵H ，使得 H()= e1,其中 为标准(biozhn)单位向量；对于=(a1,a2an)0,相应地取=(-e1)/| -e1 |1neR ,0,0,1arg11aeaai第81页/共83页第八十一页，共83页。 1222122212)(HwwIwH例 设=(1,2,2)T,求Householder矩阵H(),使得(sh de)H()=|e1,其中，e1=(1,0,0)T第82页/共83页第八十二页，共83页。感谢您的观看(gunkn)！第83页/共83页第八十三页，共83页。