矩阵微分与向量函数的Taylor展开学习教案

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1、会计学1矩阵微分矩阵微分(wi fn)与向量函数的与向量函数的Taylor展展开开第一页，共17页。2 dXXdFXFXFdXXdFdXXFXFdXFXFXFXFdXXdFXFXFdXXdFdXXFXFddXXdFdXXdFdXXFXFdXFdxxdfdXXdFxfXFXTTTmnijmnij)()()()()()()()()()(2)()()()()()(1)()()()()()()()1 . 1 . 221212121212121212121为为函函数数向向量量，则则、若若为为函函数数矩矩阵阵，、其其中中）（）（求求导导法法则则：上上式式依依然然成成立立。函函数数矩矩阵阵的的特特例例，为为

2、函函数数向向量量时时可可看看成成是是（则则为为函函数数矩矩阵阵，（考考虑虑为为标标量量时时当当 第1页/共16页第二页，共17页。3 TnTTnTndXXdFxFxFxFdXXdFxFxgradFXFxFxFxFdXXdFFxxxXX )()(2)1()()()()(2 . 1 . 2212121）式。）式。、（、（求导法则类似求导法则类似。或或的梯度，记为的梯度，记为是是为标量函数时为标量函数时一、一、为向量时，为向量时，第2页/共16页第三页，共17页。4 ）矩矩阵阵。（式式中中的的矩矩阵阵称称为为雅雅可可比比为为函函数数向向量量时时二二、JacobixFxFxFxFxFxFxFxFxFx

3、FxFxFxFdXXdFdXXdFXFXFXFXFFnmjinmmmnnnTTm)3()3()()()()()()(2122212121112111 第3页/共16页第四页，共17页。5TTTnmnnmmTnTTTTdXXdFdXXdFxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFdXXdF )()()(21222211121121可见可见第4页/共16页第五页，共17页。6 )4()()()()()()()()()()()()()()()()()(1221212121XFdXXdFXFdXXdFdXXFXFdXadXXdFXaXFdXXdadXXFXaddXXdFdXXdFdXXFXFdT

4、TT为标量函数）为标量函数）求导法则：求导法则： 第5页/共16页第六页，共17页。7运运算算时时应应加加转转置置。等等式式两两边边作作移移乘乘或或移移除除时时，当当IdXdXdXXdFIdXdXdXdXdXXdFXXFTTT)()()( 第6页/共16页第七页，共17页。8 ln2121)()()()()()()()()()()( mnTTlnmnlmijxXFxXFxXFdXXdFxXFxXFxXFdXXdFXFXFXF为函数矩阵时，为函数矩阵时，三、三、第7页/共16页第八页，共17页。9 nmnmmnijxXFxXFxXFxXFdXXdFXXX)()()()()(3 . 1 . 211

5、11为矩阵时，为矩阵时，第8页/共16页第九页，共17页。10yzdxdyxzdxdzdxdyyzxzdxdzdxdzxyyxyzzdydzdxdydxdzdxdydydzdxdzdxdzxyyyzzdtdydydzdtdztyyyzzftlmnzyxTTTTTTTTTTTTTTT ,),(),(,),(),(),(),(4 . 1 . 2则则设设三三、则则设设二二、则则一一、设设为为标标量量函函数数为为标标量量自自变变量量，维维列列向向量量、分分别别表表示示、设设复复合合函函数数的的导导数数第9页/共16页第十页，共17页。11 TTTTTTmTnuxHxuHuuuxxxuxuHxuHuxH

6、xHuxuuHxxHuxHuxHTayloruxuxHuuuumxxxxnuxHTaylor 220022222200002121,21),(),(),(),(),(5 . 1 . 2 其中其中高阶项高阶项展开式为展开式为处的处的在点在点的标量函数，的标量函数，维向量维向量和和维向量维向量是是一、设一、设展开展开向量函数的向量函数的第10页/共16页第十一页，共17页。12 0000002121,),(),(),(),(),(uuuxxxuuFxxFuxFuxFTayloruxuxFuuuumxxxxnuxFTmTn 其其中中高高阶阶项项展展开开式式为为处处的的在在点点的的函函数数向向量量，则

7、则维维向向量量和和维维向向量量是是设设二二、第11页/共16页第十二页，共17页。13 00)(0)(0)()()(1 . 2 . 21 . 2 . 22 . 2*22*21xxxTndxfddxdfxxfxfdxdfxxfxfxxxxxnxf条条件件：处处取取相相对对极极小小值值的的必必要要在在或或件件：处处取取极极值值的的一一阶阶必必要要条条在在取取极极小小值值。，使使求求，的的标标量量函函数数维维向向量量是是问问题题向向量量函函数数的的无无条条件件极极值值函函数数极极值值的的基基本本理理论论第12页/共16页第十三页，共17页。14 22221222222122122122122222*

8、00)(*nnnnnxxxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfdxdfdxddxfddxfddxdfxxf其其中中条条件件：处处取取相相对对极极小小值值的的充充分分在在第13页/共16页第十四页，共17页。15 0)()(,0)()(,)()()()()()(2 . 2 . 2*1*21*212121 dxxdgdxxdfxxgxfdxdgdxdgdxdgnpxgxgxgxgxxxxxgxfipiippTpTn ，使使得得，数数，则则必必有有不不同同时时为为零零的的为为条条件件下下的的相相对对极极小小值值解解在在等等式式约约束束线线性性无无关关。若若，且且向向量量组组，可可微微，连连

9、续续及及函函数数向向量量量量函函数数拉拉格格朗朗日日定定理理：假假设设标标数数的的极极值值等等式式约约束束条条件件下下向向量量函函第14页/共16页第十五页，共17页。16 mixgmimixgdxxdgdxxdfxxgxfdxdgdxdgdxdgxgxgxgxgxxxxxgxfiiiiimiimmTmTn, 2 , 1, 0)()4(, 2 , 1, 0)3(, 2 , 1, 0)()2(0)()()1(0)()(,)()()()()()(3 . 2 . 2*1*21*212121 立立：，使使得得下下列列必必要要条条件件成成，的的数数，则则必必存存在在不不同同时时为为零零为为条条件件下下的的相相对对极极小小值值解解在在不不等等式式约约束束线线性性无无关关。若若且且向向量量组组，可可微微，连连续续及及函函数数向向量量标标量量函函数数库库恩恩图图克克定定理理：假假设设函函数数的的极极值值不不等等式式约约束束条条件件下下向向量量第15页/共16页第十六页，共17页。NoImage内容(nirng)总结会计学。16第十七页，共17页。