小升初讲义数学共16讲

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1、 目 录第1讲 前言第一章 丰富的图形世界第2讲 生活中的立体图形第3讲 展开与折叠第4讲 截与看几何体第5讲 平面图形与根本的推理第6讲 直线、线段、射线、角第二章 有理数第7讲 数怎么不够用了第8讲 数轴第9讲 绝对值第10讲 有理数的加法第11讲 有理数的减法第12讲 有理数的加减混合运算第13讲 有理数的乘法第14讲 有理数的除法第15讲 有理数的乘方第16讲 有理数的混合运算第1讲 前言数学：人类离不开；人人都能学会！一、走进数学世界宇宙之大海王星、流星雨，粒子之微铍原子、氯化钠晶体结构，火箭之速火箭，化工之巧瓷，地球之变陨石坑，生物之谜青蛙，日用之繁杯子、表，大千世界，天上人间，无

2、处不有数学的贡献，让我们共同走进数学世界，去领略一下数学的风采，体会数学的魅力。1.大自然的鬼斧神工使几何图形的对称美成了造型艺术、建筑美学的根底。雪花的对称性就是大自然的杰作。晶体如冰糖的外表对称极为精巧，并由此含着深刻的物理性质。在人类赖以生存的建筑群中，小到衣物装饰，大到房屋建筑、路面铺设，几乎处处都有美丽的对称性装饰，古代皇宫中壁画的边饰等无不含有极为壮丽的对称美，以至亡国之君煜在身受软禁之际，还深情怀恋昔日的“雕阑玉砌应犹在。2.天工造物，每每使人惊叹不已；生物进化提示的规律，有时几个世纪也难以洞悉其中的奥秘。蜂房的构造，大概最令人折服的实例之一。18世纪初，法国学者马拉尔琪实测了蜂

3、房底部菱形，得出令人惊异而有趣得结论：拼成蜂房底部的每个菱形的蜡板，钝角都是10928，锐角都是7032。瑞士数学家克尼格经过精心计算，结果更令人震惊：建造同样体积且用料最省的蜂房，菱形的两角应是10926与7034，与实测仅差2分。人们对蜜蜂出类拔萃的“建筑术赞叹万分之余，无人去理会这不起眼的“2分。不料蜜蜂却不买克尼格的账，冷酷的科学事实后来去判断错方是克尼格。公元1743年，大数学家马克劳林改用数学用表重新计算，得出的结论与马拉尔琪的实测不差分毫。简直不可思议。3.人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙飞船航行，任何时候都受到数学的恩惠和影响，到处都表现着人类数学智慧的结晶

4、。在天体运动着的星球遵循四种轨道，人造卫星、行星、彗星等依据运动速度的不同即千米/秒、千米/秒、千米/秒三种宇宙速度顺从地运行在圆、椭圆、抛物线与双曲线的轨道中。人造地球卫星要想发射成功，必须达到第一宇宙速度。4.人类在进步、社会在开展。随着市场经济的开展，本钱、利润、投入、产出、贷款、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买卖与批发、存款与保险、股票与债券等，几乎每天都会碰到，而这些经济活动无一能离开数学。5.数学是人类最伟大的精神产品之一。每一个数学公式，就是一首诗，公式C=2R就是其中一例。司空见惯的图形圆，含的周长与半径有着异常简洁、和谐的关系，一个传奇的数把她们紧紧相连。

5、天地间有无数个圆，唯有C=2R这个纯粹的圆最精致、最完美。这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而再生的哲理美，因而人们常用“圆满比喻十全十美。6.比例的数量关系，以其天造地设的美感令人叹为观止。把长为c的线段分为a较长、b较短两段，使之符合ab0.618。这0.618是最美、最巧妙的比例，人们称之为“黄金分割。法国的圣母巴黎院、中国的故宫、埃与的金字塔的构图都融入了“黄金分割的匠心。二、回顾历程数学伴我们成长1现在让我们进入时空的隧道，回忆我们的成长历程：出生学前小学板书，我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗？不妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子，试一试。共同讨论交流，从具体

6、事例中分析并找出数学信息。2进入小学，我们正式开始学习数学，回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些？3指定假如干名学生口答师生共同系统归纳：1数与式：数和式的认识、计算、方程、解应用题；2图形：图形的认识、图形的画法、图形的计算；3统计知识。4数学知识的学习，不仅开阔了我们的视野，而且改变了我们的思维方式，使我们变得更加聪明了。发挥一下我们的聪明才智，尝试解决下面的问题：例1计算并观察如下三组算式：2525=625，如此2426=不要计算你能举出一个类似的例子吗？更一般地，假如aa=m，如此(a+1)(a1)=。例2如图1和图2，毎个小正方形的边长都为1，我们可以将其适当分割后拼成一

7、个大正方形，请你在图中画岀分割线，并分别画出拼接成的大正方形。12例3.设定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的年利率分别为2.25%，2.43%，2.7%，和2.88%试计算1000元本金分别参加这四种储蓄，到期所得的利息各为多少国家规定：个人储蓄从1999年11月1日起开始征收利息税，征收的税率为利息的20%分析结果，你能发现什么？提示：利息=本金年利率储存年数例4.在第十届“哈药六杯全国青年歌手电视大奖赛，8位评委给某选手所评分数如下表，计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分，请你算一算该选手的最后得分评委12345678评分例5.某校校长在国

8、庆节带领该校市级“三好学生外出旅游甲旅行社说：“如果校长买一票，如此其余学生可享受半价优惠乙旅行社说：“包括校长在全部按票价的6折优惠即按票价的60%收费现在全票价为240元，学生人数为5人，请算一下哪家旅行社优惠？你喜欢哪家旅行社？如果是一位校长，两名学生呢？例6.下面图形中哪些可以一笔画成，哪些不能一笔画成的？例7.有两个大小相等的正方形紧排着九个等圆和十六个等圆，你认为这两个正方形空隙哪个大？为什么？ 例8.某服装店售出甲、乙两件衣服，各得款120元，其中甲种衣服盈利20%，乙种衣服亏损20%，问这两次买卖盈亏情况例9.一商店把某种品牌彩电按标价的八折出售，仍可获利20%，进价的20%，

9、该品牌彩电每台进价为1998元，求该品牌彩电每台的标价为多少元？例10.宏达百货商店2011年全年营业额如下：第一季度40万元，第二季度35万元，第三季度45万元，第四季度60万元，回答下面问题(1)这一年平均每季度营业额是多少万元？(2)这一年平均每个月营业额是多少万元？(3)第四季度比第一季度增加百分之几？(4)第三季度的营业额比第四季度少百分之几？ 通过刚刚的解题，可以看出同学们都非常聪明，其实不仅我们每个人离不开数学，而且整个人类、整个社会也离不开数学，小结：生活中充满了数学，人类离不开数学。学数学，更是为了用数学。应用数学，首先是要有用数学的意识，其次是要学会用数学的方法去看待问题、

10、解决问题。三、过关精练1.猜谜语：1各打数学中常用字： 千人分在北上下； 1人立在口上边.2打一成语：2、4、6、8、10、2.如下图形中，阴影局部的面积相等的是3.三个连续奇数的和是21，它们的积为4.计算：7+27+377+4777=5. 找规律，在括号里填上适宜的数(1)1，2，4，5，7，8，10，( )，( )(2)19，9，17，8，15，7，( )，( )6.只允许添两个“一、一个“十和一个括号，不改变数字顺序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字连成结果为100的算式：1 2 3 4 5 6 7 8 9 =1007.把长方形剪去一个角，它可能是几边形8.有一个正方形池

11、塘如图，在它的四个角上有四棵大树，现在为了扩大池塘，要把池塘面积扩大一倍，但是，这四棵树不便搬动，也不能使它淹在水里，而且扩大后的池塘还是正方形，这该怎么办呢？9.在操场上，小华遇到小，交谈中顺便问道：“你们班有多少学生？小说：“如果我们班上的学生像悟空那样一个能变两个，然后再来这么多学生的，再加上班上学生的，最后连你也算过去，就该有100个了那么小班上有多少学生？10. 传说有一个叫巴霍姆的人想到草原上买一快地.他问：“价钱如何？卖主答：“一天1000卢布。意思是如果你愿出1000卢布，那么你从日出始至日落止，走过的路所围住的土地就归你所有；倘假如你在日落之前回不到出发的地方，你的钱就白花了

12、。巴霍姆觉得很合算，于是他就给卖地人1000卢布。第二天，太阳刚刚从地平线露面，他就立即在大草原上狂奔起来。他奔的路线大致如如下图。为了不使自己的1000卢布白费，他用尽全身力气，总算在太阳全部消失前的一刹那，赶到了出发地点A点，可是还没站稳，就口吐鲜血，向前一扑，再也站不起来了。计算其面积.假如周长不变,你能围住更大的面积吗？ 11.计算：2+4+6+100-1+3+5+99=.12.计算：1+2+3+2003+2004+2003+3+2+1=13.今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状一样且面积相等的4局部，假如道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方

13、案只需画简图AB1B2B331010122D3C2C368114579C13114.下面有一某地区的公路分布图，请你找出从A至D的一条最短路线图中所标最短路线为里程15等式1aab=23，2bab=25。如果a和b分别代表一个数，那么ab是 16.用如下列图，大小完全一样的两个直角三角形纸片，假如将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形？请你画出拼成的图形17.计算：18汽车上有男乘客45人，假如女乘客人数减少10，恰好与男乘客人数的相等,汽车上女乘客有多少人？19在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？20自然数

14、如下表的规如此排列：1求上起第10行，左起第13列的数；2数127应排在上起第几行，左起第几列？12510174361118987121916151413202524232221第一章 丰富的图形世界第2讲 生活中的立体图形一、【学习目标】1.能从现实世界中抽象出立体图形；2.能区分常见的立体图形，并说明它们的特征；3.理解点、线、面体之间的关系.二、【知识梳理】1.几种常见的几何体:1说岀如下几何体的名称；并将它们分类.9点拨：分类是数学的一种根本思想方法，在分类时，应注意按同一标准不重不漏地进展，假如分类的标准不同，如此所分类别也不同.2面和面相交得到，线与线相交得到.3点动成，线动成，面

15、动成.2.有关概念：1柱体 棱柱体：如图1)(2，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点点拨：正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱正方体是特殊的长方体 圆柱：图3中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径一样的圆，周围是圆柱的侧面点拨：棱柱和圆柱统称柱体2锥体 圆锥：如图4图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点 棱锥：如图5图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面点拨：棱锥和圆锥统称锥体3台体 圆台：如图6图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台

16、的侧面 棱台：如图7图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面 4球体：如图8图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体外表是曲面三、【典例精析】例1.如下说法中，正确的答案是 .柱体的两个底面一样大；圆柱、圆锥的底面都是圆；棱柱的底面是四边形；长方体一定是柱体；正棱柱的侧面一定是长方形.例2.观察如下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是 ABCD例3.一个长方形的长为4，宽为3，分别以它的长、宽所在直线为轴，把长方形旋转一周后，得到不同的圆柱体，分别求出它们的体积.例4.用数学知识解释：.一只蚂蚁行走的路线；.汽车雨刮器的运动；.一个圆沿着它的一条直

17、径旋转.例5.生活中的物体：足球、铅笔、挂衣橱、漏斗、砖块、魔方、西瓜、苹果、六角螺母等类似于哪些几何体？例6.一个画家把14个边长为1米的正方体摆在地面如下列图，然后他把露出的外表都染上颜色，求染色的面积.小结：1.几何体是由点、线、面构成的；2.生活中的点动成线，线动成面，面动成体；3.生活中的几何体很多，我们可以把几种常见的几何体进展如下分类：四、【过关精练】1.判断正误：1棱柱侧面的形状可能是一个三角形 2棱柱的每条棱长都相等. 3正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体. 2.长方体共有个面.A.8 B.6 C.5 D.43.六棱柱共有条棱.A.16 B.17 4.如下说法，不

18、正确的答案是A、圆锥和圆柱的底面都是圆.B、棱锥底面边数与侧棱数相等.C、棱柱的上、下底面是形状、大小一样的多边形.D、长方体是四棱柱，四棱柱是长方体.5.下面的几何体是棱柱的是 A B C D6.1正方体有个面，个顶点，经过每个顶点有条棱，这些棱的长度填一样或不同，棱长为的正方体的外表积为.2长方体有个顶点，条棱，个面.3五棱柱是由个面围成的，它有个顶点，有条棱.4一个六棱柱共有条棱，如果六棱柱的底面边长都是2，侧棱长都是4，那么它所有棱长的和是.5如下列图的几何体是由一个正方体截去后而形成的，这个几何体是由个面围成的，其中正方形有个，长方形有个.7.将下面的几何体进展分类，并写出简单理由。

19、8.至少找出如下几何体的4个共同点。9.在正方体的六个面上分别涂上红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，现有涂色方式完全一样的四个正方体，如图拼成一个长方体，请判断涂红、黄、白三种颜色的对面分别涂着哪一种颜色？10.如图，一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是16，19和20，求这6个整数的和.11.画出如下图形绕着虚线旋转一周所得到的几何体. 1 2 3 4 512.写岀n棱柱的顶点数、面数和棱数.13.如图是一个五棱柱，填空： 1这个棱柱的上下底面是_边形，有_个侧面；2这个棱柱有_条侧棱，共有_条棱；3这个棱柱共有_个顶点14.如图，

20、可用一个正方形制作成一副“七巧板，利用“七巧板能拼出各种各样的图案，根据“七巧板的制作过程，请你解答如下问题.“七巧板的七个图形，可以归纳为三种不同形状的平面图形，即一块正方形，一块_和五块_.请按要求将七巧板的七块图形重新拼接不重叠，并且图形中间不留缝隙，在下面空白处画出示意图.拼成一个等腰直角三角形； 拼成一个长与宽不等的长方形； 拼成一个六边形.发挥你的想象力，用七巧板拼成一些图案，在下面空白处画出示意图.15.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中的顶点数V、面数F和棱数E之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请观察如下几种简单多面体模型，并解答如下问题：1完成下表中的空格：多

21、面体顶点数V面数F棱数E正四面体正六面体正八面体正十二面体20 12 30正二十面体 12 20 30你发现顶点数V、面数F和棱数E之间存在的关系式是2通过以下多面体检验你发现的关系式是否正确？3一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数.4某个玻璃钸品的外形是简单多面体，它的外壳外表是由三角形和八边形垪接而成，且有24个顶点，毎个顶点处都有3条棱，设该多面体外外表三角形的个数为个，八边形个数为个，求的值.第3讲 展开与折叠一、【学习目标】1.能进展图形的分割组合；2.会判断正方体的相对面；3.能区分几何体的外表展开图，会判断最短路线.二、【知识梳理】1. 圆柱、圆锥、正三

22、棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：2. 正方体的平面展开图：1设法将一个正方体展开，需要剪开几条棱？几条棱没剪开?2你能将正方体展开成如下形式吗？3正方体的展开图有哪些？用边长为1厘米的正方形画最多4个面连在一起的情况最多3个面连在一起的情况最多2个面连在一起的情况3.总结：正方体的展开图有种三、【典例精析】1如下展开图中，不能围成几何体的是 .2如下各个平面图形中，属于圆锥的外表展开图的是( )ABCD如如下图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面, 试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置.如图1的正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿

23、正方体的外表爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.共有几条最短路线？例4.如图：正五棱柱底面边长都是5，侧棱长为6，回答如下问题： 它有多少个面？哪些面的形状、面积完全一样？ 它有多少条棱？长度分别是多少？ 沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，画出示意图，并计算其面积.例5.有一圆心角为900、半径为8的圆形纸片、用它恰好围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，画出示意图，并求圆锥的底面面积.四、【过关精练】1.如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是A奥 B运 C圣 D火迎接奥运圣火图1迎接奥123图22如图，如下图形经

24、过折叠不能围成棱柱的是ABCD3.如下左图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，如此所得的展开图是 4.如下图是正方体的外表展开图，如果将其合成原来的正方体右如下图时，与点P重合的两点应该是 )A、S 和 Z B、T 和 Y C、U 和 Y D、T 和 V5.如如下图，哪个是正方体的展开图 6.如下列图的立方体，如果把它展开，可以是如下图形中的 7.将图1中的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到图2中的 )8.从棱柱的折叠过程可以知道：1棱柱的外表展开图是两个_的多边形作底面，几个_作侧面；(2) 棱柱的底面边数与侧面数_；(3) 棱柱的两个底

25、面要分别在侧面展开图的_9.局部几何体的平面展开图：1圆柱的外表展开图是_作底面；和_作侧面2圆锥的外表展开图是_作底面；和_作侧面10.如下图所示的平面图形是由哪几种几何体的外表展开的？11.在44的方格中，取适当的相连的5个小正方形可折叠成无盖的正方体盒子，请你在图由中画岀这样的相连的5个正方形，在图中最多能剪折多少个？12.小华用如如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，如此符合胶滚涂出的一个正确图案是 13.如如下图是一食品包装盒侧面展开图.1指出这个包装盒的多面体形状的名称；2计算出这个多面体的侧面积单位：14.如如下图是一铁皮.1计算铁皮的面积；2它能否做成一个长方体的盒

26、子？假如能，求出它的体积；假如不能，请说明理由.第4讲 截与看几何体一、【学习目标】1.了解用平面截几何体出现的截面形状，体会面与体的转换，提高动手操作能力；2.会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图；3.会画用假如干个小正方体搭成的几何体的三种视图。二、【知识梳理】1.用平面截一个几何体出现的截面形状1用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况： 三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形点拨：用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形2用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况点

27、拨：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形3用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面，初中不予研究)4用平面去截球体，只能出现一种形状的截面结论：正方体的截面可能是圆柱的截面可能是圆锥的截面可能是球的截面是2.识别物体的三视图1主视图、左视图、俯视图的定义从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主正视图，从左面看图叫左侧视图，从上面看图叫做俯视图2几种几何体的三视图正方体：三视图都是球 体：三视图都是圆柱体：主视图是；左视图是；俯视图是。圆锥体：主视图是；左视图是；俯视图是。点拨：圆锥的主视图、左视图

28、都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆3画出如下组合体的三视图，其中、都是用五个小正方体搭成的几何体.4结论：“长对正，“高平齐，“宽相等4.三视图中反响的长、宽、高的特点一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样三、【典例精析】例1用平面截如下几何体，找出相应的截面形状123例2用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的。ABCDE123456A ；B ；C ；D ；E .思考：用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是_。

29、例3画出如下立方体的三视图：点拨：注意主视图与俯视图列数一样,左视图的列数与俯视图的行数一样.例4根据三视图画出几何体 主视图 左视图 俯视图 几何体四、【过关精练】1.一个正方体的截面不可能是 A.2.有如下几何体：1圆柱；2正方体；3棱柱；4球；5圆锥；6长方体。如此这些几何体中截面可能是圆的有 3.如图：用一个平面去截一个圆柱，如此截面形状是 4.正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是 5.物体的形状如下列图，如此此物体的俯视图是 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱假如干，这堆货物的三种视图如下主视图左视图俯视图这些正方体货箱的个数为 A、5 B、6 C、7 D、87.用一个平面去

30、截五棱柱，边数最多的截面是_ _形8.如果用一个平面去截一个几何体，所得任意截面都是圆，如此这个几何体是_ _.9.用一个平面去截几何体，假如截面是三角形，这个几何体可能是_10.如果用一个平面截一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？画图说明11.如图，如下立体图形被一刀切除一局部，写出剩下局部几何体的名称。112.如如下图，写出所给几何体的三视图的名称。13.画出如下图正方体上面放一个圆锥的三视图。14.如下列图，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图。3422315.用小立方体搭成一个几何体，使它的主

31、视图和俯视图如下列图搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？主视图俯视图第5讲 平面图形与根本的推理一、【学习目标】1.能从现实生活中抽象岀平面图形；2.能利用多边形进展拼图；3.会判断多边形与扇形，并能进展简单的计算；4.掌握根本的推理、论证的方法.二、【知识梳理】1多边形的定义：定义1：三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形多边形可分为凸多边形与凹多边形两类，假如无特别说明均指凸多边形.定义2：边长与角都相等的多边形叫正多边形定义3：把多边形的一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线.2多

32、边形的分割：提问：从多边形的一个顶点出发的对角线有多少条？这些对角线将多边形分割成多少个三角形？多边形三角形四边形五边形n边形线段数三角形个数定理：从n边形的一个顶点出发有条对角线，这些对角线又把这个n边形分割成个三角形；n边形共有条对角线.3扇形与弧的定义与区别：(1)弧：圆上叫弧(2)扇形：由和经过所组成的图形叫扇形(3)扇形与弧的区别:弧是一段曲线，而扇形是一个面4.推理的依据是学过的定义、公理和定理。推理时一定要做到言必有据.1定义：对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。比如：定义1：直线上一点和它一旁的局部叫做射线.这就是射线的定义；射线可由线段向一方无限延长而得.定义2：有公共

33、端点的两条射线组成的图形叫做角.这就是角的定义。2公理：被人类长久以来的实践所证实，作为推理依据的事实叫做公理。比如：公理1：经过两点有且只有一条直线.公理2：在所有连接两点的线中，线段最短。3命题：“真命题与“假命题两类.4定理：用逻辑推理的方法证明为正确的命题叫做定理。比如：定理1：三角形角和为180。其证明需要用到平行线的相关性质.定理2：三角形两边之和大于第三边。其证明需要用到以上公理2.5.为何要推理、论证？1请量一量、拼一拼，找出规律.提问：在测量三角形的角和时，你真能测量得绝对准确、没有一点误差吗？在把三角形的角拼接为一个平角时，你真的认为能拼成一个平角吗？会不会只是很接近平角呢

34、？2请摆一摆，找出规律.提问：在用三根小棍摆三角形时，你发现了两边之和必须要大于第三边。这个结论对所有长度的小棍都成立吗？你没有摆的其他长度也是这样吗？3请看一看，你能得出什么结论：图1中，线段AB、CD哪一条长？图2中，线段AB、AC哪一条长？图3中，两个带阴影的椭圆哪一个大？图4中，两条直线之间一样宽吗？提问：你相信“眼见为实吗？再量一量看看.总结：测量有误差，观察不可靠，唯有推理、论证才信服于人。因此，在学习数学的过程中，一定要养成“讲道理的习惯。6.三角形的外角1定义：三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角，叫做三角形的外角。2定理：关于三角形的外角有如下定理：定理1：三角形的一

35、个外角等于与它不相邻的两个角的和。定理2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个角。定理3：三角形的外角和为每个顶点处的外角只取其中一个。在中学学习中，同学们一定不能只注重结论，还必须弄清楚其来源和推理过程。三、【典例精析】例11从一个八边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，把八边形分割成多少个三角形？八边形的角和是多少？先想一想，再画一画。2从多边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成10个三角形，如此这个多边形是几边形？3证明凸边形的角和是.例2观察图中可爱的小猫，你能看出它是由多少个三角形组成的吗？与同们交流你的看法.例3用四种以上的方法把一正方形分成面积相等的四块，画

36、岀示意图.例4正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如图1所示，仿照图示方法解答如下问题：1如图2，对直角三角形，设计一种方案将它分成假如干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；2如图3，对任意三角形，设计一种方案将它分成假如干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；123例5.：如图，D是AB中点，E是AC中点，且ABAC。 求证：ADAE。例6.：如图，在中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点。求的度数。分析：无论解答题还是证明题，其解答或证明过程都是将条件和结论联系起来。因此，我们的任务就是将“与“联系起来，过程中可能会用到条件“BE是AC边上的高，CF是AB边上

37、的高。点拨：有的同学认为只有证明题才需要推理依据，计算题与证明题不同，只要算出得数即可。这个观念是极其错误的，计算题在计算过程中也存在着推理论证，也要求言必有据！四、【过关精练】1.如图，图中三角形的个数为 A. 2 B. 18 C. 19 D. 20 第1题图 第2题图2.将两个完全一样的三角形，如图，拼在一起成为四边形，使它们有一条相等的边完全重合，如此能拼出不同的平面图形 种A. 2 B. 4 C. 6 D. 83.如下说法中正确说法的个数是 钝角三角形有两条高在三角形部；三角形三条高至多有两条不在三角形部；三角形三条高的交点不是在三角形部，就是在三角形外部；钝角三角形三个角的平分线的交

38、点一定不在三角形部。4.如果三角形三边长分别为、，如此的取值围是 A.B.C. D.5.一个等腰三角形的周长是11，其中一边长是3，如此其他两边长是 6.五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为 7.如图，如果OA,OB,OC是圆的三条半径，那么图中有个扇形.8.如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2012个三角形，那么此多边形的边数为9.1假如在n边形部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，如此可将多边形分割成个三角形.2假如点P取在多边形的一条边上不是顶点,在将P与n边形各顶点连接起来，如此可将多边形分割

39、成个三角形.10.如图，图中共有个梯形。 11.平面有5个点，过毎两个点作直线，如此最多可得条直线，最少可得条直线。12.平面三条直线把平面分割成最少块，最多块。13.扇形弧上连同两个端点共有4个点，将这4点与圆心连接，如此共可得个扇形。14.：如下左图，中，OA、OB分别平分、，假如，如此；15.：如上右图，AD、AE分别是的高和角平分线，假如，如此，；16.中，垂足为D、E，AD6，BC10，BE8。如此AC的长为_；17.1在如下左图中，平行移动四根火柴，组成三个全等的正方形。2在如下右图中，移走3根火柴，组成6个全等的等边三角形。18.用规格11的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如下图方式

40、辅地板.4 n1观察图形，填写下表：图形123黑砖块数黑砖面积2推测第n个图形中需要黑色瓷砖的块数和面积；3在上述图形中，是否存在一个图形，使所含黑色瓷砖的块数为34？假如存在，请指出是第几个图形；假如不存在，请说明理由.19.：如图，中，AE平分。求证：。20.：中，D为AB边上一点，且ADAC，求证：。第6讲 直线、线段、射线、角一、【学习目标】1.理解线段、射线、直线的区别与联系；2.理解“两点之间线段最短和“经过两点有且只有一条直线；3.理解角的有关定义、表示方法、会计算角度数和进展简单的换算。二、【知识梳理】1.线段：直线上两个点和它们之间的局部叫做线段；线段有两个端点；可以测量长度

41、和比拟大小；.两点之间线段最短。2.射线：射线只有一个端点,另一边可以无限延伸；不可测量长度和比拟大小。3.直线：经过两点有且只有一条直线；直线没有端点；可以向两端无限延伸；不可测量长度。点拨：线段和射线都是直线的一局部.4.线段、射线、直线的表示方法：一条线段可用表示两个端点的大写字母来表示，如线段AB或BA或一个小写字母表示。一条射线可用端点和射钱上的另一点表示，规定把表示端点的字母写在前面一条直线可用两个大写字母表示，这两个大写字母代表直线上的两个点，如直线AB或BA；另外直线还可用一个小写字母表示。5.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角也可以

42、看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。6.角通常有四种表示方法：1角可以用三个字母与符号“表示，其中表示顶点的字母写在中间。2角可以用一个数字和符号“表示。3角可以用希腊字母、和符号“表示。4如果一个角的顶点上只有一个角，那么也可以用这个顶点字母和符号“表示。7.角的度数与换算：在测量角时，有时以度为单位还不够，我们需要用比1更小的单位，称之为分和秒，把1的角等分成60份，每一份是1分，记做1，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，记做1，即1周角=360；1=60；1=()；1=60；1=()；8.角的分类：三、【典例精析】例1.判断正误：1直线AB与直线BA是同一条直线； 2射线AB与

43、射线BA是同一条射线； 3线段AB与线段BA是同一条线段； 4线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点. 例2.图中给出的直线、射线、线段,根据各自的性质,能相交的是( )例3.A、B、C、D在一条直线上，线段AD6cm，BD2cm，C是线段AD的中点，求线段BC的长度。例4.如图：作出三角形ABC的三个角的平分线观察它们是否交于一点，如果交于一点，如此交点的位置在哪里？例5.如图,AOB为一直线，OC、OD、OE是射线，如此图于0小于180的角有多少个？例6.如图.AOB=3540，BOC=5030，COD=2118，OE平分AOD，求BOE.点拨：利用图形中的角的位置关系，求出角的和差

44、，再利用角的平分线定义求出角的大小。例7.如图：AC为一条直线，O是AC上一点，OE、OF分别平分AOB和BOC，1当AOB120时，求EOF的大小；2当OB绕O旋转任意角度时，问：EOF的大小发生变化吗？你能否用一句话概括出这个命题四、【过关精练】1.如右图所示，平面上四个点1画直线AB；2画线段AC；3画射线AD、DC、CB；4指出图中有_条线段，有_条射线，2. A、B、C在一条直线上，且线段AB=5 cm，BC=3 cm，求线段AC的长.3.如如下图，点C分AB的比为23，点D分AB的比为14，假如AB为10 cm,如此AC=_cm；BD=_cm；CD=_cm.4.如如下图，AOB为平

45、角，且AOC=BOC，如此BOC的度数是 5.=_度_分_秒.(2)271424=_度.6.如下左图：AB的长为m，BC的长为n，M、N分别是AB，BC的中点，如此MN=_7.如上右图：用“、“或“连接如下各式，并说明理由ABBC_AC；ACBC_AB；BC_ABAC；理由是_ 8.一个人从A点出发向北偏东60的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15方向走到C点，那么ABC的度数是( )9.如如下图，直线AB、CD相交于O，COE是直角，1=57，如此2=_.10如如下图，点O在直线AC上，画出COB的平分线OD。假如AOB55，求AOD的度数.11.在直线l上任取一点A，截取AB=16 cm

46、，再截取AC=40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离.12.如如下图，OB是AOC的平分线，OD是COE的平分线，假如AOC=70，COE=40,求BOD的度数。13.如图，ABC中，ABAC4，P是BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，假如ABC的面积为6，求PDPE的值。14.：如图，中，AD是角平分线，。求的度数。第二章 有理数第7讲 数怎么不够用了一、【学习目标】1了解正数与负数是从实际需要中产生的；2理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数；3初步会用正负数表示具有相反意义的量；4在负数概念的形成过程中，培养学生的观察、归纳与概括的能力5理解有理数的意义，

47、并能将给出的有理数进展分类；二、【知识梳理】1.小学里已经学过哪些类型的数？；点拨：小学里学过的数可以分为三类：正整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的为了表示一个人、两只手、，我们用到整数1，2，为了表示“没有人、“没有羊、，我们要用到0但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示例如：1某市某一天的最高温度是零上5，最低温度是零下5要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5，就不能把它们区别清楚“零上5和“零下5它们是具有相反意义的两个量2珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于和“低于其意义是相反的“运

48、进和“运出，其意义是相反的同学们能举例子吗？提出：怎样区别相反意义的量才好呢？点拨：1用不同颜色来区分，比如，红色5表示零下5，黑色5表示零上5；2在数字前面加不同符号来区分，比如，5表示零上5，5表示零下5其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤如今这种方法在记账的时候还使用所谓“赤字，就是这样来的现在，数学中采用符号来区分，规定零上5记作+5(读作正5)或5，把零下5记作-5(读作负5)点拨：只要在小学里学过的数前面加上“+或“-号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了2. 什么是正、负数？点拨：这样的数叫做，它们都比0 ；在正数前面加上号叫做负数，它们都比

49、0；0既不是也不是3. 什么是整数？什么是分数？什么是有理数？举出假如干数写在下面相应的大括号：自然数集： ；正整数集： ；负整数集： ；正分数集： ；正分数集： ；有理数集： .4. 有理数的分类：点拨：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类1按定义分:2按有理数的符号：有理数有理数三、【典例精析】例1.先将如下数按一定标准分类：再把它们填写在相应集合圈0.618，+3.14，2012，19，0，648，39.11，512，整数集分数集负数集例2.如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题1一架飞机飞行高于海平面9630米；2潜艇在水下60米深例3. 2

50、体育课上全班女生进展百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+表示成绩大于18秒,“表示成绩小于18秒这个小组女生的达标率是( ) A25%B37.5%C50%D75%例4.七名同学的体重以48kg为标准,超过记为正,不足记为负,记录如下编号1234567与标准体重的差(kg)01最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.2按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学? 总结：由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-号的数0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0四、【过关精练】1.任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合： ，负数集合： 2.在如下各数中，哪些是正数？哪些是负数？-3.6，-4，9651，-0.13. 如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？4.河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？5一物体可以左右移动，设向右为正，问：(1)向左移动12米应记作什么？(2)“记作8米明确什么？6.整数和分数合起来叫做_，正分数和负分数合起来叫做_7.-100不是 A有理数 B自然数 C整数 D负有理