圆锥曲线---教师版

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1、2019 届考点分类汇编 -圆锥曲线一、椭圆1、椭圆的定义的应用：椭圆方程的第一定义：动点到两个定点的距离之和大于两个定点之间的距离。PF1PF22aF1 F2 方程为椭圆，注意：在判断时千万别漏了PFF，否则扣分。121（椭圆定义的识别） F1、F2 是定点，| F1F2|=6 ，动点 M满足 | MF1|+| MF2|=6 ，F1F2则点 M的轨迹是（C）A椭圆B直线C线段D圆2.（椭圆定义的应用） 【辽宁省沈阳市东北育才学校2015 高三上学期第一次阶段考试】平面内有一长度为 4的线段 AB,动点 P满足|PA| |PB|6 ,则 | PA |的取值范围是（A）A1,5B.1,6C. 2

2、,5D. 2,63.（椭圆定义的识别）【黑龙江省牡丹江一中 2015高 三 上 学 期 期 中 】 平 面 上 动 点 A(x,y) 满 足xy1,B(-4,0),C(4,0),则一定有（B）53A ABAC 10B ABAC10C. ABAC10D ABAC 10x 2y21上的一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点 ,O 为原点 ,4（中位线 +椭圆定义） 已知椭圆925则| ON| 等于（ B）（A）2（B） 4（C） 83（D ）25.（椭圆第二定义） 【 2012 全国 1，文 5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x 4，则该椭圆的方程为 (C)A x2y

3、21x2y21x2y21x2y 21612B 8C4D 11281246、 （中位线与椭圆的定义）x2y2已知椭圆 C：1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的43对称点分别为A， B，线段 MN 的中点在 C上 ，则 | AN | | BN |8（利用中位线 +定义）17、 （椭圆定义的应用） （ 2010 惠州三模） 如图，把椭圆x2y21的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点2516作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1, P2, P3,P4, P5, P6,P7七个点，F 是椭圆的一个焦点PF1P2FP3FP4FP5FP6FP7F352、椭圆内过焦点的三类三角形：（

4、 1）椭圆中两个重要的三角形 -焦点三角形如右图： F1 F2 为焦点， P 为椭圆上的动点，则称PF1F2 为焦点三角形，周长为PF1PF2F1F22a 2cF1F2（ 2）参数三角形： 短轴端点、焦点、原点所构成的三角形，刚好就是满足参数 a2 b2 c2 的直角三角形（ 3）焦点三角形：若P 是椭圆： x 2y 21上的点 . F,F2为焦点，若FPF2，则PF F2的面积为a 2b2111b2 tan （用余弦定理与PF1 PF 22a 可得） .2（4）以其中一个焦点为角A 的顶点，另外两个角B、 C 的顶点在椭圆上，且另外一个焦点在BC 边上，则该焦点三角形的周长为4a（ 5）椭圆

5、中的通径：通径是是指在圆锥曲线中过焦点最短的弦，一般椭圆是垂直于长轴， AB F1 F2 ，双曲线垂直于实轴，F1OF2抛物线垂直于对称轴。而且椭圆和双曲线的通径长度都是AB2b2a实际上常常在解题中用到半通径AF1b2AB2 p， 而抛物线的通径a1.（双曲线的通径）【广州市珠海区2014 年高三8 月摸底考试7】已知抛物线 y24x 与 双曲线x2y21 a0, b0有相同的焦点 F ，点 A 是两曲线的一个交点，且AF x 轴，则双曲线的离心率a2b2为(D).A22B51C3 1D 2+12. （双曲线的通径）【浙江省嘉兴市2015 届高三 9 月学科基础测试，理10】经过双曲线的一个

6、焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与A，B 两点，交双曲线的渐近线于P，Q 两点，若 |PQ |2 | AB |，则双曲线的离心率是（D ）A2B3C32D232323.【 2017 课表 1，文 5】已知 F 是双曲线 C： x2y 21 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点3A 的坐标是 (1， 3)，则 APF 的面积为D11C23AB3D 3224、 ( 椭圆通径 +抛物线定义 ) (2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）理8) 已知抛物线y22 px （ p 0 ）与椭圆 x2y21（ ab0）有相同的焦点F ，点 A 是两曲线的一个公共点，且a2b

7、2AFx 轴，则椭圆的离心率为_ 21（ 6）解析几何中常常用到的一个定理：直角三角形射影定理，就是在直角三角形中，直角边的平方等于该直角边在斜边上的投影与斜边的乘积， 斜边上高的平方等于两直角边在斜边上投影的乘积。1.（余弦定理 +解方程） F1,F2是椭圆 x 2y21的两个焦点 , A 为椭圆上一点 ,且 AF1 F2450,则97AF F的面积为（C）A 7B7C7D 75124222、【 2011 年新课标卷理14】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F , F在x轴12上，离心率为2。过 F1 的直线L交C于A, B两点，且，那么C 的方程为2V ABF2

8、 的周长为 16x2y2。,16183、【 2015 年新课标1 卷理14】 一个圆经过椭圆 x2y21的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆164的标准方程为。 ( x3) 2y225244【 2017 河北唐山高三年级期末,15 】设 F1 ,F2 为椭圆C :x2y2b0 的左、右焦点， 经过 F1 的a2b2 1 a直线交椭圆 C 于 A, B 两点，若F2 AB是面积为43 的等边三角形，则椭圆C 的方程为 x2y219633、椭圆的离心率：（1）焦距直径圆：即是在椭圆中以焦距为直径，圆心在原点的圆。1、已知椭圆 C1 : x2y21(ab0) 与圆 C2 : x2y2b2 ，若在椭

9、圆 C1 上存在点 P，使得由点P 所作a2b2的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆C1 的离心率的取值范围是（C ） 来源 :Zxxk.Com1B2,3 C 2D 3,1)A ,1)2,1)2222222、（ 2017 广州一模） 已知 F1 , F2分别是椭圆 C : x2y21 ab0 的左, 右焦点 , 椭圆 C上存在点 Pab使 F1PF2为钝角 , 则椭圆 C 的离心率的取值范围是A（ A ）2,1（ B ）12（D） 0,12,1（C） 0,2223.（巧妙构造圆） 【邢台市第二中学 2015 高二上学期第二次月考】已知F1、 F2 是椭圆的两个焦点 ,满足MF1 MF20,则

10、椭圆的离心率的取值范围为(0,2的点总在椭圆的内部（不包括边界）)24【. 2017 课标 1，文 12】设ABCx2y21长轴的两个端点， 若C上存在点M满足AMB =120 、 是椭圆：m，3则 m 的取值范围是AA (0,19,)B (0,39,)C (0,14,)D (0,34,)（ 2）离心率作为一个比值：大多数是使用几何转化法得到 a, b,c 的关系式，然后使用赋值法计算（2018全国新课标文）已知椭圆C： x2y21的一个焦点为(2 ，0) ，则C的离心率为（C）1a2411C2D2 2AB322342 文 5】设椭圆 C : x222、【 2013年新课标卷2y21(a b0

11、)的左、右焦点分别为F1,F2， P 是C上的ab点， PF2F1F2 ，PF1F230 ，则 C 的离心率为（D）（A）3（ B）1（ C）1（ D）363233、【 2011 年新课标卷文4】 椭圆 x2y21的离心率为 D1681B.1C.3D.2A.2323是椭圆 E : x2y23a4、【 2012 年新课标卷理4 文 4】设 F1F21(ab0) 的左、右焦点，P 为直线 xa2b22上一点，F2PF1 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（C）( A)1(B)2(C )( D )235. （几何特征巧妙转换）【2012 全国新课标，文4】设 F1， F2 是椭圆 E： x

12、2y21 ( a b 0) 的左、右a2b23aE 的离心率为 (C )焦点， P 为直线 x上一点， F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则212C34AB D52346. 【 2017 课标 3，理 10】已知椭圆 C： x2y21，（ ab0）的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2a2b2为直径的圆与直线bxay 2ab0相切，则 C的离心率为A6B321A3CD3337（2018 全国新课标文） 已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1PF2 ，且 PF2 F1 60，则 C 的离心率为（D ）3B2331D31A 1C225（2018

13、全国新课标理） 已知 F1 ， F2是椭圆 C：x2y21( ab0) 的左、 右焦点，A是 C 的左顶点，8a2b2点P在过 A且斜率为3的直线上， PF F 为等腰三角形，F1F2 P120 ，则C的离心率为 （ D ）126A.21113BCD2349.已知椭圆 E： x2y23 ，并且经过定点（设比例因子的运算技巧）221 a0,b0的离心率 eab2P(3, 1)2（）求椭圆E 的方程；（2）中点弦方程：往往使用点差法，但较为麻烦。熟悉四线一方程将方便很多椭圆、双曲线中点弦的结论：对于定点P x0 , y0， P 为弦 AB 的中点。椭圆 x2y21中点弦方程为：x0 xy0 yx0

14、2y02a2b2a2b2a2b2双曲线 x2y21 中点弦方程为：x0 xy0 yx02y02a2b2a2b2a2b2， x0x 代 x ， y0y 代 y ，常数不变，右边左边规律与与切线、切点弦一样，用x0 x 代 x2， y0 y 代 y222就是将点代入方程所得的常数。x2y21.（点差法）【 2013 年新课标卷1 理 10】已知椭圆 a2 b2 1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为(D )x2 y2 1B、 x2 y2 1C、 x2 y2 1D、 x2 y2 1A、453636272718

15、18 92、【弦中点：点差法】若双曲线的中心为原点 ,F(3,0)是双曲线的焦点 ,过 F 的直线 l 与双曲线相交于P ,Q两,且PQ的中点为 M(12,15),则双曲线的方程为(D)点A.x 2y2B.x2y2Cx 2y21x 2y 2315163D.1644563、 （弦中点问题： 点差法）【湖北省部分重点中学2014-2015 学年度上学期高三起点考试13】过点 M (1,1)作斜率为1 的直线与 椭圆 C ： x2y21(ab 0) 相交于 A,B，若 M是线段 AB的中点，则椭圆 C 的离2a2b2心率为.来源 : 学+科+ 网Zx224（ 2018 浙江）已知点 P(0，1)，椭

16、圆+y =m(m1)上两点 A，B 满足 AP =2 PB ，则当 m=_5_时，4点 B 横坐标的绝对值最大二、双曲线1、双曲线定义的运用、双曲线基本元素-实轴、虚轴、焦距PF1 PF22aF1F2 方程为双曲线，注意：在判断时千万别漏了FF1 2，否则扣分。分析理解： 如下图所示，PF1F2 中，两边之差 PF1 PF2 小于第三边F1 F2 ，故当 PF1PF2 2a F1 F2是双曲线。PF1PF22a F1F2 不可能，故无轨迹。 PF1PF2 2aF1 F2轨迹为线段 F1F 21.（实轴虚轴的判别） （ 2011 安徽理 2）双曲线 2x2y28 的实轴长是C（A） 2（B） 2

17、2（C） 4（D）4 22. （构成双曲线的参数条件）如果方程x 2y21表示双曲线，则实数m 的取值范围是（A ）m2m1A.(2,1)B. (,2) (1,)C. ( 1,1)D.(3,2)73（双曲线辨别参数意义） （ 2013年高考湖北卷 （文）已知 0, 则双曲线 C1 :x2y21与C2:4sin2cos2y2x21 的（ D ）A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等cos2sin22、双曲线渐近线、焦点三角形（ 1）双曲线中的一些基本概念： 注意和椭圆的相关概念的区别，很容易混淆当焦点在 x 轴上：方程为：x2y21顶点：(a,0), ( a,0)焦点：(c,0), (

18、c,0)准线方程 xa 2a2b2c渐近线方程：yb xa当焦点在 y轴上：方程为： y2x21顶点： ( 0,a), (0, a) .焦点： (0, c), (0,c ) 准线方程： ya 2.a2b2c渐近线方程：ya xb特别提醒：焦点在x 轴上和 在 y 轴上的渐近线是不一样的221、（基本渐近线方程的识别） （2013 年高考课标 卷（文 4）已知双曲线 C : x2y21 (a0, b0) 的ab离心率为5, 则 C 的渐近线方程为CA y1 x B y1 x C y1 xD yx2432（渐近线的斜率和倾斜角）(广东省江门市2015届高三3月模拟考试数学理5)双曲线 C ： x

19、2212.y4的两条渐近线夹角（锐角）为，则 tan（D ）A8B153D4来源:学. 科.网C158433.（渐近线的概念）【湖北省部分重点中学2014-2015 学年度上学期高三起点考试8】已知 ab ，椭圆 C1的方程为 x2y 21，双曲线 C2 的方程为 x2y21， C1 与 C2 的离心率之积为3 ，则 C2 的渐近线方a2b2a2b22程为 (A).A .x2y 0B.2x y 0C.x2 y 0D.2x y 04.【2017天津，文】已知双曲线x2y21(a0, b0) 的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，5a2b2 OAF 是边长为2 的等边三角形（O 为原点），

20、则双曲线的方程为D（A） x2y21 （ B） x2y21（ C） x2y 21（ D） x2y214121243385.（双曲线定义的巧妙应用）【湖南省益阳市箴言中学2015 高二 9 月月考】已知平面上两点M5,0和N 5,0 ,若直线上存在点P使 PMPN6,则称该直线为 “单曲型直线 ”,下列直线中是 “单曲型直线 ”的是（ B） y x 1; y 2 ; y4 x ; y 2x 1.3A.B.C.D.6、（双曲线定义 + 构造三点共线求最值） （ 2012湛江二模理）设 F 是双曲线的左焦点， A(1 ，4) ， P 是双曲线右支上的动点，则|PF| +|PA|的最小值为DA.5 B

21、.C. 7D. 9、（双曲线定义的运用）如图2所示， F 为双曲线 C : x 2y 21的左7916焦点，双曲线 C 上的点 Pi 与 P7 ii 1,2,3 关于 y 轴对称，则 P1FP2 FP3 FP4 FP5 FP6 F 的值是（C）A 9B 16 C18D 271，理 5】已知 M（ x0 , y0 ）是双曲线 C：x28（.数形结合极端临界法或者设而不求）【 2015 高考新课标y212上的一点，F1 , F2 是 C 上的两个焦点，若MF1MF20 ，则 y0 的取值范围是 ( A)（A）（-3， 3）（B）（-3， 3） （C）（2 2，2 2） （D）（2 3，2 3）33

22、6633339.(2018全国新课标文、理）x2y21( a 0, b0) 的离心率为3 ，则其渐近线方程为（A）双曲线b2a2A y2xB y3xC y2xD y3x2210、（数形结合寻找三角关系） （2016年高考天津卷理）已知双曲线 x2y 2=1（ b ），以原点为圆心，双4b20曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、 、 、 四点，四边形的的面积为2 ，ABCDABCDb则双曲线的方程为（D）（A） x222222223y=1（B）x4 y=1（ C） xy2 =1 （D） xy=144434b41211（极端临界分析法） （ 2016年高考浙江卷文）2y2F，F若

23、点 P设双曲线 x =1 的左、右焦点分别为312在双曲线上，且12 为锐角三角形，则|1|+|2| 的取值范围是 _F PFPFPF(27,8)912【.2015 高考浙江，理 9】双曲线 x2y21的焦距是 2 3，渐近线方程是y2x2213、（特征识别+2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy中， P 为双曲线x2y21极限化归思想） 【右支上的一个动点。若点P 到直线 x y 10 的距离大于 c 恒成立，则是实数c 的最大值为2.214、（合理拆分来配合定义）已知 F1、 F2 是双曲线x2y2116=1 的焦点， PQ是过焦点F 的弦，那么9PF2 + QF2- PQ的值是1

24、615. （角平分线定理 +双曲线定义解方程组） 【 2011 全国 1，文 16】已知 FF 分别为双曲线C:x2y2-=11、2927的左、右焦点，点A C，点 M的坐标为 (2 ， 0) ，AM为 F AF 的平分线则 | AF| = 6 .122（2）焦点到渐近线的距离为参数bx2y21 的右焦点与抛物线21.（ 2012 高考真题福建卷） 已知双曲线b2y =12x 的焦点重合，则该双曲线的焦4点到其渐近线的距离等于AA.5B. 42C.3D.52.（ 双 曲 线 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 等 于 参 数 b ）【 2014课标，理 4】已知 F 为双曲线C :x2my23

25、m(m0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为（A ）A.3B. 3C.3mD.3m3（ 2018 江苏） 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2y21(a0,b0) 的右焦点F (c,0)到一条渐近a2b2线的距离为3 c ，则其离心率的值是 224（ 2018 天津文、理） 已知双曲线x2y21(a0, b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直a2b2线与双曲线交于A, B 两点 .设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和 d2，且 d1d26,则双曲线的方程为（A）（ A） x2y21 （ B） x2y21 （C） x2y21（D） x2y2139

26、9341212410（2018全国新课标文） 已知双曲线 C： x2y21(a0，b0) 的离心率为2 ，则点 (4,0) 到 C 的5a2b2渐近线的距离为（D ）A2B 232D2 2C2（3）焦点三角形面积公式： 若 P 是双曲线 x222y21： 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若F 1PF2，ab则 PF1F2的面积为 b2 cot21.（利用定义 +韦达变换 +余弦定理或者用焦点三角形面积公式）【 2010 全国 1，文8】已知FF为双曲1、2线 C： x2 y2 1 的左、右焦点，点 P 在 C上， F1PF2 60，则 | PF1| |PF2| 等于 (B)A 2B 4C 6D 82【 2017 广东高 三上学期阶段测评 （一），8】已知双曲线x2y21 a0 ，b0的左、右焦点分别为F1，F2 ，a2b2且 F2为抛物线 y224x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若 PF1 F2 的面积为36 6 ，则双曲线的方程为（ A）A x2y21B x2y21C.x2y21D x2y219272791699163【 2017 四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测,8 】已知双曲线 x2y21，点 F1 ， F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若F1 PF260 ，则三角形 F1PF2的面积为（ C ）A 2B2 2C 3D2 3（