导数在不等式证明中的应用[共6页]

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1、导数在不等式证明中的应用姓名： 学号： 指导老师： 摘要：本文首先给出了导数在不等式证明中的一些常用方法,随后对导数的几种性质进行描述,主要研究其在不等式证明中的应用。由于不等式证明方法和一般解题方法不同,一般解题过程中所得的结果大多数是一个等式,不等式证明过程需要得到的是一个不等式,所以我们证明时要区别对待。因此本文利用单调性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、函数的凹凸性等一些方法来证明不等式,有事半功倍的效果。本文在介绍这些定理的同时并举例说明不等式证明的解题思路与证明方法,并提供了一些不等式证明的技巧。关键词： 导数 不等式 证明 应用The application of deriva

2、tive in proving inequalitiesName: Tu Duoyong Student Number: 200840510137 Advisor: Wang Huiling Abstract: This paper first gives a derivative in proving inequalities in some of the commonly used methods, then the derivative of the several properties are described, the main research and its applicati

3、on in proving inequalities. As a result of the inequality proof method and the general method of solving problems of different, generally in the course of solving the results most is an equation, inequality proof process needs to be a inequality, we prove that when we make a distinction between. Thi

4、s paper using the monotonicity, the value, the Lagrange mean value theorem, Taylor formula, the concavity and convexity of functions and some other methods to prove inequality, multiplier effect. Based on the introduction of these theorems and examples of the proof of the problem-solving ideas and m

5、ethods of proof, and provides some inequality proof techniques.Key words: derivative inequality proof application不等式证明在高中以及大学课程中经常出现,而我们在证明不等式的时候经常会出现这样那样的问题。如果这一类问题能够得到解决的话,那么我们在解决这一类问题时就可以避免一些不必要的麻烦,提高我们解题的速度,减少解题的错误率。另外不等式证明方法很多有些简单有些又比较复杂,而我们在解题是经常会出现简单的我们想不起来复杂的我们能够想起来但解题过程会经常出错。如果我们能够形成一套系统化的简

6、单方法,这样我们在解题时即能够快速想起来又不容易出错。利用导数证明不等式比较简单,而且应用范围很广。基本上不等式都可以化成函数形式,因此我可以把不等式化成函数然后用导数求解。这样我们的解题速度会远远大于以前并且我们解决这一类问题的能力也会得到提高。1. 利用函数的单调性证明不等式不等式大多数都可以用函数的思想予以对待,为达到简化不等式的目的我们可以把不等式转化为函数,这样我们可以选择的方法就比较多了。利用函数的单调性证明不等式就是把不等式转化为函数,然后证明函数的单调性,最后利用函数单调性的结论或性质证明不等式。定理 设函数在区间（a ,b）上可导,那么在a ,b上递增（或递减）的充分必要条件

7、是在区间a ,b内成立。用单调性证明不等式的一般步骤如下： （1） 选取适当的函数,确定函数自变量所在的区间,（2） 求,确定在区间上的单调性,（3） 根据,完成目标不等式的证明。例1 求证： 当时,。证明 令,则 , 。因,所以与同号。由于满足,（）,可见,于是。由此可得在,单调增加,又。所以在单调增加,又,故,当时成立,即。评注：若已知,要证当时成立,只需证在单调增加,为此只需证即可。若直接判断当时成立不容易,常如例所作：计算和,若且,即可得出。若直接判断当时成立仍不容易,还可以继续上述过程：计算（或）,求并研究它在的符号等；也可以如例所作：去判定与同号的另一个函数在的正负号。例2 求证：

8、设,证明不等式：证明 先证右边不等式。设,因为,故当时,单调减少,又,所以当时,即 从而当时,即 再证左边不等式。设故当时,单调增加,又,所以当时,即从而当时,有即 2 利用函数的最值（或极值）证明不等式由待证不等式建立函数,通过导数极小值,再求出最大值还是最小值。从而证明不等式,这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路。定理2.1 设在点处连续,在某邻域内可导,（1） 若当时,；当时,。则在点处取得极小值。（2） 若当时,；当时,；则在点处取得极大值。 利用函数的最值（或极值）证明不等式的一般步骤如下： 1、 适当选取函数；2、 确定函数自变量所在区间；3、 求导,确定函数在区间上的极

9、值,并确定最值；4、 根据函数的最值完成不等式的证明。例3 试证当时,。分析：目标不等式可以变形为 ,选取内的极值情况证明 令,则其导函数为,进一步求导当,有。又令,得。上的极小值,且极小值,故当时,恒有 ,即 从上面的例子不难看出,用导数证明不等式较之用初等方法简单易行,思路更为清晰有利于避免不等式证明中的一些转化,放缩等问题。在不等式的证明中转化与放缩恰恰又是难点所在,所以以后遇到当函数取最大（或最小）值时不等式东成立的问题时我们可以把不等式恒成立问题化为求函数最值问题。例4 设为自然数。证明 令,则 ,令,则 , 。所以取得上的最大值： ,又因为单调减少,且,于是 。从而 ,即 。由此题

10、证明过程可以看到首先选取函数,然后对求导,得出由此可以判断出的单调性,由单调性得出在区间上的最值,然后得出我们所要证明的结论。这一题用导数证明要相对简单而且容易想到,直接证明则无从下手。3利用Lagrange中值定理证明不等式定理3.1（Lagrange中值定理） 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）内可导,则在内至少存在一点,使得 。Lagrange中值定理只肯定了在内至少有一点使等式成立,但对的确切位置未作任何断言,这并不影响定理在做理论探讨和解决问题中所起的作用。利用Lagrange中值定理证明不等式。关键是选择适当的函数和对应的区间使它满足Lagrange中值定理的条件,使

11、得 ,再利用不等式的性质即可证明这个不等式。Lagrange公式还有以下几种形式供我们在不同场合选用：；利用Lagrange中值定理证明不等式的一般步骤如下： 第一步、选择适当的函数；第二步、验证函数在区间内满足Lagrange中值定理的条件,从而得到 ；第三步、确定导函数在所讨论的区间上的单调性；第四步、分别取在区间端点上的导数值,由： , （当单调增加时）； , （当单调减少时）； 由 这个等式就得到所要求的不等式： 若当单调增加时有 或有等等。例5,设,证明不等式 证明 设内应用拉格朗日定理得： 又 故 由以上可得 即 例6 设,证明：证明 令 , , 显然函数在上连续,在内可导,由拉格

12、朗日中值定理知,至少存在一点,使得 即 ,设 当 时,所以函数在单调减少,从而 ,即 ,亦即 故 4. 利用泰勒公式证明不等式定理4.1若函数在点处存在直到阶导数,则有即 使用方法：使用泰勒展开式证明不等式主要是针对形如 等形式的函数不等式的证明,当这样的形式出现时候,观察一下不等式的变化,优先考虑使用泰勒展开式证明不等式,取相应的前几项,很容易得出所以证明的结果。例7 证明不等式。证明 令, 于是处的三阶泰勒展式： 由于, 所以 5,利用凸函数证明不等式有些初等不等式证明比较麻烦、繁琐,而利用凸函数可以达到简化不等式证明的目的,有事半功倍的效果.定义1 若函数在闭区间上连续,对闭区间上任意不

13、同 的两点,有,则称为闭区间上的凸函数.定义2 设函数定义在区间上,若对任意,01,有 , (1)则称为区间上的凸函数；若将(1)中的“”改为“”时,是上的一个严格凸函数.又若把(1)中的“”改为“”,则称是凹（严格凹）函数.容易证明：若为区间上的凸函数,则为区间上的凹函数.若在定义2中区间,为连续函数,当时,定义2即为定义1.定理5.1（割线斜率性质）：函数为区间上的凸函数的充要条件是：对,总有。定理5.2（导数及切线性质）：设为区间上可导,则下列等价：（1） 为上凸函数;（2） 为上增函数；（3） 对上任意两点,总有其中：(3)的几何意义是：曲线总位于切线之上. 定理5.3（凸函数的极值性

14、质）：（1） 设为开区间上可导的凸函数,则为的极小值点为的稳定点.（2） 设为开区间上严格凸函数,为的极小值点,则必是唯一的极小值点,因而也是最小值点.定理5.4（凸函数的推广詹森（Jensen）不等式）设为区间上的凸函数,.这时有如下詹森不等式： （2） 例8 设,证明证明 由于函数在区间上是凸函数,由凸函数的性质,有 由于不可能同时相等,从而有例9 对任何非负实数,有.证明 令,则在上是凸的,对任何的非负实数有：即 所以 以上主要叙述了用导数证明不等式常用方法,也是我证明不等式较为的简便方法。以后我们在遇到不等式证明的时候需要根据题目的相关特征选择有效的方法,尽可能用最简便的方法得到我们的

15、结论,这样我们解题的速度快而且正确率高,我们就能在解题中立于不败之地,取得事半功倍的效果。参考文献1 陈纪修,於崇华,金路,数学分析上册M.第三版上册.北京：高等教育出版社,2001.169-173.2 朱来义,微积分M.北京：高等教育出版社,2003.79-85. 3 同济大学数学系,武汉科技学院数学系. 微积分M.北京：高等教育出版社,2007.90-93. 4 廖良文,许宁,数学分析习题全解M.北京：安徽人民出版社,2004.135-150.5 钱吉林,等.数学分析解题精粹M.湖北武汉：崇文书局,2009.192193.6 华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.上册.北京：高等教育出版社,2001.150-152. 7 同济大学数学系 高等数学 第六版上册M.北京：高等教育出版社,2007.140-150. 8 毛羽辉.数学分析选讲M.第三版上册.北京：科技出版社,2003.6667.9 郝勇,李学志,陶有德.数学分析选讲M.北京：国防工业出版社,2010.6469.10 菲赫金哥尔茨格马.数学分析原理M.北京：人民教育出版社,1988.182196.知识改变命运6 / 6