福建省泉州市高三1月单科质量检查数学理解析版

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1、2018届福建省泉州市高三1月单科质量检查 数学（理）理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算 【试题简析】因为，所以，故选D.【错选原因】错选A：误求成；错选B：集合解错，解成；错选C：集合解错，解成.【变式题源】（2015全国卷I理1）已知集合，则（A） （B）（C）（D）（2）已知为复数的共轭复数，则（A）（B） （C）（D）【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知

2、识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算【试题简析】因为，所以，故选（A）.【错选原因】错选B：求出，忘了求；错选C：错解；错选D：错解.【变式题源】（2015全国卷文3）已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=A-2-i B-2+i C2-i D2+i（3）设等差数列的前项和为.若，则（A） （B） （C） （D）【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算【试题简析】依题意得，所以，故选C.【错选原因】错选A：的公式记忆错误，导致计算错误；错选B：的公式记忆错误，导致计算错误；错选D：误认为.【变式题源】（2017全国卷理

3、4）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8（4）已知点在双曲线的渐近线上，则的离心率等于（A） （B） （C） （D）或【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算【试题简析】由题意得，点在直线上，则，所以，故选B.【错选原因】错选A：误认为导致错误；错选C：误认为双曲线的焦点在轴上.错选D：未判断双曲线的焦点位置.【变式题源】（2013全国卷理4）已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为（A）y （B）y （C）y （D）（5）已知实数满足则的最大值为（A） （B） （C） （D）

4、【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为，把三个点分别代入检验得：当时，取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A：误把的最大值当成的最大值；错选B：误把的最小值当成的最大值；错选C：误把的最小值当成的最大值.【变式题源】（2017全国卷理14）设x，y满足约束条件则的最小值为 （6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （A）（B）（C） （D） 【命题意图】本小题主要考查

5、三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选A.【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.错选D：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是

6、（A）（B）（C）（D）（7）九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（A）4（B）5（C）6（D）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：开始执行，然后，再执行一行，然后输出解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，解得的最小值为6.【错选原因】错选A：可能把误当成来算；错选B：当执行到时，学

7、生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.错选D：可能先执行了后才输出.【变式题源】（2015年全国卷理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a =（A）0（B）2（C）4（D）14 （8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A）（B）（C）（D）【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A选项：，不符合图象上升这个条件；B选项：定义域不关于原点对称；C选项

8、函数图象先减后增，在时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A：符合图象关于原点对称这个条件；错选B：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C：有的学生可能根据函数过而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷理2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）（A） （B） （C）（D） （9）已知，则（A）（B）（C）（D）【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】【错选原因】错选B：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D

9、：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷理8）设，则（A）（B）（C）（D）（10）已知是函数图象的一个最高点,是与相邻的两个最低点若，则的图象对称中心可以是（A）（B）（C） （D）【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取的中点，连结，则，设，则，由余弦定理可得，解得，的中点都是图象的对称中心.故选.【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函

10、数的对称中心是 错选B：误把最高点的2当成了周期； 错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I理8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（A） （B） （C） （D）（11）已知直线：，圆：.若对任意，存在被截得弦长为，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心到的距离，即

11、，所以，又因为，所以，或.解法二：由题意可得，圆心到的距离，又：恒过定点，所以，另设直线的倾斜角为，所以，所以的斜率.【错选原因】错选A：在计算时，分子误当成1来计算； 错选B：分离变量时，误把写成； 错选D：把最后的计算成【变式题源】（2016年全国卷理4）圆的圆心到直线的距离为1，则a =（A）（B）（C）（D）2（12）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查

12、数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当时，故不是函数的零点.当时，等价于，令，则，当时，当时，当时，； 所以，当时，在有两个零点，故在没有零点，从而，所以；当或时，在有一个零点，故在有一个零点，此时不合题意；当时，在有没有零点，故在有两个零点，从而.综上可得或.故选D.解法二：当时，当时，在有两个零点，又当时，故在没有零点，所以；当或时，在有一个零点，又当时，在上单调递减，故，不合题意；当时，在有没有零点，此时在上必有两个零点.当时，当时，当时，当时，所以，要使在上必有两个零点，只需满足.令，则，当时，故单调递增.又，故即，解得.综上可得或.故选D.【错选原因】错选A：只会做二

13、次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点. 错选B：用特殊值或代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到； 错选C：可能根本没去做，综合了A和B，于是选C.【变式题源】（2013年全国卷I理11）已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()（A）(，0 （B）(，1 （C）2,1 （D）2,0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_.答案：【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思

14、想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：由已知可得，所以.解法二：由已知可得，所以.【变式题源】（2015全国卷理5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A） （B） （C） （D）（14）已知向量的夹角为，则_答案：1【命题意图】本小题主要考查向量的表示及运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】因为，所以，解得.【变式题源】（2017全国卷理13）已知向量a，b的夹角为60，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |

15、= （15）设为坐标原点，点在直线上.若是斜边长为2的等腰直角三角形，则实数_.答案：2或【命题意图】本小题主要考查直线方程等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】若为直角三角形的斜边，则点到直线距离等于，由点线距离公式，得，解得；若或为直角三角形的斜边，则点到直线距离等于2，由点线距离公式，得，解得，故答案为2或.【变式题源】（2016全国卷理4）圆的圆心到直线的距离为1，则a =ABCD2（16）如图，一张A4纸的长宽之比为，分别为,的中点现分别将,沿,折起，且,在平面同侧，下列命题正确

16、的是_（写出所有正确命题的序号）,四点共面；当平面平面时， 平面；当,重合于点时，平面平面；当,重合于点时，设平面平面，则平面答案：【命题意图】本小题主要考查空间点、线、面之间的位置关系等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、创新意识等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等【试题简析】在中， ，在中， ，所以，所以 ，同理 ，则折叠后，平面，平面，又 , 平面与平面有公共点，则平面与平面重合，即四点共面；由可知，平面平面，平面平面，当平面./平面时，得到/，显然=，所以四边形 是平行四边形，所以；设 ，则，所以，则，又，所以平面，则平面平面

17、；由，平面，平面，所以平面，平面平面，则，平面，平面.【变式题源】（2017全国卷理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）已知抛物线的焦点为，点在上，.（）求的方程；（）若直线与交于另一点，求的值.【命题意图】本小

18、题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）由抛物线的定义，得，2分解得，3分所以的方程为.4分（）由（），得，因为在上，所以，解得或（舍去），5分故直线的方程为，6分由消去，得，7分解得，8分由抛物线的定义，得，9分所以.10分解法二：（）由题意，可得2分解得3分所以的方程为.4分（）由（），得，故直线的方程为，6分由消去，得，7分由韦达定理，得，又，所以，8分故，从而，9分所以.10分【变式题源】（2015全国卷文10）已知抛物线C：

19、y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=A1 B2 C4 D8（18）（本小题满分12分）数列是公差大于0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项，是 与的等比中项.（）求数列与的通项公式；（）求数列的前项和.【命题意图】本题主要考察数等差、等比数列的定义及通项公式及求和公式的应用，可以通过方程组解决问题. 强化基本公式的掌握，熟悉数列中的基本量关系; 考查运算求解能力、数据处理能力以及应用意识. 【试题简析】解：（）由已知，2分即解得或（舍去），4分所以，5分. 6分（）由（），得，设数列的前项和为，则， ，7分 ，11分（一个公式正确给2分） .12

20、分【变式题源】（2011全国卷理17）等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通项公式；（）设 求数列的前n项和（19）（本小题满分12分）的内角的对边分别为.已知（）求；（）若的周长为，求的面积的最大值【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等【试题简析】解：（）由正弦定理结合已知条件可得，2分所以，3分所以，5分又，所以 6分（）由（）可得，所以，7分又，所以， 所以，8分又，所以，9分，所以或（不合，舍去），10分所以，11分当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为

21、12分【变式题源】（2016全国卷理17）的内角的对边分别为，已知（）求；（）若，的面积为，求的周长（20）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，（）求证：平面；（）求平面与平面所成角的余弦值【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角余弦值的求解等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）在底面中，所以，所以， 所以，1分又平面平面，平面平面，平面，所以平面，2分又平面，所以，3分又即，又，4分所以平面.5分（）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为

22、所求直线，6分在平面内过作（如图），又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设，7分则，所以，8分设是平面的法向量，则即9分令，得. 10分显然是平面的一个法向量. 11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的的余弦值为. 12分解法二：（）同解法一；5分（）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线，6分分别取中点和，连结， 所以，又，所以，又因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如

23、图），另设，7分则，所以，8分设是平面的法向量，则即，9分令，得. 10分显然是平面的一个法向量. 11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的余弦值为.12分【变式题源】（2017全国卷理19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.（）证明：直线 平面PAB；（）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值（21）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，上顶点为. 点在上，点，的最大面积等于.（）求的方程；（）若直线与交于另一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值.已知椭圆的上顶点为，点，是

24、上且不在轴上的点，直线与交于另一点.若的离心率为，的最大面积等于.（）求的方程；（）若直线分别与轴交于点，试判断是否为定值.【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等【试题简析】解法一：（）由题意，可得的最大面积为，即.1分又2分3分联立，解得，故的方程.4分（）设直线的方程为，.5分联立方程组消去，得，6分整理，得，7分由韦达定理，得，8分又直线的方程为，所以，9分直线的方程为，所以，10分所以11分，即为定值.12分（直接写出“为

25、定值”给1分）解法二：（）同解法一；4分（）设直线的方程为，.5分联立方程组消去，得，6分整理，得，7分由韦达定理，得，8分所以9分，10分又，故，即为定值.12分（直接写出“为定值”给1分）【变式题源】（2015全国卷理20）已知椭圆C：(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由（22）（本小题满分12分）函数 .（）讨论的单调性；（）当时，若 ，求实数的取值范围.【命题意图】本题考查导数的应

26、用，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等问题；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想.【试题简析】解：（）由得，故的定义域为.1分 ，2分因为，所以.3分当时，在上单调递增；4分当时，由，得，故在上单调递减；由，得，故在和上单调递增；5分综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减； 在和上单调递增. 6分（）由（）当时，在上单调递增，所以当时， 则7分从而两式相减得；8分当时，在上单调递减；所以当时， 9分则 从而10分两式相减得，不符合题意，舍去；11分综上可得，实数的取值范围. 12分【变式题源】（2011全国卷理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求,的值；（）如果当，且时，求的取值范围