教研组教案(高二文)：椭圆

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1、椭圆【教学目标】一、知识目标1、学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2、能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程；3、掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质；4、够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图。二、能力目标1、通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；2、培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力，并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.三、情感目标1、通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；2、通过讨论椭圆方程推

2、导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.【教学重点】1、椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程；2、对椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质的探索及运用。【教学难点】1、椭圆标准方程的建立和推导；2、椭圆离心率的概念的理解.【知识梳理】1、椭圆的定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。注意：时，符合上述题意的轨迹是椭圆；时，符合上述题意的轨迹是线段；时，符合上述题意的轨迹不存在。2、椭圆的标准方程1）椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）焦点坐标或（）（焦点在y轴上）焦

3、点坐标2）a,b,c间的关系：（焦点位置的判定方法：分母哪个大，焦点就在哪个轴。）3、椭圆的几何性质标准方程 图形性质焦点，范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长、焦距长轴长=，短轴长=，焦距离心率准线方程4、离心率椭圆的焦距与长轴的比：，叫做离心率。注意：（1）e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；（2）e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆；当e1时，图形变成了一条抛物线。【典型例题】题型一、椭圆的定义例1：已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）A B C

4、 D【解析】选D. 椭圆 a5P到椭圆一个焦点的距离为3 P到另一焦点的距离为：2a37例2：过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形ABF2的周长是 .【解析】。 a2= a 则AF1+AF2=2a=，BF1+BF2=2a=，相加；且AF1+BF1=AB所以周长=AB+AF2+BF2=题型一变式、椭圆的定义的应用变式1：椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON| 等于() A2 B4 C8 D.【解析】 选B。 连接MF2，已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8，如图，|ON|MF2|4.变式2：（201

5、1青岛模拟）已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.【解析】 3。由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2. |PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29. b3.题型二、椭圆的标准方程例1：（1）已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是_（2）已知焦点坐标为(0, 3), (0, 3)，且a=6的椭圆方程是_【解析】（1）根据题意知a=4，b=1，焦点在x轴上a2=16,

6、 b2=1 椭圆的标准方程为：（2）根据题意知a=6，c=3，焦点在y轴上a2=36, c2=9 =16, b2= a2- c2=27 椭圆的标准方程为：例2：两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点。求该椭圆的标准方程。【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知：2a=a=，又c=2 b2=a2c2=6所以所求椭圆方程为【点评】注意焦点的位置，已知椭圆的特征，只要运用待定系数法，求出,c例3：已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程【解析】因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求

7、得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为题型二变式、含字母的椭圆的标准方程变式1：已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值【解析】分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故变式2：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）AB（0，2）C（1，+）D（0，1）【解析】选D。 xky=2即为x/2y/2/k=1，所以焦点在y轴上，则2/k2，则0k16时，a=，b=4， c2=m-16,则，得m=18题型三变式、

8、性质的应用变式1：如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A） （B） （C） （D）【解析】选A。 2c、2b、2a成等差数列,不妨设ab0所以2*2b=2c+2a， 2b=c+a， 4b2=(a+c)2， 4(a2-c2)=a2+c2+2ac， 3a2-5c2-2ac=0两边同除以a2得3-5e2-2e=0 解得e=3/5,e=-1(舍)变式2：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A B C D 【解析】因为，再由有从而可得，故选B【点评】椭圆离心率的考查是一个常考点，它是圆锥曲线之间联系的关键点，一定要记得其定义和公式。变式3：椭圆的

9、半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【解析】由题知点，因为点在椭圆上，所以，化简得，又因为，所以，化简得，同除以得，解得， 因为，所以 ，故选C【点评】本题的关键是根据已知条件得到、的等量关系若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，还可有其他稍微简便的解法变式4：(2012武汉质检)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_【解析】答案。设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为直角三角形，114a，则a， 设|FA|x，x，124c2， c，e.变式5

10、：已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 【解析】解析依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。【点评】此题考查椭圆定义的灵活运用，注意结合其它相关知识点。题型四、椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1：已知实数满足,求的最大值与最小值。【解析】把看作的函数解：由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6例2：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_【解析】解：由椭圆的对称性知： 题型四变式、利用椭圆性质求最值变式1：椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_【解析】把动点到直线的距离表示为某个变量

11、的函数，利用三角换元解：在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：变式2：是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值【解析】解：当时，取得最大值，当时，取得最小值变式3：已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_【解析】解：设，则题型五、用椭圆的定义求轨迹方程例1：已知动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点的距离的等差中项为.求曲线的方程【解析】解：因为到两定点距离的等差中项为，那么到两定点距离的和即为，所以曲线C的轨迹是一个椭圆，其焦点为易得，短半轴为b=1，那么其方程为例2：已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程

12、【解析】分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：【点评】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法题型五变式、求一般轨迹方程变式1：知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹【解析】本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹解：设点的坐标为，点的坐标为，则，因为在圆上，所以将，代入方程得所以点的轨迹是一个椭圆【点评】此题是利

13、用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为，设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握变式2：点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹.【解析】设点P坐标（x,y)故P点的轨迹方程是椭圆，题型六、直线与椭圆的位置关系例1：已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长【解析】可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求

14、解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而例2：已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为题型六变式、点差法与设而不求方法的应用变式1：已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程【解析】解：方法一：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理得 设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二

15、：设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即直线方程为方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，。 从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，直线方程为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？变式2：已知直线yx2和椭圆1(ab0)相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|2，直线OM的

16、斜率为，求椭圆的方程【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则得：. kAB. 又kOM，由得a24b2.由得：x24x82b20， x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24. 故所求椭圆方程为：1.题型七、椭圆的综合应用例1：已知椭圆.（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两

17、端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例2：（2011北京）已知椭圆G：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值【解析】（1）由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率（2）可设出直线方

18、程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值解：（1）由已知得，a2，b1，所以c.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为e.（2）由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为，此时|AB|.当m1时，同理可得|AB|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，

19、且当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.【点评】（1）求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率（2）弦长公式l|x1x2| .【方法与技巧总结】1椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.2求椭圆方程两种方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件

20、确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程3三种技巧（1）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.（2）求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)（3）求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴【巩固练习】1椭圆的焦距是（ ）A2BCD2F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）A椭圆B直线C线段D圆3椭圆的两个焦点分别是F1(-8

21、，0)和F2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是 ( )A.3x2+=1 B.+=1 C.+ =1 D. +=14 (2012兰州调研)“3m5”是“方程1表示椭圆”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）ABCD6若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为（ ）ABCD以上都不对7椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）ABCD 8若F是(ab

22、0)的一个焦点，MN是过中心的一条弦，则DFMN面积的最大值是（ ）A.ab B.ac C.bc D. 9过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为 （ ） A B. C. D.10设P是直线上的点，若椭圆以F1（1，0）F2（2，0）为两个焦点且过P点，则当椭圆的长轴长最短时，P点坐标为 .【课后作业】一、选择题1. 已知F1、F2是两定点，动点M满足,则动点M的轨迹是（ ）A.椭圆 B直线 C圆 D线段2椭圆两焦点为 、 ，P在椭圆上，若 的面积的最大值为12，则椭圆方程为 （ ）A B C D3椭圆 的左焦点为F， 是两个顶点，若F到直线AB的距离是，则椭圆的离心率是 （ ） A

23、B C D4椭圆 的焦点为 和 ，点P在椭圆上，如果线段 的中点在 y轴上，那么 是 的 （ ） A7倍 B5倍 C4倍 D3倍5设是椭圆上的一点，为焦点，且，则的面积为 （ ）ABCD166椭圆 的焦点在y轴，则 （ ） A B且 C且 D且7椭圆 的焦点坐标是 （ ） A B C D 8已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 （ ）A. B.3 C. D. 9到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是 （ ） A B C D10已知椭圆的离心率为，分别是它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端

24、点，则等于 （ ）ABCD二、 填空题1椭圆的焦点为,点P在椭圆上，若 。2在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，的最大值为 3已知点p(x, y）在椭圆上，则的最大值为 。4椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时,点横坐标的取值范围是 。三、解答题1、已知y21表示离心率为的椭圆，求椭圆方程2、在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。（）写出的方程; （）若，求的值。3、已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。分)【拓展训练】1(2012淮南五校联考)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或212(2011全国新

25、课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_3、(2011天津)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程【参考答案】【巩固练习答案】1A 2C 3C 4B 5C 6C 7B 8、C 9、D 10 【课后作业答案】一、选择题 1、D 2、B 3、A 4、A 5、A 6、C 7、D 8、D

26、 9、C 10、C 二、填空题1、 2、2 3、8 4、三、解答题1、解：解当a21时，半焦距为，所以，解得a2，方程为y21.当a21时，同理可得1a2，a2，方程为y21.综上所述，所求的椭圆方程为y21或y21.2解:（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（）设，其坐标满足 消去y并整理得，故若，即而，于是，化简得，所以3、解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，则即【拓展训练答案】1、答案 C 解析:若a29，b24k，则c ，由即，得k；若a24k，b29，则c ，由，即，解得k21.2、答案1解析：根据椭圆焦点在x

27、轴上，可设椭圆方程为1(ab0)e，根据ABF2的周长为16得4a16，因此a4，b2，所以椭圆方程为1.3、解析：（1）设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.（2）由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解为不妨设A，B(0，c)，所以|AB|c. 于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.(10分)因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520. 得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.