勾股定理题型(很全面)

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1、典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题例题：水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？二、与勾股定理有关的图形问题1.已知 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD再以RtACDW斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtAADE，依此类推，第 n个等 腰直角三角形的斜边长是.2、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米

2、以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上边长是沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?3.在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1, 2, 3,正放置的四个正方形的面积是S2, S3, S4,则& + S2 + S3+S4=_.4.如图， ABC 中，/ C=90,（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图），探究S1+S2与S3的关系；（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图），探究S1+S2与S3的关系;以直角三角形的三边为直径向形外作半圆

3、（如图），探究S1+ S2与S3的关系.3、如图，南北向MN为我国领海线，即 MN以西为我国领海，以东为公海，上午 9时50分，我反 走私A艇发现正东方向有一走私艇 C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来， 便立即通知正在 MN在线巡逻的我国反走私艇 B密切注意，反走私 A艇通知反走私艇 B时，A和C两艇的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里，反走私艇 B测得距离C是16海里，若走私艇 C的速度不 变，最早会在什么时间进入我国领海？5.如图，设四边形 ABCD是边长为1的正方形，以正方形 ABCD的对角线AC为边作第二个正方 形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形

4、 AEGH ,如此下去，记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1, a2, a3,，an,根据上述规律,则第n个正方形的边长 an=记正方形ABCD的面积G为1,按上述方法所作的正 方形的面积依次为 S2, S3,，Sn（n为正整数），那么Sn=.6、如图，RtABC中，/ C=90 , AC=2, AB=4,分另以AG BC为直径作半圆，则图中阴影部分的 面积为.三、关于翻折问题1、如图，折叠矩形纸片 ABCD ,先折出折痕(对角线)得折痕 DG ,若 AB = 2 , BC = 1 ,求 AG.BD,再折叠，使 AD落在对角线BD上,G5、矩形纸片 ABCD的

5、边长AB=4, AD=2.将矩形纸片沿 其一面着色(如图)，求着色部分的面积。EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在D G CitrAB2、如图，把矩形纸片 ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.(1)求证： FAC是等腰三角形；(2)若AB=4 , BC=6 ,求 FAC的周长和面积6、如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.3、如图，将矩形 ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE = 6cm , 7如图，AD是4ABC的中线，/ADC=4

6、5 ,把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4, 求BC的长.AB =16cm,求 BF 的长.4、如图，一张矩形纸片 ABCD的长AD=9 cm,宽AB=3 cm。现将其折叠，使点 D与点B重合。求 折叠后BE的长和折痕EF的长。F四、关于最短性问题5、如图，一个高18m,周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕1:如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm, 一只蚂蚁沿侧面从 A点向B点爬行，问:塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？（建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙）爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少?6、有一圆柱形食品盒

7、，它的高等于16cm,底面直径为20cm,蚂蚁爬行的速度为 2cm/s.如果在盒内下底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含兀）2、如图壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油 罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？如果在盒外下底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B处的食物，那么它至少需要多少时间 的厚度和蚂蚁的大小忽

8、略不计，结果可含兀）?（盒BA图 1-193:如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相7：如图，圆锥的侧面展开图是半径为2j2 cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A点向B点爬行，问：（1）爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C的最近距离.到B点，最短线路是多少?对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一

9、想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬8、如图，一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为D五、关于勾股定理判定三角形形状1、已知， ABC中，AB=17cm , BC=16cm , BC边上的中线 AD=15cm ,试说明 ABC是等腰三 角形。六、关于旋转中的勾股定理的运用：1、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将 ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP重合, 若AP=3,求PP的长。2：已知 ABC的三边a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, AABC是否是直角三角形？你能说明 理

10、由吗？变式1:如图，幅等边三角形AB6一点，PA=2,PB=2j3 ,PC=4,求 ABC勺边长.分析：利用旋转变换，将4BP圈点 脸时针选择60。，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形3、如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,设 AC=b, BC=a AB=g CD=hi试说明:(1)1;(2) a+bvc+h; (3)判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由.七、关于勾股定理的相关证明221、如图，在 ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证：AB AP = PB PC分析：考虑构造直角三角形，能

11、利用勾股定理BD2+CD2= 2AD2.4、在等腰直角三角形 ABC的斜边AB上取两点 M,N,使/ MCN=45，记AM=m MN=x BN=m试判断 以x, m n为边长的三角形的形状。CFAM N B2,如图，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是BC上的点.求证:八、综合题1、已知RtAABC, / ACB=90 , CA=CB有一个圆心角为 45 ,半径的长等于 CA的扇形 CEF绕 点C旋转，且直线 CE, CF分别与直线 AB交于点M, N.(I)当扇形 CEF绕点C在/ ACB的内部旋转时，如图 1,求证：MN2=AM2+BN2(思路点拨：考虑 MN2=AM2+BN2合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM沿直线CE对折，得 DCM连DN,只需证DN=BN / MDN=90就可以了.请你完成证明过程.)(II)当扇形 CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式 MN2=AM2+BN2否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由.2、如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A , B两点，A (1, n),B (-, -2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点 P,使 AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.