湍流理论和湍流模型博士课程

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1、会计学1湍流理论和湍流模型博士课程湍流理论和湍流模型博士课程0Re44Re4040Re1903.5*105Re3*106103Re2*105绕圆柱的真实流动绕圆柱的真实流动(P257)：第2页/共108页Re=1.54Re=26Re=140第3页/共108页粘性流体运动的两种流态粘性流体运动的两种流态-层流层流和和湍流湍流雷诺实验雷诺实验：1883年圆管内流动实验年圆管内流动实验层流层流：管中水流稳定地沿轴向运动，流线之间层次分明、互不掺混，：管中水流稳定地沿轴向运动，流线之间层次分明、互不掺混，流体质流体质点没有垂直于主流方向的横向运动点没有垂直于主流方向的横向运动；湍流湍流：流体作复杂的、

2、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流：流体作复杂的、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流;上临界流速：层流变湍流下临界流速：湍流变层流ccVV dVdVRVcccc,dVdVRVcccc,)2320(cReRe)13800(ccReReRe)13800(cReRe流动为层流流动为不稳定的过渡状态流动为湍流工程上，将下临界雷诺数作为流态的判断依据。第4页/共108页1.1 湍流的不规则性湍流的不规则性湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数),(txuuii在不规则湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分在不规则湍流中，流动的最

3、小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大子热运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大于层流扩散。于层流扩散。随机变量的概随机变量的概率率随机变量的概率密度随机变量的概率密度TiNNuP/)(uuPup/ )()(1.2 湍流的统计湍流的统计第5页/共108页随机变量随机变量：湍流速度变量：湍流速度变量u的实数集合，可表示为的实数集合，可表示为 u()事件集合事件集合：相同边界条件下不同初场演化出的所有流场

4、状态：相同边界条件下不同初场演化出的所有流场状态系综系综：所有可能实现的事件集合：所有可能实现的事件集合举例：在相同边界条件下，举例：在相同边界条件下，N个真实初始条件产生个真实初始条件产生N个实验流场（理论上个实验流场（理论上N可以无穷大）是一个系综，其中某一次实验称为一个事件。可以无穷大）是一个系综，其中某一次实验称为一个事件。概率的定义概率的定义：规定全系综的测度为：规定全系综的测度为1，则随机变量，则随机变量u的概率的概率P(x)定义为一切定义为一切u0.3时，一般要考虑压时，一般要考虑压缩性影响。缩性影响。普朗特普朗特(Prandtl)数数, Pr= cp/k, cp是比定压热容，是

5、比定压热容，k是导热系数。是导热系数。Pr数是数是动量动量交换和热交换之比交换和热交换之比，大多数气体，大多数气体Pr小于但是接近小于但是接近1。韦伯韦伯(Weber)数数, We=v2L/, 是表面张力。是表面张力。We数是数是惯性力与表面张力之比惯性力与表面张力之比，在，在大液面曲率如毛细流动、空化起始等过程中很重要。大液面曲率如毛细流动、空化起始等过程中很重要。第27页/共108页湍流运动的基本方程湍流运动的基本方程2.1 Navier-Stokes方程和湍流方程和湍流ijjiijijifxxuxpxuutu210iixu)()0 ,(),()0 ,(xxxxiiiiPpVu00)(),

6、(PptUuiixx层流向湍流过渡现象是层流向湍流过渡现象是N-S方程初边值问题解的性质在变化：方程初边值问题解的性质在变化：(1)层流是小雷诺数下层流是小雷诺数下N-S方程初边值问题的唯一解；方程初边值问题的唯一解；(2)过渡流动过渡流动(转捩转捩)是是N-S方程的分岔解；方程的分岔解；(3)高雷诺数的湍流是高雷诺数的湍流是N-S方程的渐近方程的渐近(t)不规则解。不规则解。ijjiijijifxxuxpxuutu210iixu第28页/共108页2.2 雷诺方程和脉动运动方程雷诺方程和脉动运动方程ijjiijijifxxuxpxuutu210iixu0iixujjijjijjijjijij

7、xuuxuuxuuxuuxuujijijiuuuuuujjijijjijxuuxuuxuuijjijjiijijifxuuxxuxpxuutu12雷诺平均方程2雷诺平均方程1第29页/共108页)(12jijijjjiijijjijiuuuuxxxuxpxuuxuutu0iixu脉动运动方程第30页/共108页2.3 雷诺应力和雷诺应力输运方程) )(111uuuuuu111uuuuuu湍流运动动量通量的平均值=平均运动的动量通量+脉动动量通量的平均值(不可压流动，密度恒定)雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别：雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别：(1)雷诺应力雷诺应力 粘性应力

8、粘性应力(2)分子运动平均自由程分子运动平均自由程 湍流脉动最小特征尺度湍流脉动最小特征尺度(3)产生机制不同产生机制不同第31页/共108页(1) 设想有一层厚度为设想有一层厚度为的湍流剪切层，流向脉动速度的湍流剪切层，流向脉动速度u1是平均速度是平均速度U的的10%左右，横向脉动速度左右，横向脉动速度u2较较u1小一个量级，所以典型雷诺应力小一个量级，所以典型雷诺应力221001. 0Uuu平均分子粘性应力的量级可估计为平均分子粘性应力的量级可估计为/URe001. 0001. 0/001. 0/221UUUUuu二者比值二者比值在高雷诺数时，在高雷诺数时，510Re，二者比值达到，二者比

9、值达到102的量级。的量级。第32页/共108页(2)第33页/共108页(3)第34页/共108页计算NACA2412翼型绕流的以下参数:(a)后缘处的边界层厚度；(b)翼型的表面摩擦阻力系数。流动条件为：攻角为0度，翼型弦长为1.5米，基于弦长的雷诺数Rec=3.1*106。由右图的实验数据曲线中可知，0度攻角时翼型阻力系数为0.0068。(4) 边界层厚度及摩擦阻力系数计算第35页/共108页mcc00426. 0101 . 35 . 1*0 . 5Re0 . 56000754. 0101 . 3328. 1Re328. 16cfC0015. 0000754. 0*2fCNet小于实验测

10、量值小于实验测量值0.0068，仅为，仅为22%因此，用全层流计算结果不准确。因此，用全层流计算结果不准确。层流计算：层流计算：第36页/共108页全湍流计算mcc0279. 0)101 . 3(5 . 1*37. 0Re37. 05/165/100372. 0)101 . 3(074. 0Re074. 05/165/1cfC00744. 000372. 0*2fCNet实验值实验值0.0068为为“摩擦阻力摩擦阻力+压差阻力压差阻力”之和，实际摩擦阻力小于之和，实际摩擦阻力小于0.0068，所以全湍流的计算预测值偏大较多所以全湍流的计算预测值偏大较多第37页/共108页考虑转捩的计算（假设转

11、捩临界雷诺数Rex,cr=5*105）:51,105RexVcrx6101 . 3RecVc1613. 0101 . 3105ReRe65,1ccrxcxturbulentcfturbulentcfturbulentcfCcqCSqD)()()(,turbulentxfturbulentxfCxqD)()(11,1,turbulentxfturbulentcfturbulentxfturbulentcfturbulentxfCxqCcqDDD)()()()()(112,1,arlaxfarlaxfCxqDmin,1min,)()(11turbulentxfturbulentcfarlaxftu

12、rbulentxfarlaxffCxqCcqCxqDDD)()()()()(1121,1,min,1,min,turbulentxfturbulentcfarlaxffCcxCCcxC)()()(11,1,min,1第38页/共108页turbulentxfturbulentcfarlaxffCcxCCcxC)()()(11,1,min,100188. 0105328. 1Re328. 1)(5min,11xarlaxfC00372. 0)(,turbulentcfC00536. 0)105(074. 0Re074. 0)(5/155/1,11xturbulentxfC003158. 0005

13、36. 0*1613. 000372. 000188. 0*1613. 0fC0063. 0003158. 0*2fCNet考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值0.0068。第39页/共108页turbulentxfarlaxffCcxCcxC)()(21,2min,100188. 0105328. 1Re328. 1)(5min,11xarlaxfC003856888. 0)1026(074. 0Re074. 0)(5/155/1,22xturbulentxfC003538. 0003856888. 0*8387. 000188. 0*1613. 0fC0

14、07076. 0003538. 0*2fCNet比实验测量值偏大。比实验测量值偏大。注意：如果按照公式直接计算注意：如果按照公式直接计算 x2 段的湍流摩擦系数，有较大偏差。段的湍流摩擦系数，有较大偏差。第40页/共108页turbulentxfturbulentcfarlaxffCcxCCcxC)(2)()(211,1,min,1001328. 0101328. 1Re328. 1)(6min,11xarlaxfC00372. 0)(,turbulentcfC004669. 0)101 (074. 0Re074. 0)(5/165/1,11xturbulentxfC00264. 000466

15、9. 0*3226. 000372. 0001328. 0*3226. 0fC00528. 000264. 0*2fCNet转捩雷诺数扩大一倍后，摩擦阻力系数减小转捩雷诺数扩大一倍后，摩擦阻力系数减小16.2%如果转捩临界雷诺数增大为如果转捩临界雷诺数增大为1*106，则有，则有%2 .16%1000063. 000528. 00063. 0第41页/共108页对于流线型翼型，摩擦阻力与压差阻力的比值（对于流线型翼型，摩擦阻力与压差阻力的比值（Cd=Cf+Cp）估算：）估算：文献文献CFD计算结果：计算结果：NACA0012翼型，翼型，Re=3*106，加入转捩模型，加入转捩模型， Cd=0.

16、00623，Cf=0.00534 Cf/Cd=85.7% Cp/Cd=14.3%上例近似计算结果：上例近似计算结果：NACA2412翼型，翼型，Re=3.1*106，加入转捩模型，加入转捩模型， Cd=0.0068，Cf=0.0063 Cf/Cd=92.6% Cp/Cd=7.4%Lombardi, G., Salvetti, M.V. and Pinelli, D. Numerical Evaluation of Airfoil Friction Drag, Journal of Aircraft, 2000, 37(2): 354-356第42页/共108页2.3.2 雷诺应力输运方程雷诺应

17、力输运方程第43页/共108页第44页/共108页2.3.3 湍动能输运过程湍动能输运过程第45页/共108页2.3.4 雷诺应力输运过程雷诺应力输运过程111111222111)(2EDdxxdUuutuu121212222221)(EDdxxdUuutuu222222220EDtuu假定二维平均流的速度分布为假定二维平均流的速度分布为12)(iixUu，其雷诺输运方程为，其雷诺输运方程为第46页/共108页2.3.5 脉动压强分布和压强变形率相关的解析表达式脉动压强分布和压强变形率相关的解析表达式1) ()(41)(2ijvmlmlijjiijjiijrduuxuxuxuxup2)(241

18、ijvlmmlijjirduuxuxu第47页/共108页2.3.6 湍流统计方程的封闭性讨论湍流统计方程的封闭性讨论(1)雷诺方程中出现了雷诺应力项雷诺方程中出现了雷诺应力项(2阶速度相关阶速度相关)(2)在雷诺应力输运方程中又出现了更高阶的统计相关量在雷诺应力输运方程中又出现了更高阶的统计相关量(3)如果进一步通过如果进一步通过N-S方程导出高阶相关量的演化方程，则将出现更高方程导出高阶相关量的演化方程，则将出现更高阶的相关量阶的相关量(4阶以上阶以上)结论：从结论：从N-S方程导出的湍流统计方程是永远不封闭的。方程导出的湍流统计方程是永远不封闭的。湍流统计理论的主要任务：研究统计方程的封

19、闭方法。湍流统计理论的主要任务：研究统计方程的封闭方法。第48页/共108页2.4 不可压缩湍流的标量输运方程不可压缩湍流的标量输运方程-传热和传质传热和传质qxxxutjjjj20iixujjjjjjxuxxxut2运动方程与温度或浓度无关，即标量场是由速度场确定的，而没有标量运动方程与温度或浓度无关，即标量场是由速度场确定的，而没有标量场对速度场的反馈作用。这种标量疏运过程，称为场对速度场的反馈作用。这种标量疏运过程，称为被动标量输运被动标量输运。第49页/共108页2.6 涡量的输运与湍流涡量的输运与湍流iiiijijijixxsxut2流体质点变形率张量流体质点变形率张量jijijji

20、iijjijiijiixxxxsxut2/2/2/2拟涡能方程拟涡能方程定义定义2/ii称为称为拟涡能拟涡能jjijijijiijijijixxxussxut2iiijiijijixxxuxut2fuu2jxt)(21ijjiijxuxus)(21ijjiijxuxur第50页/共108页jijijjijjijjijjjijixussssxutjjijijijxxxuu) (222ijjiijijijjijiijiisssxutjijijjiijiijjiijxxxxxuxu222脉动涡量方程脉动涡量方程脉动涡量的拟涡能方程脉动涡量的拟涡能方程(1)湍流生成项的主要来源是涡管的伸长湍流生成项的

21、主要来源是涡管的伸长(2)小尺度湍流是由湍涡拉伸产生的小尺度湍流是由湍涡拉伸产生的(3)脉动涡量的拉伸时维持湍流的主要机制脉动涡量的拉伸时维持湍流的主要机制第51页/共108页湍流的一般定义和描述1）湍流场中的流体仍可视为连续介质；2）物理量呈连续变化，即在空间上和时间上是可微的；3）可采用描述一般流体运动的方法来建立湍流场数学模型；4）湍流场满足N-S方程5）19世纪初以来，“湍流是一种完全不规则的随机运动” 雷诺首创用统计平均方法来描述湍流运动6）20世纪70年代开始，“湍流并不是完全随机运动，存在一种可检测和显示的拟序结构，亦称大涡拟序结构”，仍存争议7）大多数人观点：由各种大小和涡量不

22、同的涡旋叠加而成，某些情况下，流场作完全随机运动；另一些情况下，流场随机运动和拟序结构并存。第52页/共108页湍流的统计平均瞬时值记为 A,平均值记为A),(1),(dttzyxATtzyxATtt(1) 时间平均T为时间平均的周期，即要求比湍流脉动周期大得多，以保证得到稳定的平均值，又要求比流体做非定常运动时的特征时间小得多，以免取平均后，抹平整体的非定常性。),(1),(dzdydxtzyxAtzyxA(2) 空间平均(3) 条件采样平均 规定一个条件准则，对符合该准则的数据进行平均例如规定一个检测函数01)(tD湍流信号层流信号第53页/共108页 )()()(lim11NiiNiii

23、NttDtAtDA )(1 )()(1 lim11NiiNiiiNttDtAtDA.,)(, 0, 0,dsAAdsBABABABABABABBAAABtAtAzAzAyAyAxAxABABABABAAAAAAccAAAA则流场处于湍流时的平均为则流场处于层流时的平均为对于瞬时量、平均量、脉动量的运算法则如下：;BBBAAAiiivvv2 iv对于湍流场速度而言，而表示湍流强度。第54页/共108页不可压缩湍流平均运动的基本方程000)(iixvtVV00)(0iiiiiiiiiiiixvxvxvxvxvxvvxv221jiijijixvxpxvvtv（1）连续方程（2）动量方程-雷诺平均运动

24、方程22)()(1)()(jiiijjjiiiixvvxppxvvvvtvv0jjxv221jiijjijjiixvxpxvvxvvtv，由连续方程，由连续方程221jiijjiixvxpxvvtv2222)11)(jijiiijjijjijjijjiiixvxvxpxpxvvxvvxvvxvvtvtv第55页/共108页jjijiijijixvvxvxpxvvtv)(1122湍流的雷诺平均运动方程与对应的层流运动方程相比，多了最后一项，该项中的jivv称为雷诺应力,是唯一的脉动量项，所以可以认为脉动量是通过雷诺应力来影响平均运动的。222211jijiiijjijjijjijjiiixvxv

25、xpxpxvvxvvxvvxvvtvtv222211jijiiijjijjijjijjiiixvxvxpxpxvvxvvxvvxvvtvtv001100022jiijjijjiixvxpxvvxvvtv0jjxvjjijiijjijijixvvxvxpxvvxvvtv)(1122由连续方程由连续方程第56页/共108页221jiijijixvxpxvvtvzpypzuyuxuxpxuutu1010)(1222222, 0, 0, 0tpxutu圆管中充分发展的层流和湍流N-S方程张量形式（一）圆管中的层流层流中流体质点只有沿轴线的流动u，而无横向运动，所以v=w=0.假设管道水平放置，直径不大

26、，管中具有一定压力，所以重力可以忽略。流动恒定，u不随x和t而变，只是y和z的函数，即)(2222zuyudxdp所以，只有左右均等于同一常数才能成立。第57页/共108页lplppdp12常数21ppplpzuyu2222是长度为 l 的水平直管上的压降。所以因为管中流动是对称于x轴的，所以采用圆柱坐标系来分析更为方便，22222222211rururruzuyu由于又因为速度u的分布是轴对称的，所以0u0122lpdrdurdrud或022lprdrdudrudr积分两次，可得2214ClprlnrCu边界条件：r=0时，u为有限值，得C1=0；r=d/2时, u=0, 得lpdC1622

27、, 所以)4(422rdlpu圆管层流的速度分布规律，对称于管轴的抛物体。第58页/共108页（二）圆管中的湍流湍流场质点间相互混杂、碰撞，导致运动状况极其复杂。对湍流的研究往往是在某些特定条件下，对观测到的现象作某些假定，从而建立有局限性的半经验理论，再通过大量实验结果进行修正补充，得出湍流的半经验规律。（1）脉动与时均流动利用热线风速仪或激光测速仪来测定湍流流速变化规律。质点的真实流速是无规律且瞬息万变的，这种现象称为脉动。每次实验在一个长的时间内平均后的速度值相同，为时均值。当湍流场中任一空间点上的运动参数的时均值不随时间（这里的时间是指湍流流动的某一过程，而不是时均参数定义中所选定的某

28、一很小的时间段T）变化时，称为定常湍流流动，或称为准定常湍流，否则称为非定常湍流。时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。注意：时均化的概念及准定常湍流流动，完全是人为提出的一种模型，而湍流实质是非定常的。因此在研究湍流的物理实质时，如研究湍流切应力及湍流速度分布结构时，就必须考虑脉动的影响。第59页/共108页(2) 湍流流动中的附加切应力-雷诺应力粘性产生的切应力 + 因质点混杂而形成的附加切应力dAdtvmdAuvFFmdtFdAdtuvmuImvudAFtvut0vut0vutvudydUdAuvFm脉动流入b层的流体质量动量变化量 = 切向力的冲量脉动流体所受的脉动切向力脉动流

29、体m对b层流体的脉动切向力a、b两层流体之间的脉动切应力雷诺应力时均值从上往下脉动时，雷诺应力大于零从下往上脉动时，雷诺应力大于零湍流运动中的总的切应力混合长度理论示意混合长度理论示意图图第60页/共108页（3）普朗特混合长度理论把湍流脉动与气体分子运动相比拟。（涡粘假设）粘性切应力由分子动量交换引起；假定脉动引起的附加切应力也为相同形式：dydUdyduttdydUldydUlUUlyUyUU)()()(1dydUlUUu)(2121混合长度理论在于建立湍流运动中的附加切应力与时均流速U之间的关系。引入了一个与分子平均自由程相当的长度 l，质点在走了 l 长度后与新位置的质点掺混，完成动量

30、交换。混合长度理论假定：在y层处，由于流体质点的横向运动所引起的x方向湍流脉动速度u的大小为：dydUlUdydUlUyUlyUU)()()(2也称为涡黏度t第61页/共108页当流体质点从上层或下层进入所讨论的那一层时，它们以相对速度u相互接近或离开，由流体连续性原理可知，它们空出来的空间位置必将由相邻的流体质点来补充，于是引起流体的横向脉动v，两者相互关联，因此u与v的大小必为同一量级，故： ， vuvucv vuvu22)(dydUclvu22)(dydUlvudydUdydUldydUlvut222)(dydUlt2湍流粘性系数脉动引起的附加切应力(雷诺切应力)一般来说，混合长度不是常

31、数横向脉动和纵向脉动符号相反:代入相关式子，得将 c 归并到尚未确定的 l 中去可表示成，第62页/共108页简单剪切湍流简单剪切湍流近代湍流研究的重大进展之一：发现剪切湍流中存在近代湍流研究的重大进展之一：发现剪切湍流中存在拟序结构拟序结构。湍流脉动并非完全不规则的随机过程，而是在不规则的脉动中包含可辨湍流脉动并非完全不规则的随机过程，而是在不规则的脉动中包含可辨认的有序大尺度运动。认的有序大尺度运动。剪切湍流：剪切湍流： 壁湍流壁湍流，即壁面附近的剪切湍流，例如槽道、圆管、边界层湍流；，即壁面附近的剪切湍流，例如槽道、圆管、边界层湍流； 自由剪切湍流自由剪切湍流，例如射流、混合层、远场尾流

32、。，例如射流、混合层、远场尾流。简单剪切湍流：平均剪切流动是简单剪切湍流：平均剪切流动是平行流动平行流动或或准平行流动准平行流动。第63页/共108页研究雷诺数很高的壁湍流，研究雷诺数很高的壁湍流，/ReHUmH是直槽宽度之半, 或圆管半径, 或边界层的平均名义厚度, Um是平均特征速度。设定坐标系：设定坐标系：x为流动方向，为流动方向，y为垂直壁面方向，为垂直壁面方向，z为平均流动的展向为平均流动的展向进一步假定直槽沿展向无限长，流向单位长度上的平均压降是常数，则进一步假定直槽沿展向无限长，流向单位长度上的平均压降是常数，则 平均运动是定常的平均运动是定常的单向平行直线运动单向平行直线运动：

33、=U(y)i1 脉动速度场在脉动速度场在流向和展向都是统计平均流向和展向都是统计平均的的 壁面上的速度等于零壁面上的速度等于零：无论是平均速度还是脉动速度都为零：无论是平均速度还是脉动速度都为零第64页/共108页1、平均运动方程、平均运动方程0122yvuyUxpypyv120zp(4.1a)(4.1b)(4.1c)(4.1b)(02xPvpdxdPxp0(4.1a)CydxdPdydxdPvuyU00当当 y=0时时, C= 0(壁面切应力壁面切应力)ydxdPvuyU00是分子粘性应力和雷诺应力之和，称为是分子粘性应力和雷诺应力之和，称为总切应力总切应力，它是，它是y的线性函数。的线性函

34、数。第65页/共108页在槽道的对称轴上在槽道的对称轴上( y = H )，由于平均运动的对称性，分子粘性应力和雷，由于平均运动的对称性，分子粘性应力和雷诺应力都等于零，于是有诺应力都等于零，于是有HdxdP00)1 (0HyvuyU在壁湍流中用壁面切应力定义壁湍流的速度尺度，称为在壁湍流中用壁面切应力定义壁湍流的速度尺度，称为壁面摩擦速度壁面摩擦速度/0u/ReHu/ReHUmmUuReRe )10(21215 . 022220OcUucUuUcfmfmmf平板平板 Cf 范围（范围（0.0030.006）(3.95.5) 10-2第66页/共108页2、等切应力层、等切应力层1/,0Hyy

35、vuyU等切应力层可以进一步分为：等切应力层可以进一步分为：线性底层线性底层+对数层对数层(1) 线性底层线性底层(粘性底层粘性底层)0yUyuuU yU第67页/共108页(2) 对数层和对数律对数层和对数律（等雷诺应力层）（等雷诺应力层）ReyHuHyyuy下面讨论近壁下面讨论近壁等雷诺应力层等雷诺应力层中的统计特性中的统计特性)(ykvkvpyyUvu 在贴近壁面区，湍动能在贴近壁面区，湍动能耗散耗散和和扩散扩散相平衡；相平衡； 在稍离壁面且远离中心的流动区域中，在稍离壁面且远离中心的流动区域中，扩散项几乎可以忽略扩散项几乎可以忽略， 生成项生成项和和耗散项耗散项相平衡相平衡yUvu 在

36、壁湍流中存在一个湍动能生成和耗散相平衡的区域。在壁湍流中存在一个湍动能生成和耗散相平衡的区域。第68页/共108页由于平衡区远离中心区，可以用壁面参数表示速度梯度、雷诺应力、湍由于平衡区远离中心区，可以用壁面参数表示速度梯度、雷诺应力、湍动能耗散率的无量纲式如下：动能耗散率的无量纲式如下：)(2yguvu)(3yhyuyuyU2uvuyu3(4.9a)(4.9b)(4.9c)(4.8a)(4.8b)(4.8c)积分式积分式(4.9a)，得到平均速度的对数分布，得到平均速度的对数分布(湍流的壁面律湍流的壁面律):ClnyuU)(yfyuyUBlnyu1第69页/共108页（1）粘性底层内，流体质

37、点没有混杂，故切应力主要为粘性切应力，附）粘性底层内，流体质点没有混杂，故切应力主要为粘性切应力，附加切应力近似为零。粘性底层内速度梯度可认为是常数。加切应力近似为零。粘性底层内速度梯度可认为是常数。yUdydUyw,22)(,dydUlyt*uw，它具有速度的量纲，称为，它具有速度的量纲，称为壁面摩擦速度壁面摩擦速度，则，则yReyuuUuyU*0*22211)(ClnykuUydykudUdydUykw（2）粘性底层外，湍动剧烈，粘性影响可以忽略不计。普朗特假设在近壁处混合长度 l 与离壁面的距离y成正比，即 l = ky。根据尼古拉兹的实验证明，这个规律可以扩展到整个湍流区域。此外还假设

38、在整个湍流区内切应力也为常数 ，则w设第70页/共108页湍流边界层结构图湍流边界层结构图(1) 线性底层，线性底层， 该层内粘性应力远大于雷诺应力。该层内粘性应力远大于雷诺应力。yuy*yyuuyuuyuyuyyuuuuww*2*当地雷诺数, u+是量纲为1的速度，则说明速度随 y 线性变化，所以称线性底层，由实验得出，该层范围为5y第71页/共108页w*0ln1uCC2 .12, 2 . 5ln44. 22 .12,yyuyyuClnyu1(2) 对数律层对数律层由实验结果，当由实验结果，当y+40以后，雷诺切应力与壁面切应力以后，雷诺切应力与壁面切应力 大致相等且近似大致相等且近似为常

39、数，可见粘性切应力可以忽略，其速度分布为为常数，可见粘性切应力可以忽略，其速度分布为式中的式中的C为常数，对光滑壁为常数，对光滑壁C约为约为5.0-5.2,为卡门常数，一般取为卡门常数，一般取0.4-0.41。上。上式说明速度随式说明速度随 y 的增长呈对数关系增长，这就是对数率，满足对数率关系的增长呈对数关系增长，这就是对数率，满足对数率关系的区域也成为的区域也成为对数律层对数律层。在粘性底层和对数律层之间，平均速度分布既非线性的，也非对数的，因在粘性底层和对数律层之间，平均速度分布既非线性的，也非对数的，因为这里分子粘性应力和雷诺应力属同一量级。介于粘性底层和对数律层之为这里分子粘性应力和

40、雷诺应力属同一量级。介于粘性底层和对数律层之间的流动区域成为间的流动区域成为过渡层过渡层，过渡层很薄，工程实用上，常常不计过渡层，过渡层很薄，工程实用上，常常不计过渡层，而用线性分布和对数律分布组合成内层的平均速度分布。对于直槽湍流，而用线性分布和对数律分布组合成内层的平均速度分布。对于直槽湍流，可应用如下的平均速度分布：可应用如下的平均速度分布：，第72页/共108页对于高雷诺数绕流的对于高雷诺数绕流的雷诺平均雷诺平均求解方法，近壁湍流边界层很薄，实际数值求解方法，近壁湍流边界层很薄，实际数值计算时，壁面网格只能达到等应力区外缘。另一方面，从壁面到等应力区计算时，壁面网格只能达到等应力区外缘

41、。另一方面，从壁面到等应力区的边缘（的边缘（y+=30）湍流统计量有剧烈的增加，任何数值方法都无法在一个网）湍流统计量有剧烈的增加，任何数值方法都无法在一个网格中近似这种急剧变化。格中近似这种急剧变化。这时只好放弃数值积分到真实壁面，而是在离开壁面的第一层网格上用壁这时只好放弃数值积分到真实壁面，而是在离开壁面的第一层网格上用壁面函数作为边界条件，或者说，将雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，面函数作为边界条件，或者说，将雷诺方程和近壁等应力层做渐近衔接，这时需要用到这时需要用到壁面函数壁面函数。第73页/共108页Clnyu1壁面律壁面律推导近壁平均速度对数分布律的理论依据是存在等切应力层；而

42、且在雷诺推导近壁平均速度对数分布律的理论依据是存在等切应力层；而且在雷诺数很大时还存在等雷诺应力层。只要壁面切应力为有限值，上式对于任意数很大时还存在等雷诺应力层。只要壁面切应力为有限值，上式对于任意平行于壁面的湍流运动都适用，因此上式称为平行于壁面的湍流运动都适用，因此上式称为湍流的壁面律湍流的壁面律。计算中可以用上式的壁面律代替固壁无滑移条件，即将计算域的第一层网计算中可以用上式的壁面律代替固壁无滑移条件，即将计算域的第一层网格设置在等应力层中，用上式作为边界条件。壁面剪应力的特征量是摩擦格设置在等应力层中，用上式作为边界条件。壁面剪应力的特征量是摩擦速度，它隐含于边界条件中，在数值求解中

43、通过迭代求出。必须指出，上速度，它隐含于边界条件中，在数值求解中通过迭代求出。必须指出，上述壁面律只适用于附体边界层。述壁面律只适用于附体边界层。 当壁面摩擦速度很小时，既要求1y1y00，又要求，又要求的条件不能满足，的条件不能满足，这时壁面律就不再成立。特别是，接近流动的分离点处，壁面切应力0*u，即，不能应用以上壁面律来计算平均流速分布。第74页/共108页湍流数值模拟方法湍流数值模拟方法 直接数值模拟直接数值模拟(DNS, Direct Numerical Simulation) 雷诺平均数值模拟雷诺平均数值模拟(RANS, Reynolds Averaged Navier-Stoke

44、s) 大涡数值模拟大涡数值模拟(LES, Large Eddy Simulation)雷诺应力的封闭模式不可能是封闭的，而小尺度脉动对大尺度运动的雷诺应力的封闭模式不可能是封闭的，而小尺度脉动对大尺度运动的统计作用可能是普适的。统计作用可能是普适的。第75页/共108页直接数值模拟直接数值模拟直接数值模拟的意义：直接数值模拟的意义： 可以获得湍流场的全部信息，而实验测量只能提供有限的流场分布可以获得湍流场的全部信息，而实验测量只能提供有限的流场分布 可以获得实时的流动演化过程，是研究湍流控制方法的有效工具可以获得实时的流动演化过程，是研究湍流控制方法的有效工具 可以评价已有湍流模型，研究改进湍

45、流模型的途径可以评价已有湍流模型，研究改进湍流模型的途径直接数值模拟的要求：直接数值模拟的要求： 要求有很高的时间和空间分辨率要求有很高的时间和空间分辨率 要求有足够多的样本流动或足够长的时间序列要求有足够多的样本流动或足够长的时间序列 要求计算机内存大、速度快要求计算机内存大、速度快第76页/共108页空间分辨率空间分辨率一维网格数至少应满足以下不等式一维网格数至少应满足以下不等式/lLNx4/13)/(Kolmogorov耗散尺度耗散尺度lu /3而而所以所以4/34/3)(Re)(/lxlulN当当410Re l三维总网格数三维总网格数 N 应满足应满足4/9)(RelzyxNNNN时，

46、就要求网格数时，就要求网格数N=109。第77页/共108页时间分辨率时间分辨率时间步长必须满足时间步长必须满足CFL条件条件 ut/uLLt积分长度积分长度总计算步数总计算步数4/3Re/lttLuuLtLN第78页/共108页大涡数值模拟大涡数值模拟大涡数值模拟的思想：大涡数值模拟的思想： 大尺度脉动通过计算直接求解大尺度脉动通过计算直接求解 小尺度脉动通过模式进行求解小尺度脉动通过模式进行求解大涡数值模拟的基本步骤：大涡数值模拟的基本步骤： 第一步，将小尺度脉动进行过滤第一步，将小尺度脉动进行过滤 第二步，推导出大尺度运动的控制方程第二步，推导出大尺度运动的控制方程 第三步，通过适当的模

47、型对小尺度脉动进行封闭第三步，通过适当的模型对小尺度脉动进行封闭第79页/共108页脉动的过滤：脉动的过滤： 谱空间低通滤波谱空间低通滤波 物理空间的盒式滤波器物理空间的盒式滤波器 高斯过滤器高斯过滤器 谱空间滤波和物理空间滤波的变换谱空间滤波和物理空间滤波的变换经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动经过过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动ui和剩余脉动和剩余脉动ui之和之和 iiiuuu低通脉动低通脉动将由大涡数值模拟方法解出，因此称为将由大涡数值模拟方法解出，因此称为可解尺度脉动可解尺度脉动剩余脉动剩余脉动称为称为不可解尺度脉动不可解尺度脉动或或亚格子尺度脉动亚格子尺度脉动。第80页/共10

48、8页在讨论系综平均过程时，有以下性质：在讨论系综平均过程时，有以下性质： 系综平均值的再平均等于系综平均值系综平均值的再平均等于系综平均值 脉动系综平均等于零脉动系综平均等于零 系综平均和空间求导过程可以交换系综平均和空间求导过程可以交换注意：一般情况下，物理空间的过滤运算不存在以上性质，即注意：一般情况下，物理空间的过滤运算不存在以上性质，即xQxQQQQQ, 0,特别是最后一个不等式使得大涡模拟控制方程比较复杂。特别是最后一个不等式使得大涡模拟控制方程比较复杂。只有均匀过滤过程存在过滤运算和求导的可交换性。只有均匀过滤过程存在过滤运算和求导的可交换性。非均匀过滤时，需要设计专门的过滤器才能

49、保证过滤和求导的可交换性。非均匀过滤时，需要设计专门的过滤器才能保证过滤和求导的可交换性。第81页/共108页大涡模拟的控制方程和亚格子应力大涡模拟的控制方程和亚格子应力假定过滤过程和求导过程可以交换，将假定过滤过程和求导过程可以交换，将N-S方程作过滤，得到如下方程：方程作过滤，得到如下方程：jjiijjiixxuxpxuutu210iixu令令)(jijijijiuuuuuuuu, 并并称称)(jijiuuuu为为亚格子应力亚格子应力，则，则jjijijjiijjiixuuuuxxuxpxuutu)(12上式和雷诺方程有类似的形式，右端含有不封闭项上式和雷诺方程有类似的形式，右端含有不封闭

50、项jijiijuuuu称为称为亚格子应力亚格子应力。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运。可解尺度湍流间的动量输运。要实现大涡数值模拟，必须要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式构造亚格子应力的封闭模式。第82页/共108页湍流的模式理湍流的模式理论论jjijiijijixvvxvxpxvvtv)(1122 该方程比层流方程多了最后的雷诺应力梯度项，使得方程组不封闭而无该方程比层流方程多了最后的雷诺应力梯度项，使得方程组不封闭而无法求解。因此，需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式，这就是湍流模式法求

51、解。因此，需要建立有关雷诺应力项的方程或表达式，这就是湍流模式理论的由来。理论的由来。 所谓所谓湍流模式理论湍流模式理论就是，根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺就是，根据理论和经验，对雷诺平均运动方程的雷诺应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的应力项建立表达式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，以使得方程组封闭求解的理论。模型和假设，以使得方程组封闭求解的理论。湍流场的动量方程湍流场的动量方程-雷诺平均运动方程：雷诺平均运动方程：第83页/共108页dydUdydUldydUlvut222)(dydUlmt2湍流粘性系数dydUlm2

52、涡粘性系数，与运动粘度 有相同量纲根据普朗特混合长度理论dydUAykym22)exp(1 )(在内层，有在内层，有在外层，有在外层，有)(yFFKCklebwakecpmcyy cyy y是距壁面的距离, yc是内外两层具有相同涡粘性系数值的点与壁面的法向距离。 零方程模式是直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，所以也称代数模式，又称一阶封闭模式。下面以Baldwin-Lomax零方程模型为例。（一）零方程模式参考文献：Baldwin, B. and Lomax, H., “Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separate

53、d Turbulent Flow,” AIAA 78-257, 1978.第84页/共108页cklebwakecpcyyyFFKCyyAyky)()()exp(1 )()(22外内222）（）（）（zuxwywzvxvyuwwwwwwwwnUvyyvy,),min(max2maxmaxmaxFuyCFyFdifwkwake)exp(1 )(AyyyFFmax是函数是函数的最大值。的最大值。ymax即为 Fmax时的y值。第85页/共108页16max)(5 . 51 )(yyCyFclebklebmin222max222)()(wvuwvuudifudif 是在给定是在给定 x 站位处的速度

54、最大值与最小值之差，即站位处的速度最大值与最小值之差，即转捩对湍流的影响通过下述方法实现：当计算的转捩对湍流的影响通过下述方法实现：当计算的小于某一给定值时，令0，亦即若MUTMC剖面max,)(时，0各常数值为：0168. 0, 4 . 0,25. 0, 3 . 0, 6 . 1,26KkCCCAwkklebcp( Clauser常数 )14,90. 0Pr,72. 0PrMUTMC第86页/共108页 Spalart-Allmaras模型是从经验和量纲分析出发，在伽利略（Galilean）不变性原理和分子粘性选择性相关方法的基础上“拼凑”出来的。这种“拼凑”虽然缺乏完备的理论基础，但是却包

55、含了丰富的经验信息。S-A模型具有良好的鲁棒性和数值收敛性，它可以很好地模拟绝大部分的附着流动和薄层自由剪切流动。 参考文献：Spalart P R and Allmaras S R. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. AIAA Paper 92-0439, 1992. 一方程模式需要求解一个偏微分方程。下面以Spalart-Allmaras模型为例。在S-A模型中，湍流粘性系数定义为: 1fT1 . 7,131331vvvCCf其中， 的量纲为的量纲为“米米*米米/秒秒”）dydu（由（由出发，得出发，得（二）一方程

56、模式第87页/共108页是计算湍流粘性系数的工作变量，它满足下面的传输方程 )(), (), ,() (TtripdestproddifdbdbdSbbDtDa. 扩散项扩散项定义为) () ) (1) (22bdifCb) (,) )1 (1) (22221bdifbdifCbCb为了避免对 2) (项的离散，上述式子可以分解为两项 ) () () (1) (222bdifCb ) () ) (1222222bbbCCC ) )1 () )1 (122222bbbCCC ) )1 (1222bbCC，量纲为，量纲为(mm/s/m)2，左式量纲为，左式量纲为(mm/s/s)第88页/共108页

57、b. 生成项生成项与旋度有关)(1 ) (21SfCbtbprod),exp(2432tttCCf),(222vfdS )(2vf其中 是阻尼项，表达式为 ,)(11)(3133112vvvvCfffc. 破坏项边界层内，在距离物面的某一位置上，物面的阻塞影响是通过压力项感受到的，因此破坏项中出现了距离物面的距离 d，该项定义为 22211)()()() (dfCrfCbtbwwdest)(rfw是一个壁面函数，它依赖于特征长度 r，表达式为 616363661636631)()(1)()(wwwwwCCrgCrgCrgrf,1),()(221162bbwwCCCrrCrrg2222222)(

58、dfddSrvV量纲为量纲为(mm/s*m/s/m)，量纲为，量纲为(mm/s/m)2第89页/共108页d. 移动项21)(ufbttrip此项在给定转捩位置的情况下使用，如果计算的流动状态是完全湍流的，那么该项可以去掉。 因此，传输方程可以写成 2221122221)() )1 (1)1 (DDdfCfCCCSfCttbwwbbtb根据实质导数公式和 S的定义，上式进一步简化为 212222122221)(1)1 () )1 (1)1 ()(dfCfffCCCfCtwwtvtbbbtbV，量纲为，量纲为(m/s)2第90页/共108页将非守恒型的方程变为守恒型的方程，得 212222122

59、221)(1)1 () )1 (1)1 ()(dfCfffCCCfCtwwtvtbbbtbV以上各式中的系数取定方法如下 )(222vfdS 1355. 01bC32622. 02bC1 . 71vC2 . 13tC5 . 04tC41. 03 . 02wC0 . 23wC，第91页/共108页S-A模型的无量纲化处理 与流动控制方程的无量纲化一致，取来流音速 a、来流温度 物体特征长度 、为参考量。无量纲化处理时，方程两端分别除以 2aTRL)(Re)()()(1)()(222VVVVVtMtaVLVtaLaLaaaaLLtaatLRRRRR，得 第92页/共108页1 Re1 11 1 2

60、121221221tbLtbRRRtbtbfCMfCaLVVaLaaLfCafC方程的后三项均为 2)(d2)(d的类似形式，只需考虑 的无量纲化处理， 222222222222)()Re()(1)(dMdaLaLLdadLRRR2222222222222222Re)()(vLvRRRvvfdMfLaLdaLfddfddSr第93页/共108页因此，经过无量纲化处理以后的方程化为 212222122221)(1)1(Re ) )1 (Re1Re1 )(dfCfffCMCMMCfCtwwtvtbLbLLbtbV对方程的两边取体积分，并利用高斯公式可得, VdfCfffCMVCMVMCVfCSVt

61、wwtvtbLbLLbtbd)(1)1(Red ) )1 (Re1d Red 1 dd212222122221nV第94页/共108页S-A模型的数值求解 湍流模型求解与N-S方程组的求解可采用“松耦合”的方式，即在同一次时间推进中它们的求解是相对独立的。S-A湍流模型方程的对流项和耗散项采用中心格式进行有限体积离散。 这样，在第 i 个网格单元上有 tVtVdVtiiiiiidd)(dd)(,iNmmimimimiSdSVnViiiitbtbVfCVfC)1 (d)1 (2121（左端第一项）（左端第一项）（左端第二项）（左端第二项）（右端第一项）（右端第一项）第95页/共108页)(,22

62、2222iNmmimiiibiibiibbSReMCdSReMCdVReMCdVReMCniwwtvtbiwwtvtbLdfCfffCVReMdVdfCfffCReM21222212122221)(1)1()(1)1(miiNmmii,mi,mbi,mbbbSCReMSCReMVCReMVCReM,)(,2222)1 (1d) )1 (1d ) )1 (1d ) )1 (1 （右端第二项）（右端第二项）（右端第三项）（右端第三项）（右端第四项）（右端第四项）第96页/共108页经过上述空间离散后，湍流模型方程可以写为下面的半离散形式 ) (ddRtSAi其中， ) (RSA是湍流模型方程的残值

63、项。 采用隐式欧拉方法进行时间离散求解，表达式如下， ) (RtnSAi将方程右端的残值项进行一阶泰勒展开，略去高阶项后得到 miNmmSAiiSAnSAiRRRt) ()(式中的偏导数 RSA可以通过数值求解雅可比矩阵的方法求得，即 RRRnSAnSASA) () (其中 为一个很小的正数，一般取 310第97页/共108页经过整理后，方程变为 miNmmSAnSAiiSARRRt) (1)(）（这个方程采用高斯-赛德尔迭代进行求解。边界条件方面，固壁面边界上 0 ；自由流处 341946. 1 。 初始条件可将 取定为自由流的值。 第98页/共108页（三）二方程模式(标准 k- 模式)k

64、- 模式是在涡粘模式的基础上发展起来的，它和代数模式的主要区模式是在涡粘模式的基础上发展起来的，它和代数模式的主要区别是在于别是在于k- 模式的涡粘系数包含部分历史效应。具体来说，它把涡粘模式的涡粘系数包含部分历史效应。具体来说，它把涡粘系数和湍动能及湍动能耗散联系在一起。系数和湍动能及湍动能耗散联系在一起。2kCt)()(kikikkkkkikikkxuxuxkukupxxuuuxkutk湍动能耗散率的输运方程为湍动能耗散率的输运方程为用量纲分析，涡粘系数可以写成kjijkijkjikikkxuxuxuxuxuxuxut22jijikkjkjikijikjkixuxuuxxuxuxuxuux

65、xu222iikjikjijkjkxxxxuxxuxuxpx222222第99页/共108页在湍流模式中，湍动能耗散是最难构造准确模型的。在湍流模式中，湍动能耗散是最难构造准确模型的。通常采用的通常采用的模式是依据模式是依据类比方法类比方法，基本思想是：，基本思想是：湍动能耗散的生成、扩湍动能耗散的生成、扩散以及消耗等项与湍动能方程中的对应项（生成、扩散和耗散）有类似散以及消耗等项与湍动能方程中的对应项（生成、扩散和耗散）有类似的机制和公式的机制和公式。k-方程的封闭方程为方程的封闭方程为)(2kktkjiijtkkxkxxuSxkutkkCxxxuSkCxutkktkjiijtkk221)(

66、2参考文献：Abid, R., “Evaluation of Two-Equation Turbulence Models for Predicting Transitional Flows,” International Journal of Engineering Science, Vol. 31, pp. 831-840, 1993.第100页/共108页（四）二方程模式 (k- 模型)参考文献：Wilcox, D., Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, Inc., La Canada, California, 1993.湍流粘性系数为湍流粘性系数为式中式中相关常数为相关常数为第101页/共108页（五）二方程模式 (Menter SST 模型)Menter 使用一个混合函数将和模型优缺点进行综合，克服了各自的缺使用一个混合函数将和模型优缺点进行综合，克服了各自的缺点，得到了一种更鲁棒的湍流模型，通常称为点，得到了一种更鲁棒的湍流模型，通常称为Menter SST模型。物面模型。物面附近，混合函数趋于附近，混合函数趋于0，模型