线段和最短专题

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1、两线段之和最短在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB这类线段之和最小问题，解决这一类问题关键是 要运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，把两条线段的和变为一条线 段来研究，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：(1) 在连接两点、的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；(2) 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3) 在三角形中，大角对大边，小角对小边。一、数芋模型1、实际问题:人教版八年级上册课本P42轴对称探究如图,要在燃气管道I上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使

2、所用的输气管线載短?2、数学问题:已知:苴线和的同侧两点A. B求作:点P,使P在直线丨上,并且PA+PB最小.二. 在三角形背景下探求线段和的最小值仁如图，等腰RtAABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE 的最小值为2s如图，等边AABC的边长为6, AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，E是AC边上一点, 若AE=2, EP+CP的最小值为三、在四边形背景下探求线段和的最小值3. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ZABC=90 , AD/7BC, AD=4, AB=5, BC=6,点 P 走 AB 上 一个动点，当PC+PD的和最小时,PB的长为4

3、.如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1,ZABC=60 , P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为5如图菱形ABCD中,AB=2, ZBAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值为BC6.如图，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2,N是AC上的一个动点，則DN+MN 的最小值为7.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB. PQ, JAPBQ周长的最小值cm.EC8.如图所示.正方形ABCD的面积为12, AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在

4、对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为四. 在圆背景下探求线段和的最小值9、如图，MN是半径为1的00的直径，点A在00上，ZAMN=30 , B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为五、在函数背景下探求线段和的最小值10.-次函数y=*x+b的图象与X、y轴分别交于点A (2f0)fB (0, 4).(1) 求该函数的解析式;(2) 0为坐标原点,设0A. AB的中点分别为C. D,P为08上一动点, 求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.严卜d(。)1K如图，正比例函数 2图象与反比例函数x在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂战,垂

5、足为虬己知OMi的面积为1.(1) 求反比例函数的解析式;(2) 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点人不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小。16.如图，在四边形 ABCD 中，ZBAD=120 , ZB=ZD=90 , AB=1, AD=2,在 BC. CD 上分别找一点M、N,使得AAMN的周长載小，AAMN的最小周长是.5延伸4：直线L的异侧有两个点A、B,在直线L上求一个点C,使得：A、B到C的距离的 差的绝对值最小。六、拓展延伸17.如图，已知直线与y轴艾于点A,与x轴交于点D,抛物线y = -x + l2与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C

6、两点，且B点坐标为（1,0）. （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使I AM-MC | 的值最大，求出点M的坐标延伸仁 在不同直线上找两点A. B,使PA+PB最短。A ABC 中，AB=BAC=45 , NBAC的平分线交BC于点D, M. N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小 值是.3延伸2:已知苴蟻.L外有一个定点、P,在苴线L上我两点A、B,使AB=m,且PAPB最短.（其 中E为定值）14.如图,在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点0在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,0A=3, OB二4. D为边0B的中点.（1）若E为边0A上的一个动点，当ZkCDE的周长炭小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边0A上的两个动点，且EF二2,当四边形CDEF的周长最小吋，求点E、F的坐标。4延伸3：在两条相交线之外有一个定点P,分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短， 如何确定B. C的位置？15x如图，ZA0B=45 丁是/人06内一点，P0=10, (k R分别是OA、0B上的动点，求2PQR 周长的最小值.