幂函数与指数函数的区别

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1、幂函数与指数函数的区别1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=ax（a0，a不等于1） 性质比较单一，当a1时，函数是递增函数，且y0; 当0a0.2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=xa（a不等于1）. a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像与性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3.y=8(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8x（a=8），当x=-0.7时，y的

2、值；或者将其看成：幂函数y=x(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸；（3）当a0，且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意:由于a0，故N0，即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。2对数式与指数式的关系由定义可

3、知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a0，a1）前提下有:4. 三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a0，a1的前提下有:(1) 令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN， m+n=loga(MN)，即(2) ，令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，即。(3) ，令am=M，则有 m=logaM，mn=n Mn=amn， mn= (nR)，

4、 n = 。5两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a1，M0的前提下有:(1) 令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:。(2) ，令logaM=b，则有ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲:第一阶梯 例1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：(1)log216=4； (3)54=625；解：(1)24=16(3)54=625，log5625=4.例2解下列各式中的x：(3)2x=3；(4)log3(x-1)=log9(

5、x+5).解：(3)x=log23.(4)将方程变形为例3求下列函数的定义域：思路分析：求定义域即求使解析式有意义的x的围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。解：(1)令x2-4x-50，得(x-5)(x+1)0，故定义域为x|x504x-31。所以所求定义域为x|-10，或0X2. 第二阶梯 例4比较下列各组数中两个值的大小(1)log23.4， log28.5；(2)log0.31.8， log0.32.7；(3)loga5.1， loga5.9(a0，a1)。思路分析：题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对

6、数函数的单调性确定。 解：(1)因为底数21，所以对数函数y=log2x在(0，+)上是增函数，于是log23.4LOG28.5；(2)因为底数为0.3，又00.3log0.32.7；(3)当a1时，函数y=logax在(0，+)上是增函数，所以loga5.1LOGa5.9；当0loga5.9。说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。例5若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是（ ）(1)logaxlogay=loga(x+y)；(2)log

7、ax-logay=loga(x-y)；(4)logaxy=logaxlogay；A、0 B、1 C、2 D、3思路分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。答案：A例6已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。 思路分析：解本题的关键是设法将 的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。解：第三阶梯 例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值围。 思路分析：由对

8、数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。 解：原方程化为(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0，令t=lgx，则原方程等价于2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*)若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值围的一致性。 例8将y=2x的图像（ ） A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析：由于第二步

9、的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得D。 解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3： 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。 说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。 例9已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示） 思路分析： 当指数的取值围扩展到有理数后，对数运算就是指数

10、运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。 解：由18b=5，得b=log185，又log189=a，log189+log185=log3645=a+b，则 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。 详细题解 1求值:(1) (2) (3) 解:(1) 。(2) (3) 注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。2求值:(1) (2

11、) (3) 解:(1) (2) 。(3) 法一： 法二： 注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。(3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?解: ，4已知:a2+b2=7ab，a0，b0。 求证:。证明: a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb， 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即5.

12、 已知:求证:3ab-bc-2ac=0。证明:设 ，则: ， ， 3ab=bc+2ac，即 3ab-bc-2ac=0。6求值: 解:另解:设 =m (m0)， ， ， lg2=lgm， 2=m，即。课后练习:12 34已知:xlog34=1，求:的值。5已知:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。参考答案:1. - 2. - 3. 4. 5. 对数函数的性质与应用概念与规律:1对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2在同一坐标系，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0A1时，对数函数的图象随a的增大而

13、远离x轴。（见图1）例1求下列函数的定义域。(1) y=(2) y=ln(ax-k2x)(a0且a1，kR)解:(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1， ) (，2)。(2) 因为 ax-k2x0，所以()xk。10，当k0时，定义域为R；20，当k0时，(i)若a2，则函数定义域为(k，+)；(ii)若0A2，且a1，则函数定义域为(-，k)；(iii)若a=2，则当0K1时，函数定义域为R；当k1时，此时不能构成函数，否则定义域为。例2若logm3.5logn3.5(m，n0，且m1，n1)，试比较m ，n的大小。解:(1)当m1，n1时，3.51，由对数函数性质:当底数和真数都大于1时

14、，对同一真数，底数大的对数值小，nm1。(2)当m1，0N1时，logm3.50，logn3.50， 0N1M也是符合题意的解。(3)当0M1，0N1时，3.51，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0MN1。综上所述，m，n的大小关系有三种:1MN或0N1M或0MN1。例3作出下列函数的图象:(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2) y=lg|x| (3) y=-1+lgx解:(1)如图2； (2)如图3； (3)如图4。例4函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域。提示:由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由 log2x2得y=f

15、(log2x)的定义域为，4。例5求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。解:设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4， y=t为减函数，且0T4， y=-2，即函数的值域为-2，+)。再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1X3。 t=-x2+2x+3在(-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数。函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3)。例6已知f(x)=ax-a-x(其中0A1)。(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)； (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论。解:(1)设y=ax-a-x

16、，则a2x-yax-1=0， ax0，解得ax=， x=loga ， 所求函数的反函数f-1(x)=loga (xR)。(2)xR且f-1(-x)=loga=loga =loga( )-1=-f-1(x)。函数f-1(x)是奇函数。例7已知f(logax)= (a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性。解:设t=logax(xR+，tR)。当a1时，t=logax为增函数，若t1T2，则0X1X2， f(t1)-f(t2)=， 0X11， f(t1)F(T2)， f(t)在R上为增函数，当0A1时，同理可得f(t)在R上为增函数。 不论a1或0A1，f(x)在R上总是增函数。例8已知函数f(x

17、)=lg(ax2+2x+1)。(1)若函数f(x)的定义域为R，数a的取值围；(2)若函数f(x)的值域为R，数a的取值围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题。f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是。解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，当a=0时，此

18、不等式变为2x+10，其解集不是R；当a0时，有a1。 a的取值围为a1。(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或 0a1， a的取值围为0a1。例9已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ABC的面积为S。(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值围。解:(1)依题意有g(x)=log2x(x0)，并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2

19、(a+4)，C(a+8，log2(a+8) (a1)，如图6。 A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+ )。由于a1时，a2+8a9，11+ ，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 02log2(1+ )2log2，即0S2LOG2 。(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下:任取a1，a2，使1A1A21，a21，且a2a1， a1+a2+8

20、0， +8a20， +8a10， a1-a20， 11+ f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数。(4)由S2，即得，解之可得:10且a1，b1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是增函数，0A1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是减函数。(4) f-1(x)= (x0，xR)。3. (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。4log2 A1。专题辅导对数与对数函数 1本单元重、难点分析1）重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2）难点：对数定义中涉与的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和

21、应用；对数函数的图象与性质与其运用。2典型例题选讲例1已知log23=a，3b=7，求log1256的值。讲解：先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。解法1 log23=a，2a=3。又3b=7， 7=(2a)b=2ab，故56=23+ab。又12=34=2a4=2a+2。从而56=，故log1256=log12 。解法2 log23=a， log32=，又 3b=7， log37=b，从而log1256=。解法3 log23=a， lg3=alg2，又3b=7， lg7=blg3，lg7=ablg2。从而log1256=。

22、说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2已知loga3logb30，则a，b，1的大小关系是_。讲解：由对数函数的性质可知，a1，b1，关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。解法1 由loga3logb30 0 log3blog3a0 log3blog3alog31。 y=log3x是增函数，故ba1。解法2 由loga3logb30 0。 lg30， lga0，lgb0， 上式等价于0 lgblga0 lgblgalg1。 y=

23、lgx是增函数，故ba1。解法3分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。 loga3logb30， a1，b1，故y=logax与y=logbx均为增函数。又 loga3logb30，当x1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。根据对数函数的图象分布规律，可知：ba1。说明：解法1利用了logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。3容易产生的错误1）对数式logaN=b中各字母的取值围(a0且a1，N0，bR)容易记错。2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用

24、对数的运算法则时，要注意各个字母的取值围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的。二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga。3）解决对数函数y=logax (a0且a1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论。4）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，学生

25、应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考。以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN13图2中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取 ，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）。 A、 B、C、D、 4函数的单调递增区间为（ ）。 A、(-,3 B、(-,1)或3，5) C、3,+) D、(1,3)或(5, +)5设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-,0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是（ ）。 A、f(a+1)=f(b+2) B、f(a+1)f(b+2)C、f(a+1)F(B+2) D、不能确定6设方程

26、2x+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则+的值是（ ）。 A、1 B、2 C、3 D、6二、填空题：7已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值围是_； 若函数的值域为R，则k的取值围是_。8已知函数，则f(log23)的值为_。9已知a=0.33,b=30.3, c=log30.3, d=log0.33，则a,b,c,d的大小关系是_。三、解答题：10设logac, logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值。11设1）判断f(x)的单调性，并给出证明；2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；3）解关于x的

27、不等式。12光线通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后强度值为y。1）试写出y关于x的函数关系式；2）通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的以下。答案：一、选择题1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C1设3a=4b=6c=k, 则a=log3k, b=log4k, c=log6k, 同理， ，而， ，即 。2当a1时，由知，故a1；当0A1时，由知0A1。4因为，所以只求出y=|x2-6x+5| 的递减区间即可。f(x)的定义域为(-,1)(1,5)(5,+)。作出y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象。

28、如图3所示，由图象即可知。5由f(x)是偶函数，得b=0；又因为f(x)在(-,0)上是增函数，得0A1.所以0A+1，由f(x)在(0,+)上是减函数，得f(a+1)f(b+2)6将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图4所示，可知a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标。由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以A(,), B(,)。注意到A(,)在直线y=-x+3上，所以有=-+3，即+=3。二、填空题：7。要使函

29、数的定义域为R，只需对一切实数x, kx2+4kx+30恒成立，其充要条件是k=0或解得k=0或 ，故k的取值围是。要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则，解得。 故k的取值围是 。8。 1LOG234,.又当xadc,0.30，30, a=0.330, b=30.30.31, 00.31,c=log30.30, d=log0.331, a=0.33a而, , dc. 三、解答题：10依题意得：即 ， 即 。故。111）由得-1X所以f(x)的定义域为(-1,1).设-1X1X20,(1-x1)(1+x2)0, (1+x1)(1-x2)0,所以所以，又易知 ， f(x1)

30、-f(x2)0 ， 即f(x1)f(x2). 故f(x)在(-1,1)上是减函数。2）因为，所以， 即f-1(x)=0有一个根。假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0，即，这与f(x)在(-1,1)单调递减相矛盾。故是方程f-1(x)=0的唯一解。3）因为，所以 。又f(x)在(-1,1)上单调递减，所以。解得。121经过1块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=0.9a；经过2块玻璃板后光线强度为：(1-10%)0.9a=0.92a；经过3块玻璃板后光线强度为：(1-10%)0.92a=0.93a；经过x块玻璃板后光线强度为：0.9xa.所以，y=0.9xa (xN+).2由题

31、意可知：， ，两边取常用对数得：xlg0.9 ，又lg0.9 .故xmin=11.答：需要11块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的以下。 检测题 1、在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的围是（ ） A、a5或a2 B、2Aa3或3aa4 B、1 D、2 3、若logab=logba(ab)，则ab=（ ） A、1 B、2 D、4 4、若lg2=a，lg3=b，则log512等于（ ） 6、 （ ） 7、y=(0.2)-x+1的反函数是（ ） A、y=log5x+1(x0) B、y=log5x+1(x0且x1) C、y=log5(x+1)(x-1) D、y=log5(x-1)(x1

32、) 8、已知y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值围是（ ） A、（0，1） B、（1，2） C、（0，2） D、2，+） 9、若0A0且不=1) ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=ax中可以看到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于一般也不考虑。（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函

33、数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点（8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的a互为倒数是，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.y=4x因为41，所以y=4x

34、在R上是增函数；y=(1/4)x因为01/40，且a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： 负数和零没有对数; a0且a1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a0

35、,a1,M0,N0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (nR).自然对数到底有什么用？自然对数 当x趋近于正无穷或负无穷时，1+(1/x)x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828. 它用e表示 以e为底数的对数通常用于 而且e还是一个超越数 e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。 涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升

36、上的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： k=e 其中，和k为常数，是极角，是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828，是一个无限循环数。 、“自然律”之美 “自然律”是e 与由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数： (1+1/x)x 当X趋近无穷时的极限。 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 (1+1/x)x

37、X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展与衰亡的最本质的东西。 现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照

38、相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新代的过程从环境中不断吸取负熵。新代中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。 “自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（

39、如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。 e=2.71828是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德

40、螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一

41、种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质核酸结构也是螺螺状的。 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与

42、外在世界的同构对应，也就是“在”与“外在”和谐的自然基础。 有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？

43、螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构如表的游丝、机械中的弹簧等等。 “自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏有机的和无机的，在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行

44、不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载科学之春杂志1984年第4期，原题为：自然律美学家和艺术家的瑰宝） 附： 这是小数点后面两千位： e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988

45、 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389

46、 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173

47、 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310

48、 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855

49、 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532

50、 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425