2022年专接本-高等数学考前模拟强化练习题50(附答案详解)

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1、2022年专接本-高等数学考前模拟强化练习题(附答案详解)1. 单选题已知 f(x) dx=3xx3+C,则f(x)=( )问题1选项A.3xx2(x ln3+3)B.3xx3ln3C.3xx2ln3D.3x23x【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的定义【解题思路】因为 f(x) dx=3xx3+C,由不定积分的定义知f(x)=(3xx3)=3xx3ln3+3x23x=3xx2(x ln3+3).故本题选A.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在可导函数F(x),使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,x

2、I,则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.2. 单选题若y=2ex-x2+x+1,则y(520)=( )问题1选项A.520exB.2exC.2e520xD.0【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-高阶导数-常用的n阶导数公式【解题思路】常用的n阶导数公式:(ex)(n)=ex,(xm)(n)=0(正整数mx-x2+x+1,所以y(520)=2ex.故本题选B.3. 单选题设函数y=f(x)在(-,+)内连续,其二阶导数f (x)的图形如图所示,则曲线y=f(x)的拐点的个数为( )问题1选项A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【考点】本题考查一元

3、微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】对于函数f(x)的定义域内的任何一点x0,若在该点的两端f (x)符号发生变化,则该点即为拐点.图中f (x)=0的三点处满足拐点的条件,此外还有原点处也满足拐点的条件,因此共有4个拐点.故本题选D.4. 判断题xyy+xy3-x4y=0的阶数是3.( )问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-微分方程的基本概念-微分方程的阶【解题思路】微分方程xyy+xy3-x4y=0的未知函数的最高阶导数为y,所以该微分方程的阶数为2.故本题选B.【点拨】微分方程的阶:方程中未知函数的最高阶导数的阶数n叫作该微分方程的阶

4、,同时该方程叫作n阶微分方程.5. 填空题曲线y=x3-3x2+2x-1的拐点为( )。【答案】【答案】(1,-1)【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点。y=3x2-6x+2,y=6x-6,令y=06x-6=0x=1,y=13-312+21-1=-1,故其拐点为(1,-1)。6. 单选题可导函数f(x)和g(x)满足g (x)=f (x),则下列选项哪个正确( )问题1选项A.g(x)=f(x)B.( g(x)dx)=( f(x)dx)C.g(x)=f(x)-CD. g(x)dx= f(x)dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应

5、用-不定积分-不定积分的性质【解题思路】因为g (x)=f (x),两边积分得g(x)=f(x)-C,再两边积分得 g(x)dx=(f(x)-C)dx= f(x)dx- Cdx= f(x)dx-Cx,再对两边求导得( g(x)dx)=( (f(x)-C)dx)=( f(x)dx)-C.故本题选C.7. 判断题当x0时,无穷小x与tanx是等价无穷小.( )问题1选项A.对B.错【答案】A【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-极限-无穷小与无穷大-常见的等价无穷小【解题思路】当x0时,tanxx.故本题选A.【点拨】当x0时,xsinxtanxln(1+x)ex-1arcsinxarctan

6、x.8. 判断题使f (x)=0的点称为函数的驻点.( )问题1选项A.对B.错【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-函数极值的判定定理【解题思路】由驻点的定义知该结论正确.故本题选A.【点拨】如果x0是函数f(x)的极值点,则f (x0)=0或者f (x0)不存在推论 如果函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f (x0)=0.驻点定义:如果f (x0)=0,则称x0为函数f(x)的驻点.9. 问答题已知血液浓度C关于时间t的函数为C(t)=0.03t+0.04t2-0.004t3,求时间t为多少时血液浓度最大?(提示:).【答

7、案】解:因为C(t)=0.03t+0.04t2-0.004t3,所以C (t)=0.03+0.08t-0.012t2,令C (t)=0,解得t17.02,t2-0.35(舍去),当00,当t7.02时,C (t)【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数最值的判定【点拨】实际问题中求最值的方法:(1)根据实际问题建立目标函数,(2)对目标函数在指定的区间内求导,并求驻点、不可导点,(3)求目标函数的极值,通过极值比较获得最值.10. 单选题过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,则切点M0的坐标是( )问题1选项A.(1,0)B.(e,0)C.(e,1)D.(e,

8、e)【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的概念-导数的几何意义【解题思路】函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)存在,在几何上表明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处存在切线,切线斜率为f (x0).设M0坐标为(x0,y0),y=lnx+1,因为过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x+1,所以y (x_0 )=lnx0+1=2,解得x0=e,所以y0=x0lnx0=e,因此M0坐标为(e,e).故本题选D.11. 单选题设f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1),则在(0,1)内曲线y=f(x)的所有切线中(

9、)问题1选项A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴【答案】A【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-微分中值定理及洛必达法则-微分中值定理【解题思路】本题主要是运用罗尔定理.因为f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,所以由罗尔定理可得至少存在一点(0,1),使得f ()=0,即至少有一点处的切线的斜率为0,也就是平行于x轴.故本题选A.12. 问答题某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别是x、y(千件),甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元),乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元).若要求该产品

10、每月总产量为8千件,并使总体成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.【答案】解:总成本L(x)=x2-2x+5+(8-x)2+2(8-x)+3=2x2-20x+88,L (x)=4x-20,L (x)=4,令L (x)=0,即4x-20=0x=5,故x=5为L(x)的唯一极小值点,又由实际问题必有最小值知L(x)在x=5取最小值L(5)=252-205+88=38,y=8-x=8-5=3。故甲工厂最优产量为5千元,乙工厂最优产量为3千元,最小成本为38000元。【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值。13. 单选题不定积分 f(x) dx

11、的几何意义是( )问题1选项A.一条积分曲线B.曲线上一点的切线C.曲边梯形的面积D.积分曲线的族【答案】D【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的几何意义【解题思路】 f(x) dx表示所有在x点处切线斜率为f(x)的曲线,所以其几何意义是积分曲线的族.故本题选D.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在可导函数F(x),使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,xI,则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.14. 单选题=( )问题1选项A.cosb-cosaB.0C.sinb-sinaD.sina-sinb

12、【答案】B【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-定积分-定积分的有关概念【解题思路】因为定积分的结果是一个确定的常数,对一个常数求导结果为0.故本题选B.15. 单选题方程3x-2sinx=0(-问题1选项A.0B.1C.2D.无数个【答案】B【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性于极值【解题思路】设f(x)=3x-2sinx,则f (x)=3-2cosx,因为-1cosx1,所以13-2cosx5,因此f (x)0,则f(x)在(-,+)内是单调递增的,又因为f(0)=0,所以函数f(x)在其定义域上只有一个零点,即方程3x-2sinx=0(-x0,f (x)问题1选项A.单调增加且是上凹的B.单调减少且是上凹的C.单调增加且是上凸的D.单调减少且是上凸的【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】因为函数f(x)在(a,b)内满足f (x)0,所以函数f(x)在(a,b)内单调增加,又f (x)0,则函数在a,b内单调增加;如果在(a,b)内f (x)0,则函数在a,b内单调减少.

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