高中数学第一章推理与证明单元测试北师大版选修2-21

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1、第一章推理与证明单元检测（时间：45分钟，满分：100分）、选择题（每题5分，共40分）1 .观察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是 （）.A.D.2 .数列5,13,25 , x,61 ,中的x等于（）.A. 35B. 39C. 41D. 533 .某个命题与自然数 n有关，若n = k（ke N）时该命题成立，那么推得当n = k+1时该命题也成立，现已知当 n = 5时该命题不成立，那么可推得 （）.A.当n = 6时该命题成立B.当n = 6时该命题不成立C.当n=4时该命题成立D.当n = 4时该命题不成立4.用数学归纳法证明当 n为正奇数时，x+ 1能整除xn+

2、1”的第二步假设递推过程 时，正确的是（）.A.假设当n = k（k C N +）时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立B.假设当n = k（k是正奇数）时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立C.假设当n = 2k+1（kC N+）时命题成立，证明当 n = k+1时命题也成立D.假设当n = k（k是正奇数）时命题成立，证明当 n = k+2时命题也成立5.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：加密密钥 密文发送解密密钥密文明文.现在加密密钥为y = log a(x+2),如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得

3、到明文“ 6 ”问：若接受方接到密文为“ 4 ”，则解密后得到明文为()A 12B 13C 14D 156 如图， 圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5 五个点 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一 个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上， 则下一次跳两个点该青蛙从5 这点跳起，经2 011 次跳后它将停在的点是()A 1B 2C 3D 47 如下图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1 大拇指， 2 食指， 3 中指， 4 无名指，5小指，6无名指，一直数到 2 008时，对应的指头是().A.食指B.中指C.无名指D.小指8.如图甲，在平行四边形 ABCD中，有

4、AC2+BD2 = 2(AB2 + AD2),那么在图乙所示的平行六面体 ABCD-AiBiCiDi 中，ACi2+BDi2+CAi2+DBi2 等于().A. 4(AB2+AD2+AAi2)B, 3(AB2 + AD2 + AAi2)C. 2(AB2 + AD2 + AAi2)D, 4(AB2 + AD2)二、填空题(每题5分，共15分)一、，19 .已知数列an的通项公式 an=2(nCN+), f(n)= (1 ai)(1 a2)(1 an),(n 1)试通过计算f(1), f(2), f(3)的值，推测出f(n)的值是10 .有一个奇数列1,3,5,7,9 ,，现在进行如下分组，第一组

5、含一个数1,第二组含两个数3,5,第三组含三个数7,9,11,第四组含有四个数13,15,17,1 9现观察每组内各数之和y与其组的编号数n的关系为 11 .已知：sin230 Hsin290 Hsin 2150 , sin25 4sin 265 -Sin 2125 二 .22通过观察上述两等式的规律，请你归纳猜想出一般性的命题 三、解答题(每题15分，共45分)12 .已知：a, b, c是全不相等的正实数，求证： b c a a c b a b c a b c3.13 . (2012福建高考，理17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213 4cos21

6、7 -sin 13cos 17 ;sin215 4cos215 -sin 15cos 15 ;sin218 4cos212 -sin 18cos 12 ;sin2(-18 )c os2 48 -sin(一18 )cos 48sin2(一25 )c Os2 55 -sin(一25 )cos 55(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.14 . Pi(xi, y1)，P2(X2, y2),，Pn(Xn, yn)(0 0) 上的n个点，点 Ai(ai,0)(i=1,2 , 3,，n)在x轴的正半轴上，且 AiAiPi

7、是正三角形(A。 是坐标原点).(1)写出 a1 , a2, a3；(2)求出点An(an,0)(n C N+)的横坐标an关于n的表达式并证明.1 .答案：B 解析：从图案的颜色和形状分析.2 .答案：B解析：相邻的数字之差（后项减前项）形成的数列为：8,12 , x 25,61 x, 而61 25 =36,猜想这个新数列是 4的倍数构成的，则 41 25 =16,61 41 =20,刚好 满足条件，所以选择 C.3 .答案：D 解析：利用逆否命题的等价性可知D正确.4 .答案：D 解析：连续的两个奇数相差 2.5 .答案：B 解析：由明文“6”通过加密后得到密文“a=23”知6 .答案：A

8、 解析：记an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则 a1 = 1 , a2=2, a3= 4, a4= 1, a5=2, a6 = 4,，显然an是一个周期为 3的数列，故 a2 011=21 = 1.7 .答案：A 解析：根据每个手指头上的数的特征判断.8 .答案：A解析：已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于从同一顶点出发的两 条边的平方和的 2倍，利用类比推理可知，空间中，平行六面体的体对角线的平方和等于9.n 22(n 1)从同一顶点出发的三条棱的平方和的4倍.解析：f(1) = 1 -a1 = 1 - 1 3 , 4 4工工 .13 824f(2)=(1 -21)(1 -a2)=f(1

9、)1 -94 9 36工工.12155f(3)= (1-a1)(1-a2)(1a3) =f(2)1-,n 2由此猜想，f(n)=2(n 1)10. y= n3解析：n = 1 时，1 = 13; n = 2 时，y = 3+ 5 = 8 = 23;n = 3 时，y = 7+9 + n =27 = 33;n = 4 时，y=13 + 15 + 17 + 19 =64 =43.猜想：y = n3.11.答案：2（a60后in2 a+ sin 2( a+ 6012.证明：由a,b,c是不全相等的正数，得3 )2 b与 aa, c与b全不相等且均b2, cb6, c3,b a所以一一 2 ,a bb

10、三式相加得一. bcacab即一一111aabbcc所以原不等式成立.13.解法一：（1）选择式，计算如下:sin 215 4cos215 sin 15cos 15-1-sin 302(2)三角恒等式为 sin 2 a+ cos 2(30f) sin acos(30(T)=.4证明如下:sin2 a+ cos2(30一sin acos(30=sin2 a+ (cos 30cos sin 30csiin sin a(cos 30cos sin 30=sin2 a+ - cos 2 a+ - sin “cos42a+ - sin2 a- - sin42acos a-sin2 a2=sin 2 a+

11、 cos 2 a=一解法二：（1）同解法一.(2)三角恒等式为 sin 2 a+ cos 2(30中)sin acos(30证明如下:sin2 a+ cos2(30一sin acos(301cos21cos(60 2 )=一一sin a(cos 30 cosx+ sin 30 si n)221111。一 , 3 .sin 2)sin1=cos 2(cos 60cos 2+sin 60 acos a一sin2222221111.3 . 0、,31cos 2 a)=一cos 2a +一cos 2 a +sin 2 asin 2 a (1 2224444=1 1113一cos 2a-一cos 2 a

12、 =.444414.解： ai = 2, a2 = 6, a3 = 12.2(2)依题意，得 Xn =-n-1 ,yn= -nn1，又yn2= 3Xn 得V3 n-12222(an + an1),即(an an i )2 = 2(an i + an).由(1)可猜想：an = n(n+i)(n e n+).下面用数学归纳法证明：当n = 1时，命题显然成立；假定当n = k时命题成立，即有 an=k(k+1),则当n = k + 1时，由归纳假设及(ak+1 -ak)2= 2(ak+ ak+1)得ak+1 k(k+ 1) 2= 2k(k +1) + ak+1,即 ak+12 2(k2 + k + 1)ak+1 + k(k 1) k4(1)(k + 2) = 0,解之，得 ak+1 = (k+1)(k + 2)(ak+1 = k(k 1)vak不合题意，舍去),即当n = k + 1时，命题成立.由知：命题成立.