河南省商丘市高三上期末数学试卷理科解析版

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1、2015-2016学年河南省商丘市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=1，0，1，B=x|x=|a+1|，aA，则AB=（）A0B1C0，1D0，1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】集合B中的自变量属于集合A，把集合A中的元素代入函数求出值域，确定出集合B，注意集合的互异性【解答】解：x=|a+1|，aA当a=1时，x=0；a=0时，x=1；a=1时，x=2；根据集合的互异性可知B=0，1，2，AB=0，1；故选C【点评】本题主要考查了交集的运算，注意元素

2、a的讨论2若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部【解答】解：复数z满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故z的虚部等于，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题3下列选项叙述错误的是（）A命题“若x0，则ex1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”B“x2”是“1”的充分不必要条件C若命题p：xR，x2+x+10，则p：x0R，使得x02+x0+10D若pq为假

3、命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】A利用原命题的逆否命题定义即可得出；B由1，解得x2或x1，即可判断出；C利用命题的否定定义即可得出；D若pq为假命题，则p与q至少有一个均为假命题，即可判断出【解答】解：对于A“若x0，则ex1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”，正确；对于B由1，解得x2或x1，“x2”是“1”的充分不必要条件，因此正确；对于C命题p：xR，x2+x+10，则p：x0R，使得x02+x0+10，正确；对于D若pq为假命题，则p与q至少有一个均为假命题，因此不正确故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基

4、础题4已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D5【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4+b2=9b2=5双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键5执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（

5、）A1B2C3D4【考点】循环结构【专题】算法和程序框图【分析】根据判断框的条件是k27确定退出循环体的k值为27，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解【解答】解：由判断框的条件是k27，退出循环体的k值为27，输出的S=1=log327=3故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键6将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，x轴围成的图形面积为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；定积分【专题】常规题型；综合题【分析】将函数向右平移个

6、单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与，x轴围成的图形面积【解答】解：将函数向右平移个单位，得到函数=sin（2x+）=sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=sinx的图象，则函数y=sinx与，x轴围成的图形面积：+（sinx）dx=cosx+cosx=+1=故选B【点评】本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年高考必考内容7某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号

7、分别是1号、2号、19号、20号若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（）A16B21C24D90【考点】计数原理的应用【专题】计算题；应用题【分析】本题是一个分类计数问题，要确保5号与14号入选并被分配到同一组，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类计数原理，得选取种数是C42+C62=6+15=21

8、，故选B【点评】本题考查分类计数原理，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，相加得到结果8已知实数x，y满足，若直线x+ky1=0将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为（）A3B3CD【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，得到直线过AB的中点，求出相应的坐标即可得到k的值【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分）：直线x+ky1=0过定点C（1，0），C点也在平面区域ABC内，要使直线x+ky1=0将可行域分成面积相等的两部分，则直线x+ky1=

9、0必过线段AB的中点D由，解得B（1，4），由，解得A（1，2），AB的中点DD（0，3），将D的坐标代入直线x+ky1=0得3k1=0，解得k=，故选：C【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形的面积的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题9如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）ABCD【考点】轨迹方程【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接DK，则DKA=90，得到K点的轨迹是以A

10、D为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度【解答】解：由题意，将AED沿AE折起，使平面AED平面ABC，在平面AED内过点D作DKAE，K为垂足，由翻折的特征知，连接DK，则DKA=90，故K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK=，取O为AD的中点，得到OAK是正三角形故K0A=，K0D=，其所对的弧长为=，故选：D【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变本题是一个中档题目10一个几何体

11、的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2xx=，外接球的半径R=，几何体的外接球的表面积S=4=故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，

12、考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键11在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则（）（）的取值范围是（）A，B，1C，1D0，1【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】可分别以AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，然后可求出图形上一些点的坐标，根据条件设M（0，y），y0，1，从而可以求出向量的坐标，进行数量积的坐标运算便可得到=，这样配方便可求出二次函数在0，1上的最值，从而便可得出的取值范围【解答】解：如图，分别以AC，AB所在直线为

13、x，y轴，建立平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，1），C（1，0），；设M（0，y），y0，1；=；y0，1；时，取最小值；y=1时，取最大值1；的取值范围为故选：B【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量减法的几何意义，以及向量数量积的坐标运算，配方求二次函数在闭区间上的最值的方法12设函数f（x）=（xa）2+（lnx22a）2，其中x0，aR，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）ABCD1【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】数形结合；导数的综合应用【分析】把函数看作是动点M（x，

14、lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值【解答】解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y=2，解得x=1，曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=，则f（x），根据题意，要使f（x0），则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由kMN=，解

15、得a=故选：A【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cos=，则tan2=【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，x0，cos=，x=3，tan=，tan2=，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函

16、数的定义，二倍角的正切公式，属于基础题14已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1对于xR恒成立，且f（x）0，则f（2015）=1【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】先根据条件求出函数f（x）的周期为4，再根据周期把所求问题转化，即可求出答案【解答】解：偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1，f（x+2）=，f（x+4）=f（x），所以函数的周期T=4，f（2015）=f（3）；令x=1，f（1）f（1）=1=f2（1），又f（x）0，f（1）=1，f（3）=1；f（2015）=1故答案为：1【点评】本题考查了函数周

17、期性的应用问题，解题时要利用好题中f（x+2）f（x）=1的关系式，是基础题目15已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1

18、，0），圆x2+（y4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的应用考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想16将（1）（nN+）的展开式中x4的系数记为an，则+=【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；转化思想；定义法；二项式定理【分析】由题意得到an=Cn2=，再采取裂项求和即可求出【解答】解：an=Cn2=，=2（），+=2（1+）=2=，故答案为：【点评】本题考查了二次式定理的展开式的系数以及裂项求和，属于基础题三

19、、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17数列an的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n1）（1）求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和【专题】计算题；综合题【分析】（1）由题意可得：an=2Sn1+1（n2），所以an+1an=2an，即an+1=3an（n2），又因为a2=3a1，故an是等比数列，进而得到答案（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5d，b3=5+d，所以结合题意可得（5d+1

20、）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为Tn【解答】解：（1）因为an+1=2Sn+1，所以an=2Sn1+1（n2），所以两式相减得an+1an=2an，即an+1=3an（n2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故an是首项为1，公比为3的等比数列an=3n1（2）设bn的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=10等差数列bn的各项为正

21、，d0，d=2，【点评】本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2b2）=2accosB+bc（）求A；（）D为边BC上一点，BD=3DC，DAB=，求tanC【考点】余弦定理；正弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（）由余弦定理可得2accosB=a2+c2b2，代入已知等式整理得cosA=，即可求得A（）由已知可求DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=C化简即可得解【解答】解：（）因为2accosB=a2+c2b2，所以2（a2b2）=a2+c2b2+

22、bc（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=，即A=（4分）（）因为DAB=，所以AD=BDsinB，DAC=（6分）在ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，（9分）由B=C得cosCsinC=2sinC，（11分）整理得tanC=（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，BC=2AD=4，AB=CD=（）证明：BD平面PAC；（）若二面角APCD的大小为60，求AP的值【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】综合题

23、；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）设O为AC与BD的交点，作DEBC于点E，证明BOC=90，可得ACBD由PA平面ABCD得PABD，利用线面垂直的判定定理，可得BD平面PAC；（）方法一：作OHPC于点H，连接DH，可得DHO是二面角APCD的平面角，在RtPAC中， =，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角APCD的大小为60，可求AP的值【解答】（）证明：设O为AC与BD的交点，作DEBC于点E由四边形ABCD是等腰梯形得CE=1，DE=3，所以BE=DE，从而得DB

24、C=BCA=45，所以BOC=90，即ACBD由PA平面ABCD得PABD，因为ACPA=A，所以BD平面PAC （7分）（）解：方法一：作OHPC于点H，连接DH由（）知DO平面PAC，故DOPC所以PC平面DOH，从而得PCOH，PCDH故DHO是二面角APCD的平面角，所以DHO=60在RtDOH中，由DO=，得OH=在RtPAC中， =设PA=x，可得=解得x=，即AP= （15分）方法二：（） 由（）知ACBD以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A（0，0），B（，0，0），C（0，0），D（，0，0）由PA平面ABCD

25、，得PAz轴，故设点P（0，t） （t0）设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（，0），=（，t） 知取y=1，得=（2，1，）又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是|cos，|=解得t=，即AP= （15分）【点评】本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力20为了倡导健康、低碳的生活理念，某公园开展租自行车骑游公园服务公园内自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为3元（不足1小时的部分按1小时计算）今有甲、乙两人相互独立来到公园租车点租车骑游公园（各租一车一次）设甲、乙

26、不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【专题】综合题；概率与统计【分析】（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（）甲乙两人租车时

27、间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率P=+=；（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8P（=0）=P（=3）=+=P（=6）=+=P（=9）=+=P（=12）=，所以的分布列为：036912P的数学期望E=3+6+9+12=【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力21已知ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单

28、性质【专题】计算题；压轴题【分析】（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程再由以AB为底，计算三角形面积（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值【解答】解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由得x=1所以|AB|=又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离所以h=，SABC=|h=2（）设AB所在直线的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m24=0因为A，B在椭圆上，所以=12m2+640设A，B两点坐标分别为（x1，y1）

29、，（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，所以|AB|=又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=m22m+10=（m+1）2+11所以当m=1时，AC边最长，（这时=12+640）此时AB所在直线的方程为y=x1【点评】本题是属于对直线与圆锥曲线的位置关系的考查注意到解析几何的综合题在高考中的“综合的程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养22已知函数f（x）=（x+1）ex（e为自然对数的底数）（）求函数f（x）的单调区间；（）设函数（x）=xf（x）+tf（x）+ex，存在x1

30、，x20，1，使得成立2（x1）（x2）成立，求实数t的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】（）先求出，得当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0从而有f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（）假设存在x1，x20，1，使得2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max，分别讨论当t1时，当t0时，当0t1时的情况，从而求出t的范围【解答】解：（）函数的定义域为R，当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0f（x）增区间为（，0），减区间为（0，+）（）假设存在x1，x20，1，使得2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max，（x）=，当t1时，（x）0，（x）在0，1上单调递减，2（1）（0），即；当t0时，（x）0，（x）在0，1上单调递增，2（0）（1），即t32e0；当0t1时，在x0，t，（x）0，（x）在0，t上单调递减在x（t，1，（x）0，（x）在t，1上单调递增所以2（t）max（0），（1），即（*）由（）知，在0，1上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在，使得命题成立【点评】本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题