理学东南大学高数习题学习教案

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1、会计学1理学理学(lxu)东南大学高数习题东南大学高数习题第一页，共54页。（一）（一）函数的线性相关性函数的线性相关性定义定义 1 1 设函数)( , ),( ),(21xyxyxym在上区间 I有 定义，若存在不全为零的常数mkkk , , ,21，使当 时 Ix，有0)()()(2211xykxykxykmm， 则称函数)( , ),( ),(21xyxyxym在上区间 I线性相关。 否则就称)( , ),( ),(21xyxyxym在上区间 I线性无关。 二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn chn)解的结构解的结构第1页/共54页第二页，共54页。若kxyxy)()(2

2、1（或kxyxy)()(12） ， 则与)(1xy)(2xy线性无关。 在I上线性相关在I 上成比例.)(),(21xyxy)(),(21xyxy第2页/共54页第三页，共54页。解:（方方法法一一）设021xxxekek， 即0)(21xkkex， 0 xe，故021xkk，则必有021kk， xxxee 与线性无关。 xe，xxe。 （方法二）（方法二）常数 1xxeexx ， xxxee 与线性无关。 例1 判别下列两函数是否是线性无关的？第3页/共54页第四页，共54页。（1）若)()(21xyxy和是二阶线性齐次方程的两个解， 则 )()(2211xyCxyCy 仍为方程的解，其中2

3、1 , CC 为两个常数。 （2）若)()(21xyxy和是二阶线性非齐次方程的两个解， 则 )()(21xyxyy 为对应的齐次方程的解。 （二二）二二阶阶线线性性微微分分方方程程解解的的结结构构 设二阶线性齐次方程为0)()()(21 yxayxayxa 二阶线性非齐次方程为)()()()(21xfyxayxayxa 定理定理 1 1 第4页/共54页第五页，共54页。定理定理 3 若函数是 )(xy*二阶线性非齐次方程的一个特解，是 )(xY方程所对应的齐次方程的通解，则)()()(xyxYxy*是方程的通解。 定理定理 2 2 若)()(21xyxy和是二阶线性齐次方程的两个线性 无关

4、的解，则方程的通解为 )()(2211xyCxyCy， 其中21 , CC为任意常数。 第5页/共54页第六页，共54页。求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤：（1）求二阶线性齐次方程0)()()(21 yxayxayxa的 两个线性无关的特解，得该方程的通解2211yCyCY。 （2）求二阶线性非齐次方程)()()()(21xfyxayxayxa 的一个特解*y，则二阶线性非齐次方程的通解为*yYy。 上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶以上的线性非齐次方程。第6页/共54页第七页，共54页。 若 )(1xy* 是线性非齐次方程 )()()()(

5、121xfyxayxayxa 的特解， 定定理理 4（线线性性方方程程特特解解的的叠叠加加原原理理） )(2xy* 是线性非齐次方程 )()()()(221xfyxayxayxa 的特解， 则 *21yy 是线性非齐次方程 )()()()()(2121xfxfyxayxayxa 的特解。 第7页/共54页第八页，共54页。1232.1,1,1xxyxeyeyx例 已知某二阶线性非齐次微分方程的三个特解：例 已知某二阶线性非齐次微分方程的三个特解：，求该方程的通解。，求该方程的通解。第8页/共54页第九页，共54页。 若二阶线性微分方程为 )(xfcyybya ，其中 cba , ,均为常数，则

6、称该方程为二阶常系数线性微分方程。 （一）二阶常系数线性齐次方程的解法（一）二阶常系数线性齐次方程的解法将rxrey ，rxery2 ，rxey代入方程， 0 cyybya， 猜想方程具有rxey形式的解，其中为待定常数 r， 得0)(2cbrarerx，但0rxe，故有 第9页/共54页第十页，共54页。 02cbrar， 方程叫做方程的特征方程特征方程。按特征方程的两个根的三种可能情况 ,21rr： 1是两个不相等 21rr 的实根； 2是两个相等 21rr 的实根； 3ir1，ir2是一对共轭复数。 若是一元 r二次方程的一个根，则rxey就是 方程的一个特解。 第10页/共54页第十一

7、页，共54页。xrxree21 ,是方程的特解， 且xrrxrxreee)(2121不为常数，它们是线性无关的， 1特特征征方方程程的的根根是是两两个个不不相相等等实实数数的的情情形形。2特特征征方方程程的的根根是是两两个个相相等等实实数数的的情情形形。abrrr221，只知一个特解xrey 1， 还需找一个21 yy 线性无关的特解， 方程的通解为 。xrxreCeCy2121第11页/共54页第十二页，共54页。)()(2)(22xurxurxueyrx 代入方程得 0)()()()2()(2 xucbrarxubarxuaerx， 0rxe ， 0a , 022cbrrbar， 0)(

8、xu， 取0)( xu的一个解xxu)(，则rxxey 2。 方程的通解为rxrxxeCeCy21， 即 )(21xCCeyrx 。 设为待定函数)( ,)(2xuexuyrx。 将)()( ,22xruxueyyrx， 第12页/共54页第十三页，共54页。3 3特征方程的根是一对共轭复数的情形。特征方程的根是一对共轭复数的情形。 xiey)(1、xiey)(2是方程的特解， )sin(cos1xixeyx， )sin(cos2xixeyx， 由欧欧拉拉公公式式 可得sincosieixeyyyxcos)(21211， xeyyiyxsin)(21212， , cotsincos21不是常数

9、xxexeyyxx第13页/共54页第十四页，共54页。（其中 ,为特征方程的复根的实部及虚部） 。函数21 yy 和都是方程的解，且它们是线性无关的， 方程的通解为2211yCyCy，即 )sincos(21xCxCeyx第14页/共54页第十五页，共54页。（1）由微分方程写出对应的特征方程（代数方程） ；（2）求解特征方程的根； （3）按特征根的情况（单根、重根、共轭复根） 写出微分方程的通解：21 , rr有两个不相等实根xrxreCeCy212121rrr有两个相等实根)(21xCCeyrxir21,有一对共轭复根的通解方程 0 cyybya0 2cbrar特征方程)sincos(2

10、1xCxCeyx小结：求二阶常系数线性齐次方程通解小结：求二阶常系数线性齐次方程通解(tngji)的步骤：的步骤：第15页/共54页第十六页，共54页。例 4求下列方程的通解 （1）034 yyy （2）09124 yyy （3）022 yyy 第16页/共54页第十七页，共54页。（二）高阶常系数线性齐次方程的解法（二）高阶常系数线性齐次方程的解法阶常系数 n线性齐次方程为 01)1(1)(yayayayannnn， 其特特征征方方程程为 0111nnnnararara. 方程是一个一元次方程 n，个根有 n。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程的个线性无关 n 的解，把这个线性无

11、关 n的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程的通解。 第17页/共54页第十八页，共54页。特征方程的根r 单实根给出一项 rxCe rk 重实根 )( 121kkrxxCxCCek项给出一对单复根 ir2 , 1)sincos( 21xCxCex给出两项重复根一对 kir2 , 1项给出 2 kxxCxCCekkxcos)(121sin)(121xxDxDDkk方程通解(tngji)中的对应项第18页/共54页第十九页，共54页。例 6求方程052)4( yyy的通解。 解：特征方程为052234rrr， 即0)52(22 rrr， 故方程的通解为特征根为02 , 1r（2 重） ；ir21

12、4 , 3。 )2sin2cos(4321xCxCexCCyx。 第19页/共54页第二十页，共54页。（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法设二阶常系数线性齐次方程为0 cyybya 二阶常系数线性非齐次方程为)(xfcyybya 求方程的通解关键在于求其一个特解。下面介绍 当自由项)(xf为两种特殊类型函数时方程特解的求 法待待定定系系数数法法。 是方程若*y 的一个特解，是方程 Y的通解， 则*yYy是方程的通解。 第20页/共54页第二十一页，共54页。将xexQy*)(， )()(xQxQeyx*， )()(2)(2xQxQxQeyx *，

13、代入后并xe 约去，得： )()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam 这时方程为 xmexPcyybya )( xmexPxf )()(. 1) )(次多项式的是其中mxxpm可以设)( )(是多项式其中xQexQyx*。 第21页/共54页第二十二页，共54页。设 mmmmmAxAxAxAxQ111)(。 得到所求特解 xmexQy*)(。 （1）当02cba，即不是方程的特征根时， 则)( )(xQmxQm次多项式另一个必定是， 把代入 )(xQm 式，比较等式两端同次幂 x的系数， )()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam 次多项式一个是 )(mxpm，

14、要使式的两端恒等， 第22页/共54页第二十三页，共54页。)()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam )()()2()(xPxQbaxQam （2）当02cba，而02ba时， 即是方程的单特征根时，式成为 故可设 )( )(xQxxQm， , 1 )( , )(次多项式应为次多项式应为mxQmxQ并用同样的方法来确定中的系数 )(xQm) , , 1 , 0( miAi。 第23页/共54页第二十四页，共54页。（3）当02cba且02ba时， 即是方程的二重特征根时，式成为 故可设 )()(2xQxxQm， )()(xPxQam 并用同样的方法来确定中的系数 )(xQm。

15、 )()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam , 2 )( , )(次多项式应为次多项式应为 mxQmxQ第24页/共54页第二十五页，共54页。综上所述，方程xmexPqyypy )(具有如下形式的特解：xmkexQxy*)(。 其中)( )(xPxQmm是与同次但系数待定的多项式， 按k不是特征方程的根、是单根或二重根依次 取 0，1 或 2。 第25页/共54页第二十六页，共54页。例例1 写出下列写出下列(xili)方程的特解形式：方程的特解形式：,36) 1 (2xeyyy ,323)2(2xexyyy 例 2求方程3265 xyyy的特解。 第26页/共54页第二十

16、七页，共54页。例 3求方程xeyy24 的通解。 解：特征方程为042r，2 , 221rr， 对应齐次方程的通解为xxeCeCY2221。 xexf2)(，属xmexPxf)()(型(2 , 0m)， 而2是特征根， 设 xAxey2* ，代入原方程解得41A， 故原方程的通解为xxxxeeCeCyYy2222141*。 第27页/共54页第二十八页，共54页。解：特征方程为0122 rr， 12 , 1r。 对应的齐次方程的通解为)(21xCCeYx。 xxexf)(，属xmexPxf)()(型(1 , 1m)， 而1是特征方程的重根， 设 xeAxAxy)(12* ， xxexAxAe

17、xAxAy)()23()(21312*， 例 4求方程xxeyyy 2的通解。 第28页/共54页第二十九页，共54页。代入原方程，有xxxeeAxA)26(1，解之得 61A，01A。 xexy361*， 故原方程的通解为)(21xCCeyx+xex361。 xxxexAxAexAxAeAxAy)( )46()26()(213121 *， 第29页/共54页第三十页，共54页。应用欧拉公式 ， 2cosixixeexieexixix2sin把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有sincos)(xPxPexfnmx22ieePeePexixinxiximxxinmxinmeiPPeiPP)(

18、)()22()22(.)()()()(xixiexPexPsin)(cos)()( . 2xxPxxPexfnmx 第30页/共54页第三十一页，共54页。,)()()()()(xixiexPexPxf是互成共轭的次多项式 L（即它们的对应项系数是共轭 复数） ，而,maxnmL。 第31页/共54页第三十二页，共54页。故方程sin)(cos)(xxPxxPecyybyanmx 具有如下形式的特解：.)()(21xiLkxiLkeQxeQxyyy*第32页/共54页第三十三页，共54页。xiLkxiLkeQxeQxy)()(*)sin(cos)sin(cosxixQxixQexLLxk 由于

19、括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数形式：)sin)(cos)()2() 1 (xxRxxRexyLLxk*综上所述，有如下结论：第33页/共54页第三十四页，共54页。方程sin)(cos)(xxPxxPecyybyanmx 具有形如 的特解，)sin)(cos)()2() 1 (xxRxxRexyLLxk*其中次多项式是 )( ),()2() 1 (LxRxRLL，,maxnmL， 按而k不是 i特征方程的根、或是特征方程的 单根依次取 0 或 1。 第34页/共54页第三十五页，共54页。二阶常系数二阶常系数(xsh)(xsh)非齐次线性方程特解非齐次线性方程特解

20、的解法的解法 )(xpemxsin)( cos)(xxPxxPenmx不是特征方程的根 ) 1 ()( xf自由项* yxfcyybya )( 的特解方程是特征方程的单根 )2(是特征方程的重根 )3(xmexQy*)(xmexQxy*)( xmexQxy*)( 2不是特征方程的根 ) 1 (i是特征方程的根 )2(isin)( cos)()2() 1 (xxRxxReyLLx*sin)( cos)()2() 1 (xxRxxRxeyLLx*,max nmL其中第35页/共54页第三十六页，共54页。例 5求方程xeyyyx2cos3 的一个特解。 解：先写出特征方程：0132 rr， 且ii

21、 21不是特征方程的根， 设特解 )2sin2cos(xDxCeyx*， 则有 2sin)2(2cos)2()(xCDxDCeyx*， 2sin)34(2cos)34()(xDCxCDeyx *， xexfx2cos)(，属于)sincos(xBxAex型的函数， 第36页/共54页第三十七页，共54页。故所求特解)2sin101102cos1011(xxeyx*。 010110CDCD10110 1011DC， 代入原方程有 xxCDxCD2cos2sin)10(2cos)10(， 比较两端xx2sin2cos与的系数，得 第37页/共54页第三十八页，共54页。例 6求方程xyysin 的

22、通解。 解：先写出特征方程：012r，ir 。 对应齐次方程的通解为xCxCYsincos21。 设特解 )sincos(xDxCxy*， 则有 )sincos(sincos)(xCxDxxDxCy*， )sincos(sin2cos2)(xDxCxxCxDy *， 自由项xxfsin)(属于sin)(cos)(xxPxxPenmx 型的函数，且ii0是特征方程的根， 第38页/共54页第三十九页，共54页。 原方程的特解为xxycos21*， 故原方程的通解为xCxCxxysincoscos2121。 代入原方程有 xxDxCsincos2sin2， 比较两端xxcossin 与的系数，得2

23、1C，0D。 第39页/共54页第四十页，共54页。例 7求方程xxyysin14 的通解。 解：其特征方程为042r，ir2， 原方程所对应的齐次方程的通解为xCxCY2sin2cos21。 自由项xxxfxfxfsin) 1()()()(21， 令方程为：14 xyy， 方程为：xyysin4 ， 分别求方程与的特解*21yy与。 设 BAxy*1， Ay*)(1，0)(1 *y， 代入原方程得：41BA， 41411*xy。 第40页/共54页第四十一页，共54页。xDxCycossin)(*， xDxCysincos)( *，代入原方程得 xxDxCsinsin3cos3，0C，31D

24、， xysin312*， 从而原方程的特解为xxysin314141*， 故原方程的通解为 *xxYyysin314141xCxC2sin2cos21。 设设 xDxCysincos2*，第41页/共54页第四十二页，共54页。（四）（四）常数变易法常数变易法 在解一阶线性非齐次方程)()(xQyxPy时，我们 用了常常数变易法数变易法，将对应的线性齐次方程0)(yxPy 的通解dxxPCey)(中的 C任意常数变易为待定函数 )( xC ，再通过)( xC确定来求得线性非齐次方程通解。 这种方法也适用于高阶线性微分方程。下面就二阶线性 方程来作讨论。 第42页/共54页第四十三页，共54页。

25、设非齐次方程为 )(xfcyybya 齐次方程为 0 cyybya )( ),(21xyxy为方程的两个线性无关的解， 则方程的通解为)()(2211xyCxyCy， 将任意常数21 , CC换成待定函数)( ),(21xCxC，使 对式求导，得)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy*为方程的解。 )()()()(2211xyxCxyxCy*第43页/共54页第四十四页，共54页。)()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy* 由于两个待定函数)( ),(21xCxC只需满足一个关系式， 所以可规定它们再满足一个

26、关系式。为了使的表达式*y 中不出现)( )(21xCxC和的二阶导数，可设 0)()()()(2211xyxCxyxC ， 从而)()()()(2211xyxCxyxCy*， )()()()()()()()(22112211xyxCxyxCxyxCxyxCy *第44页/共54页第四十五页，共54页。将*yyy , ,代入方程)(xfcyybya ，得 )()()()()()()()(11112211xcyxybxyaxCxyxCxyxCa )()()()()(2222xfxcyxybxyaxC 0)()()(111 xcyxybxya， 0)()()(222 xcyxybxya， )(1)

27、()()()(2211xfaxyxCxyxC， )( ),(21xyxy为齐次方程0 cyybya的解， 第45页/共54页第四十六页，共54页。 把式和式联立得方程组 ).(1)()()()( , 0)()()()(22112211xfaxyxCxyxCxyxCxyxC 第46页/共54页第四十七页，共54页。五.欧拉(Euler)方程(fngchng)二阶Euler方程(fngchng):)()(22tefcydtdyabdtyda)(ln)( 2texxtxfcybxyyax或令22222211)1( 1 dtydxdtdyxdtdyxdxddxyddtdyxdxdtdtdydxdy)(

28、1222dtdydtydx， 第47页/共54页第四十八页，共54页。例1 求下列方程(fngchng)的通解:xyxyyx53 2teydtdydtydydtdydtdydtydxt5253 ,ln2222则原方程化为令xxcxcxetctceytt81)ln2sin()ln2cos(1 812sin2cos2121解teYirr81,21 052r *2, 12特解第48页/共54页第四十九页，共54页。形如 )(1) 1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 的方程称为 n 阶欧欧拉拉方方程程，其中) , , 2 , 1( niai为常数。 dtdyxdxdtdtdydxdy1，

29、 =)(1222dtdydtydx， )11(1)(22233222333dtydxdtydxxdtdydtydxdxyd)23(122333dtdydtyddtydx作变换xtextln 或，将自变量tx 换成，有 222222111 ()d yddydyd ydxdx x dtx dtxdt 第49页/共54页第五十页，共54页。利用算子dtdD， ,) 1()( )(222222yDDyDDydtddtddtdydtydyx 则有,Dydtdyyx,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 一般地，有ykDDDDyxkk) 1()2)(1()(，

30、 把它们代入欧拉方程，便得到一个以为自变量 t 的常系数线性微分方程。在求出这个常系数线性微分 方程的解后，把xtln 换成，即得原方程的解。 第50页/共54页第五十一页，共54页。解：作变换xtextln 或，原方程化为 tyDyyDD2) 1(， tyDD2) 12(2， 或tydtdydtyd2222， （） 故方程（）对应的齐次方程的通解为 tetCCY)(21， 例例2求欧拉方程求欧拉方程(fngchng)xyyxyxln22 的通解的通解(tngji)。2210rr 121rr其特征方程为其特征方程为，其根为，其根为第51页/共54页第五十二页，共54页。设方程（）的特解为1AtAy*，代入方程（）得 tAtAA221，比较系数得： 4202211AAAAA，故42 *ty。 所以方程（）的通解为 42)(21*tetCCyYyt。 再以xtln，xeextln代入上式， 即得原方程的通解：4ln2)ln(21xxxCCy。 第52页/共54页第五十三页，共54页。.04 23的通解求xyyxyx 032*04) 1()2)(1(:,ln23DyyDyDDyyDDyDDDxt即上方程化为令3, 1, 0 032 :32123rrrrrr特征根特征方程为例333213321 :xcxccececcytt故原方程通解为解第53页/共54页第五十四页，共54页。