函数知识点总结材料与经典例题与解析汇报

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1、word函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O即公共的原点叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个局部，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用a，b表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序

2、实数对，当时，a，b和b，a是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为0，03、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标一样。位

3、于平行于y轴的直线上的各点的横坐标一样。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴与原点的距离点P(x,y)到坐标轴与原点的距离：1点P(x,y)到x轴的距离等于2点P(x,y)到y轴的距离等于3点P(x,y)到原点的距离等于知识点三、函数与其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说

4、x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值X围。3、函数的三种表示法与其优缺点1解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量与数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。2列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。3图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点3连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平

5、滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果k，b是常数，k0，那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，k为常数，k0。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点0，b的直线；正比例函数的图像是经过原点0，0的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k0b0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 y 0 x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。k0k0 y 0 x图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0时

6、，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之右上升；2当k0时，y随x的增大而增大2当k0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上4当b0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值X围是x0， y的取值X围是y0；当k0a0 y 0 x y 0 x 性质1抛物线开口向上，并向上无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；4抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，1抛物线开口向下，并向下无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；4抛

7、物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离推导过程：假如抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像

8、与x轴有一个交点；当0时，抛物线开口向上；0时，抛物线开口向下；的绝对值越大，开口越小 2和的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；即、同号时，对称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧.口诀左同 右异3的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，：，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.轴右侧，如此 .经典例题与解析二次函数与三角形1、：二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点2，1求此二次函数的解析式2设该图象与x轴交于B、C两点B点在C点的左侧，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使EBC的面积最大，并求出最大面积BxyO(

9、第2题图)CAD2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点A在B的左侧，与y轴交于点C (0，4)，顶点为1，1求抛物线的函数表达式；2设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标3假如点E是线段AB上的一个动点与A、B不重合，分别连接AC、BC，过点E作EFAC交线段BC于点F，连接CE，记CEF的面积为S，S是否存在最大值？假如存在，求出S的最大值与此时E点的坐标；假如不存在，请说明理由BxyO(第3题图)CA3、如图，一次函数y4x4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2bxc的图象经过A、C两点，

10、且与x轴交于点B1求抛物线的函数表达式；2设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；3作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N问在x轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由二次函数与四边形4、抛物线(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交

11、抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形5、如图，抛物线ymx211mx24m (m0) 与x轴交于B、C两点点B在点C的左侧，抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC901填空：OB_ ，OC_ ；2连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；COAyxDBCOAyxDBMNl:xn3如图2，设垂直于x轴的直线l：xn与2中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，假如直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AM的面积取得最大值，并求出这个最大值6、如下列图，在平

12、面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A，B，D3，0连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON假如抛物线经过点D、M、N1求抛物线的解析式2抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由3设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值7、抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点1求A、B的坐标；2过点D作DH丄y轴于点H，假如DH=HC，求a的值和直线

13、CD的解析式；3在第2小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，如此直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？假如存在，求出点M的坐标；假如不存在，请说明理由8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca0的图象经过M1，0和N3，0两点，且与y轴交于D0，3，直线l是抛物线的对称轴1求该抛物线的解析式2假如过点A1，0的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式3点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标9、如图，y关于x的二次函数y=x+mx3m图象的顶点

14、为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点以AB为直径作圆，圆心为C定点E的坐标为3，0，连接EDm01写出A、B、D三点的坐标；2当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；3当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。10、抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点与y轴交于点C其中AI(1，0)，C(0，)13分求抛物线的解析式；2假如点P在抛物线上运动点P异于点A4分如图l当PBC面积与ABC面积相等时求点P的坐标；5分如图2当PCB=BCA时，求直线CP的解析式。答案与分析：1、解：1由条件得，2分解得b=，c=，此

15、二次函数的解析式为y=x2x；1分2x2x=0，x1=1，x2=3，B1，0，C3，0，BC=4，1分E点在x轴下方，且EBC面积最大，E点是抛物线的顶点，其坐标为1，3，1分EBC的面积=43=61分2、1抛物线的顶点为1， 设抛物线的函数关系式为ya ( x1) 2抛物线与y轴交于点C (0，4)， a (01) 24 解得a所求抛物线的函数关系式为y( x1) 22解：P1 (1，)，P2 (1，)， P3 (1，8)，P4 (1，)， 3解：令( x1) 20，解得x12，x14抛物线y( x1) 2与x轴的交点为A (2，0) C (4，0) 过点F作FMOB于点M，EFAC，BEF

16、BAC， 又 OC4，AB6，MFOCEBBxyO(第3题图)CADE设E点坐标为 (x，0)，如此EB4x，MF (4x) SSBCESBEFEBOCEBMFEB(OCMF) (4x)4 (4x)x2x( x1) 23a0，S有最大值 当x1时，S最大值3 此时点E的坐标为 (1，0) 3、1一次函数y4x4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，A (1，0) C (0，4) 把A (1，0) C (0，4)代入yx2bxc得 解得yx2x42yx2x4( x1) 2顶点为D1，BxyO(第3题图)CAPMN设直线DC交x轴于点E 由D1，C (0，4)易求直线CD的解析式为yx4易求E3，

17、0，B3，0 SEDB616 SECA244 S四边形ABDCSEDBSECA123抛物线的对称轴为x1做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求AB的解析式为yxD3E是BC的垂直平分线 D3EAB设D3E的解析式为yxbD3E交x轴于1，0代入解析式得b, yx把x1代入得y0 D3 (1，0), 过B做BHx轴，如此BH1在RtD1HB中，由勾股定理得D1HD11，同理可求其它点的坐标。可求交点坐标D11，, D21，2, D3 (1，0), D4 (1, )D51，24、(1)=，不管m为何实数，总有0，=0，无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点(2) 抛物线的

18、对称轴为直线x=3，抛物线的解析式为=，顶点C坐标为3，2，解方程组，解得或，所以A的坐标为1，0、B的坐标为7，6，时y=x1=31=2，D的坐标为3，2，设抛物线的对称轴与轴的交点为E，如此E的坐标为3，0，所以AE=BE=3，DE=CE=2， 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，如此AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，APCD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形 ()设直线CD向右平移个单位0可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，如此直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x1交于点M3，2，又D的坐标为3，2，

19、C坐标为3，2，D通过向下平移4个单位得到CC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为3，又N在抛物线上，解得不合题意，舍去，当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为3，又N在抛物线上，解得不合题意，舍去，() 设直线CD向左平移个单位0可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，如此直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x1交于点M3，2，又D的坐标为3，2，C坐标为3，2，D通过向下平移4个单位得到CC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四

20、边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为3，又N在抛物线上，解得不合题意，舍去，不合题意，舍去，当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为3，又N在抛物线上，解得，不合题意，舍去，综上所述，直线CD向右平移2或个单位或向左平移个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形5、解：1OB3，OC8 COAyxDBE2连接OD，交OC于点E四边形OACD是菱形 ADOC，OEEC84BE431又BAC90，ACEBAE AE2BECE14AE2 点A的坐标为 (4，2) COAyxDBMNl:xn

21、E把点A的坐标 (4，2)代入抛物线ymx211mx24m，得m抛物线的解析式为yx2x12 3直线xn与抛物线交于点M点M的坐标为 (n，n2n12)由2知，点D的坐标为4，2，如此C、D两点的坐标求直线CD的解析式为yx4点N的坐标为 (n，n4) MNn2n12n4n25n8 S四边形AMSAMNSCMNMNCEn25n84(n5)29 当n5时，S四边形AM9 6、解：1BCAD，B-1，2，M是BC与x轴的交点，M0，2，DMON，D3，0，N-3，2，如此，解得，；2连接AC交y轴与G，M是BC的中点，AO=BM=MC，AB=BC=2，AG=GC，即G0，1，ABC=90，BGAC

22、，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为，如此，解得，解得，点P或P，3，对称轴，令，解得，E，0，故E、D关于直线对称，QE=QD，|QE-QC|=|QD-QC|，要使|QE-QC|最大，如此延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，由于M为BC的中点，C1，2，设直线CD的解析式为y=kx+b，如此，解得，当时，故当Q在的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CFx轴，垂足为F，如此CD=7、解：1由y=0得，ax2-2ax-3a=0，a0，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2

23、=3， 点A的坐标-1，0，点B的坐标3，0；2由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a， C0，-3a，又y=ax2-2ax-3a=ax-12-4a， 得D1，-4a，DH=1，CH=-4a-3a=-a， -a=1，a=-1， C0，3，D1，4，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，解得 ，直线CD的解析式为y=x+3；3存在由2得，E-3，0，N- ，0 F ， ，EN= ，作MQCD于Q，设存在满足条件的点M ，m，如此FM= -m，EF= = ，MQ=OM= 由题意得：RtFQMRtFNE，= ，整理得4m2+36m-63=0，m2+9m= ，m2

24、+9m+ = + m+ 2= m+ =m1= ，m2=- ，点M的坐标为M1 ， ，M2 ，- 8、解：1抛物线y=ax2+bx+ca0的图象经过M1，0和N3，0两点，且与y轴交于D0，3，假设二次函数解析式为：y=ax1x3，将D0，3，代入y=ax1x3，得：3=3a， a=1，抛物线的解析式为：y=x1x3=x24x+3；2过点A1，0的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，ACBC=6，抛物线y=ax2+bx+ca0的图象经过M1，0和N3，0两点，二次函数对称轴为x=2，AC=3，BC=4，B点坐标为：2，4，一次函数解析式为；y=kx+b，解得：，y=x+；3当点P

25、在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，MOAB，AM=AC，PM=PC，AC=1+2=3，BC=4， AB=5，AM=3， BM=2，MBP=ABC，BMP=ACB，ABCCBM，PC=1.5，P点坐标为：2，1.59、解：1Am，0，B3m，0，D0，m2设直线ED的解析式为y=kx+b，将E3，0，D0，m代入得：解得，k=，b=m 直线ED的解析式为y=mx+m将y=x+mx3m化为顶点式：y=x+m2+m顶点M的坐标为m，m代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，当m=1时，M点在直线DE上连接CD，C为AB中点，C点坐标为Cm，0OD=，OC=1，CD=2，D点在圆上又

26、OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2FDC=90直线ED与C相切3当0m3时，SAED=AEOD=m3m S=m2+m当m3时，SAED=AEOD=mm3 即S=m2_m10、解：1由题意，得，解得抛物线的解析式为。2令，解得B3, 0当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，设直线AP的解析式为，直线AP过点A1,0，代入求得。直线AP的解析式为解方程组，得点当点P在x轴下方时，如图1 设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点， 得直线的解析式为，解方程组， 综上所述，点P的坐标为：，OB=OC，OCB=OBC=45 设直线CP的解析式为如图2，延长CP交x轴于点Q，设OCA=，如此ACB=45PCB=BCA PCB=45OQC=OBC-PCB=45-45=OCA=OQC又AOC=COQ=90RtAOCRtCOQ，OQ=9，直线CP过点，直线CP的解析式为。文档