数理方程课程总结(精简)课件

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1、数理方程课程总结(精简)1考试时间：考试时间：5 5月月1212日上午日上午( (第十三周周一第十三周周一) )考前集中答疑安排：考前集中答疑安排：地点：科技楼南楼地点：科技楼南楼602602（应用数学系办公室）（应用数学系办公室）时间：时间：5 5月月1111日全天日全天数理方程课程总结(精简)2第第2 2章主要内容章主要内容1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：( (适用有界区域、两个变量适用有界区域、两个变量) )分离变量法、分离变量法、固有函数法、固有函数法、作辅助函数法作辅助函数法方程和边界方程和边界条件齐次条件齐次方程非齐次，方

2、程非齐次，定解条件齐次定解条件齐次边界条件非齐次边界条件非齐次数理方程课程总结(精简)3几种常见的几种常见的固有函数系固有函数系的形式的形式; 0),(, 0), 0(tlutu(1)(1);, 2, 1(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(2)(2);, 2, 1(2) 12(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(3)(3);, 2, 1(2) 12(cos nlxn; 0),(, 0), 0(tlutuxx(4)(4);, 2, 1, 0(cos nlxn以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域矩形

3、域上的泊松方程是适用的。上的泊松方程是适用的。圆域圆域上的泊松方程对应的上的泊松方程对应的固有函数固有函数系为系为,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nn(5)(5)数理方程课程总结(精简)4; )(),(),(), 0(21tutlututu);(),(),(), 0(21tutlututux );(),(),(), 0(21tutlututux (4)(4)(3)(3)(2)(2)(1)(1) );(),(),(), 0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtux

4、ltututxw).()()(),(112tututulxxtw几种几种非齐次边界条件非齐次边界条件相应的相应的辅助函数辅助函数),(txw的表达式：的表达式：以上以上4 4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热传导方程都适用。传导方程都适用。).()(),(12tuxtutxw注意特殊情形：课件中注意特殊情形：课件中2.52.5节的例节的例22数理方程课程总结(精简)52.2.对于对于二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程的边值问题而言：的边值问题而言：;0,0byax 对对圆域圆域采用采用极坐标极坐标对于对于矩形域矩形域采用采用直角坐标系直角坐标系用分离变量

5、法用分离变量法第第2 2章主要内容章主要内容数理方程课程总结(精简)63.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(rw),(),(),(rwrvru, 0112vrvrvrrr),0(0rr ).,()(|00rwfvrr(Q)(Q)思路思路1 1 (1)(1)找出此找出此泊松方程泊松方程的一个的一个特解特解令令(2)(2)将泊松方程化成将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程可用可用分离变量法分离变量法求解问题求解问题(Q)(Q)第第2 2章主要内容章主要内容数理方程课程总结(精简)3

6、.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(),(),(rwrvru思路思路2 2 将问题将问题(P)(P)的解看成两部分，的解看成两部分，令令),(rv),(rw和和分别满足分别满足第第2 2章主要内容章主要内容数理方程课程总结(精简)83.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1), 0112wrwrwr

7、rr),0(0rr ).(|0fwrr(P2)(P2)和和固有函固有函数法数法分离变分离变量法量法第第2 2章主要内容章主要内容数理方程课程总结(精简)9第第5 5章主要内容章主要内容( (贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用) )分离变量法的想法分离变量法的想法1.n阶阶贝塞尔方程的固有值问题贝塞尔方程的固有值问题n阶阶贝塞尔方程的通解贝塞尔方程的通解可表示为可表示为),()()(rDYrCJrFnn rRJrFnmnm)()()., 2, 1( m,)()(2 Rnmnm固有值和固有函数分别固有值和固有函数分别为为0)(RF, 0)(222 FnrFrFr,| )0(|F(33)(33)(32

8、)(32)数理方程课程总结(精简)10第第5 5章主要内容章主要内容),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)2.n阶阶贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(27)(28)(28).()(01xxJxxJdxd);()(10 xJxJ特别的特别的，(29)(29)数理方程课程总结(精简)11第第5 5章主要内容章主要内容3. 3. 傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数.)(2)()(2120)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfCmC

9、,)()(1rRJCrfnmnmm(42)(42)其中系数其中系数由下式确定由下式确定(43)(43)4. 4. 贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用( (分离变量法分离变量法) )，书上例子，书上例子数理方程课程总结(精简)12),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1无限长弦自由振动无限长弦自由振动问题问题的的达朗贝尔解达朗贝尔解为公式为公式).()(),(atxgatxftxu(13)(13)其中方程其中方程(3)(3)的的通解通解形式为形式为行波法或

10、达朗贝尔解法行波法或达朗贝尔解法第第3 3章主要内容章主要内容( (适用无界区域适用无界区域) )数理方程课程总结(精简)132 2无限长弦强迫振动无限长弦强迫振动问题问题的的解解为公式为公式),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa第第3 3章主要内容章主要内容3. 3. 会应用会应用傅氏变换傅氏变换和和拉氏变换拉氏变换求解定解问题求解定解问题书上例子很重要书上例子很重要数理方程课程总结(精简)14书上

11、例子中出现的书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换傅里叶变换或逆变换)()(21cos1axaxaF)()(21sin1axaxiaFmxmF|,21sin1| )0(414122teteFtxt )0(122|1yxyyeFy 1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.1 )(xF数理方程课程总结(精简)15几类常见的几类常见的拉普拉斯变换或逆变换拉普拉斯变换或逆变换aseLat1sL1 1 1!nnsntL22sinasaatL22cosassatL1)(tL1.1.3.3.4.4.特别的，特别的，0Res2.2.)( )()(0010ttttfesFLst5.5.延迟定理的延迟定理的逆变换形式

12、逆变换形式数理方程课程总结(精简)16),0( rrU1ln0二维、三维二维、三维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解分别为分别为rU101 12 2.)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)空间上格林第二公式空间上格林第二公式第第4 4章主要内容章主要内容CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) )平面上格林公式平面上格林公式二维、三维二维、三维拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题数理方程课程总结(精简)17.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)3 3调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式( (三维情形三维情形) ).)(1ln1ln)(21

13、)(000CMMMMdSnMurrnMuMu二维情形下，二维情形下，调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式第第4 4章主要内容章主要内容(8(8) )数理方程课程总结(精简)18, 0dSnu性质性质1 1(12)(12)调和函数的基本性质调和函数的基本性质4 4设函数设函数它在它在上连续，且上连续，且不为常数不为常数，),(zyxu则则内的内的调和函数调和函数，是区域是区域性质性质3 3它的最大值、它的最大值、最小值只能在边界最小值只能在边界上达到上达到 ( (极值原理极值原理) )。.41)(20dSuaMua性质性质2 2(13)(13)( (平均值定理平均值定理) )第第4 4章主要

14、内容章主要内容数理方程课程总结(精简)利用利用极值原理极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程证明拉普拉斯方程或泊松方程狄利克雷问题解的唯一性。狄利克雷问题解的唯一性。5补充：学会补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性一性处理问题（例如格林函数性质处理问题（例如格林函数性质5 5、 习题四第习题四第8 8题等）题等）数理方程课程总结(精简)20),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu (19)(19),41),(00vrMMGMM(17)(17)其中其中如果如果三维三维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存

15、在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在在那么问题那么问题(19)(19)的解可表示为的解可表示为.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)6 6数理方程课程总结(精简)21),(|yxfuC,),(, 0),(Dyxyxu (19(19) )如果如果二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，CD 在在那么问题那么问题(19(19) )的解可表示为的解可表示为CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )其中其中7 7数理方程课程总结(精

16、简)22求解上半空间求解上半空间,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx 0z内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)上半空间的格林函数上半空间的格林函数为为,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)得到定解问题得到定解问题(22)(23)(22)(23)的解的解)(0Mu.)()(),(212/32020200 zyyxxdxdyzyxf(26)(26)8 8数理方程课程总结(精简)23求解求解上半平面上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx 0y内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23) )(22(22) )上半

17、平面的格林函数上半平面的格林函数为为,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) ).)()(1)(202000yxxdxyxfMu(26(26) )解的积分表达式解的积分表达式9 9数理方程课程总结(精简)求解求解球域上球域上的狄利克雷问题：的狄利克雷问题：).,(|zyxfu ,),( zyxuuuzzyyxx 0o(28)(28)(27)(27)其中其中是以是以边界为边界为为心，为心，球域上球域上的的格林函数格林函数为为R.为半径的球域，为半径的球域，解的积分表达式解的积分表达式为为1010.1141),(1000MMOMMMrrRrMMG(30)(30).cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)