选修221.4生活中的优化问题举例

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1、选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2R C.RD.R答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，那么R2(Rh)2r2，r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.2假设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其外表积最小时，底面边长为()A. B. C. D2答案C解析设底面边长为x，那么Vx2h，h .S表2x23xx2，S表x，令S表0得x.当0x时，S时，S0.因此当底边长为时，其外表积最小3某公司生产某种产品，固定本钱为0元，每生

2、产一产品，本钱增加100元，总收益R与产量x的关系式R(x)那么总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300答案D解析由题意，总本钱为C0100x.所以总利润为PRCP令P0，得x300，当0x0，当300x400时，P0，分析可知当x300时，取得最大值，故应选D.4用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，那么该长方体的最大体积为()A2m3 B3m3 C4m3 D5m3答案B解析设长方体的宽为x(m)，那么长为2x(m)，高为h4.53x(m)故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3从而V(x)18x18x218

3、x(1x)令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m2)5假设球的半径为R，作内接于球的圆柱，那么其侧面积的最大值为()A2R2 BR2C4R2 D.R2答案A解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，那么xS侧2xh2h2令tR2h2，那么t2R2hh3令t0，那么hR当0h0，当Rh2R时，t0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，所以x(0,9)时，y0，x(9，)时，y0，y先增后减x9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题7内接于半径为R的半圆的矩形中

4、，周长最大的矩形的边长为()A.和R B.R和RC.R和R D以上都不对答案B解析设矩形一边的长为x，那么另一边长为2，那么l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0x0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.8要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，那么高为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D解析设圆锥的高为x，那么底面半径为，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2舍去当0x0；当x0)，yx2，由y0，得x25，当x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，

5、所以x25时，y取最大值二、填空题11某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_答案32m,16m解析设长，宽分别为a，b，那么ab512，且la2b，l2b，l2，令l0得b2256，b16，a32.即当长、宽分别为32m、16m时最省材料12容积为256L的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，那么a2h256，其面积为Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.当0a8时，S8时，S0；当a8时，S最小，此时h4.13内接于半径为R的球，且体积最大的圆柱

6、的高为_答案R解析如图，ABCD为球面内接圆柱的轴截面，BD2R，设圆柱的高为x，那么圆柱底面半径为r，圆柱体积Vr2x(4R2x2)x(0x2R)令V(4R23x2)0得xR.因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为R时，球内接圆柱体积最大14如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大答案解析设四边形较短边为x，那么较长边为x，正六棱柱底面边长为12x，高为x，V6sin60(12x)2xx(12x)2.V(12x)(16x)，令V0，得x或x(舍去)当0x0；当x时，

7、V0.因此当x时，V有最大值，此时底面边长为12.三、解答题15一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？解析设速度为每小时v千米的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得pkv3，其中k为比例常数，它可以由v10，p6求得，即kpv3.又设当船的速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为qv396(元)，而行1千米所需用时间为小时，所以行1千米的总费用为qv3v2.qv(v38000)，令q0，解得v20.因当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v

8、20时取得最小值即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小16(湖南理，19)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？分析考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力解析(1)设需新建n个桥墩，那么(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(

9、2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数，当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119，故需新建9个桥墩才能使y最小17(湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元该建筑物每年的能源消消耗用C(：万元)与隔热层厚度x(：cm)满足关系：C(x)(0x10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8

10、万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和(1)求k的值及f(x)的表达式(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小，并求最小值解析(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消消耗用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f (x)6，令f (x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f (x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用到达最小值70万元18(

11、山东理，21)两县城A和B相距20km，现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查说明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和

12、城B的总影响度最小？假设存在，求出该点对城A的距离；假设不存在，说明理由解析(1)根据题意ACB90，ACxkm，BCkm，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y为y(0x20)又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，所以0.065，解得k9，所以y(0x20)(2)因为y.由y0解得x4或x4(舍去)易知4(0,20)y，y随x的变化情况如下表：x(0,4)4(4，20)y0y极小值由表可知，函数在(0,4)内单调递减，在(4，20)内单调递增y最小值y|x4，此时x4，故在上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小，该点与城A的距离x4km.